Oferta Agregada ex
Equilíbrio de Longo Prazo em Mercado Competitivo
Um setor industrial competitivo é composto por 200 firmas. Cada uma possui a seguinte função de custo de longo prazo:
\[ C(q) = q^3 - 30q^2 + 230q \]
Assume-se que no longo prazo as firmas podem entrar e sair livremente do mercado.
Queremos determinar:
1. O preço de equilíbrio de longo prazo;
2. A função de oferta de cada firma no longo prazo;
3. A demanda agregada (quantidade total) no ponto de equilíbrio.
1. Preço de equilíbrio de longo prazo
No longo prazo, o preço de equilíbrio ocorre no mínimo do custo total médio, pois nesse ponto a firma obtém lucro econômico zero.
a) Calculando o custo médio:
A função de custo médio é:
\[ CTMe(q) = \frac{C(q)}{q} = \frac{q^3 - 30q^2 + 230q}{q} = q^2 - 30q + 230 \]
b) Encontrando o ponto de mínimo de \(CTMe(q)\)
Derivamos o custo médio:
\[ \frac{d(CTMe)}{dq} = 2q - 30 \]
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo:
\[ 2q - 30 = 0 \Rightarrow q = 15 \]
Substituímos na função \(CTMe\) para obter o preço de equilíbrio:
\[ CTMe(15) = 15^2 - 30 \cdot 15 + 230 = 225 - 450 + 230 = \boxed{5} \]
Logo, o preço de equilíbrio de longo prazo é:
\[ p^* = \boxed{5} \]
Interpretação econômica:
- A firma opera no ponto de mínimo custo total médio;
- O preço de mercado cobre exatamente os custos médios da firma;
- Nenhuma firma tem incentivo a entrar ou sair, pois o lucro econômico é nulo.
2. Função de oferta da firma no longo prazo
Vamos derivar a função de oferta de longo prazo com base nas condições de maximização de lucro e entrada/saída livre.
Cálculo do custo marginal
A função de custo total da firma é:
\[ C(q) = q^3 - 30q^2 + 230q \]
Derivando em relação a \(q\), obtemos o custo marginal:
\[ CMg(q) = \frac{dC(q)}{dq} = 3q^2 - 60q + 230 \]
Para determinar a curva de oferta, começamos a partir da condição de maximização de lucro:
\[ p = CMg(q) \]
Portanto, temos:
\[ p = 3q^2 - 60q + 230 \]
Isolando \(q\): curva de oferta de curto prazo
Reorganizamos a equação:
\[ 3q^2 - 60q + (230 - p) = 0 \]
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
\[ q = \frac{60 \pm \sqrt{(-60)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (230 - p)}}{2 \cdot 3} \\ q = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 12(230 - p)}}{6} \]
Simplificando:
\[ q = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2760 + 12p}}{6} = \frac{60 \pm \sqrt{840 + 12p}}{6} \]
A curva de oferta deve ser crescente em \(p\), portanto descartamos a solução com o sinal negativo:
\[ \boxed{q(p) = \frac{60 + \sqrt{840 + 12p}}{6}} \]
Se substituirmos \(q\) por \(S_i\), onde \(S_i\) é a quantidade ofertada pela forma \(i\), temos:
\[ \boxed{S_i(p) = \frac{60 + \sqrt{840 + 12p}}{6}} \]
Ressaltamos que a equação acima é válida para preços de mercado maiores ou iguais a $5. A função de oerferta agregada será:
\[ S_i(p) = \sum_{i=1}^{200} S_i(p) \]
Como todas as firmas têm a mesma estrutura de custo (mesma função custo), podemos escrever:
\[ S_i(p) = 200 \left( \sum_{i=1}^{200} S_i(p) \right) = \frac{60 + \sqrt{840 + 12p}}{6} \]
A demanda agregada no ponto de equilíbrio
Na condição de equilíbrio de longo prazo a demanda agregada é igual a oferta agregada, isto é, \(D(q) = S_I(q)\). Além disso, sabemos que o preço é \(p = 5\), logo:
\[ D( p = 5) = S_I(p = 5) = 200 \left( \frac{60 + \sqrt{840 + 12 \times} 5}{6} \right) = 3000 \text{ unidades} \]