Touffut (2006, cap. 1, Inge Kaul): análise positiva e crítica do conceito padrão de bem público.
Note 16.1: Conceito de bem público e tipologia
Definição padrão (Samuelson, 1954)
Um bem público puro é caracterizado por duas propriedades simultâneas:
Não-rivalidade no consumo: o consumo de uma pessoa não reduz a quantidade disponível para as demais. Um sinal de TV aberta, uma vez transmitido, é assistido por todos os receptores sem custo adicional por espectador.
Não-excludibilidade: é tecnicamente difícil ou caro impedir que alguém consuma o bem, mesmo que essa pessoa não pague por ele. Um farol acende para todos os navios na vizinhança; defesa nacional protege todos os habitantes do território.
Exemplos clássicos: defesa nacional, farol marítimo, sinais de TV e rádio em frequência aberta, conhecimento básico (teorema de Pitágoras), praças e parques sem cobrança de entrada.
Mesmo esses exemplos canônicos revelam ambiguidades. Coase mostrou que faróis podem ser associados a portos próximos e cobrados por navio; a defesa nacional cobre regiões com intensidades diferentes; pedágios excluem usuários da rede viária. A existência de um bem público depende, portanto, do espaço em que é definido e da autoridade em que se baseia (Touffut (2006, introdução)).
A definição é devida a Samuelson (1954), e a literatura subsequente derivou dela a célebre condição de eficiência trabalhada em Note 16.2.
Tipologia \(2 \times 2\): a leitura convencional
Combinando as duas propriedades em pares (rival/não-rival × excludível/não-excludível) obtêm-se quatro tipos:
Excludível
Não-excludível
Rival
Bem privado (alimento, vestuário)
Recurso comum (banco pesqueiro, aquífero)
Não-rival
Bem de clube (TV por assinatura, software proprietário)
Bem público puro (defesa, farol)
Os recursos comuns (rivais e não-excludíveis) são tratados na tragédia dos comuns, com a tipologia institucional baseada em Hardin (1968). Este capítulo concentra-se no quadrante público puro.
A figura 1.1 de Kaul, em Touffut (2006, cap. 1), apresenta a versão de referência dessa classificação. Os exemplos diferem dos que selecionamos acima, mas a estrutura é idêntica:
Propriedades básicas dos bens: a leitura convencional. Fonte: Kaul (em Touffut (2006)), figura 1.1.
A classificação atribui exemplos diretamente aos quadrantes a partir das propriedades inatas dos bens: leite, terra e educação no quadrante 1 (privado); paz, ordem, estabilidade financeira e doenças transmissíveis no quadrante 3 (público puro); sinais de televisão no quadrante 2 (não-rival, mas excludível); atmosfera e fauna selvagem no quadrante 4 (rival, mas não-excludível). Toda a leitura convencional opera dentro desse mapa.
Quatro transformações em meio século
Touffut (2006, introdução) sintetiza as transformações que separam a leitura contemporânea da formulação samuelsoniana de 1954:
Bens públicos como construções sociais, não objetos naturais. A identificação e a gestão de um bem público dependem de uma cadeia de escolhas: sobre direitos de propriedade, infraestruturas de exclusão (pedágios, criptografia, patentes), disposição em prover universalmente. Não é constatação ontológica; é decisão coletiva.
Dimensão global. Estabilidade financeira, controle de pandemias, mitigação climática, regimes internacionais de paz e conhecimento aberto são públicos em escala planetária. As fronteiras nacionais perderam capacidade de conter externalidades positivas e negativas, e a provisão depende de cooperação internacional sem um Estado mundial que internalize o problema.
Provisão multi-atores. O modelo padrão associa bem público a provisão estatal porque mercados privados subprovêem (problema do free-rider, Note 16.4). A produção real, contudo, envolve interação entre Estado, mercados, organizações sem fins lucrativos, comunidades locais e atores transnacionais. Cada um pode contribuir; cada um pode falhar.
Natureza intrinsecamente dinâmica. Bens migram entre os domínios privado e público, novos “bens públicos ruins” emergem (vírus de computador, crime cibernético, SARS, COVID-19), regimes regulatórios se adaptam (e atrasam). O domínio público requer monitoramento contínuo, não classificação estática.
Como observa Kaul, a história mostra que bens “públicos hoje podem ser privados amanhã”. A televisão aberta, predominantemente pública nos anos 1950, deslocou-se em duas décadas para o domínio privado via assinaturas; a vacinação contra varíola, vista inicialmente como bem público nacional, tornou-se bem público global no esforço de erradicação.
Caráter público como construção social: a releitura de Kaul
A introdução do volume editado por Touffut (2006), escrita por Bernard Gazier e Jean-Philippe Touffut, anuncia já no título a chave de leitura: “Public goods, social enactments”, bens públicos como encenações sociais, atos coletivos que os trazem à existência. A definição samuelsoniana, segundo os autores, é “axiomática, sem qualquer referência à socialização” do bem; Inge Kaul, no capítulo 1 do mesmo volume, argumenta que ela tomou um caso particular como teoria geral. Rivalidade e excludibilidade não são “imutáveis nem dadas para a eternidade”: sinalizam apenas o potencial de um bem para ser público, e seu caráter público efetivo resulta de processos institucionais que podem reforçar, atenuar ou inverter o que as propriedades originais sugerem.
Definição em duas camadas
Kaul propõe substituir a definição tradicional por uma formulação bipartida:
Potencial: o bem tem propriedades não-rivais, não-excludíveis ou ambas em seu estado original.
De facto: o bem é efetivamente não-exclusivo e está disponível para todos consumirem.
Entre as duas camadas operam três caminhos: (i) inviabilidade técnica de exclusão (atmosfera, luar, rádio em frequência aberta); (ii) escolha de política pública (educação universal, parques nacionais, saúde gratuita); (iii) negligência ou omissão regulatória. Apenas o primeiro é “natural” no sentido samuelsoniano; os outros dois fazem do caráter público uma propriedade socialmente determinada e, portanto, reversível.
Tipologia expandida
A figura 1.2 de Kaul reorganiza o mapa. Cada quadrante “não-puro” passa a ter dois subquadrantes: o que foi mantido ou tornado público e o que foi mantido ou tornado privado. A divisão entre domínio privado e domínio público corta o diagrama por uma fronteira pontilhada que não respeita a divisão original em quatro células:
Status socialmente determinado dos bens: o conceito expandido. Fonte: Kaul (em Touffut (2006)), figura 1.2.
Algumas migrações ilustradas:
Conhecimento. Não-rival por natureza (quadrante 2): teoremas de matemática, leis físicas, técnicas. Patentes e direitos autorais o tornam temporariamente excludível e o realocam ao subquadrante 2a (privado), enquanto o domínio público de pesquisa e os teoremas clássicos permanecem em 2b (público).
Atmosfera. Não-excludível por natureza e, no agregado, não-rival no consumo de ar limpo (quadrante 4b). Permissões de poluição negociáveis criam exclusão artificial e deslocam parte da capacidade de absorção atmosférica para 4a (privado, parcialmente excludível).
Educação. Tecnicamente excludível e rival na sala de aula (quadrante 1). A decisão política de provê-la universalmente a desloca para 4b (mantida não-excludível por design). Tuition fees devolvem parte ao quadrante 1.
Televisão. Sinal aberto em 2b (público); cabo, satélite e streaming a deslocam para 2a (privada).
A imagem central é a de um bem cuja localização no mapa não é fixa. A sociedade decide, frequentemente sem deliberação explícita, em qual lado da fronteira ele vai parar.
Esgotamento da dicotomia Estado/Mercado
A consequência prática dessas transformações, segundo Gazier e Touffut, é o esgotamento da divisão binária entre Estado e Mercado. Cinquenta anos atrás “as atividades e papéis dos setores privado e público podiam ser contrastados de modo direto”; hoje, traçar a fronteira não basta como base para um projeto. Duas reconfigurações destacam-se na introdução do volume:
Organizações sem fins lucrativos ocupam as margens onde mercado e Estado deixam lacunas: cuidado domiciliar de dependentes, alfabetização de imigrantes, contenção de carências emergentes.
O Estado-nação redefine suas funções entre um eixo local-regional e uma entidade supranacional emergente (a construção europeia é o caso paradigmático). Cada bem é alocado conforme sua área de interdependência: supranacional para conhecimento, estabilidade financeira e clima; federal para moeda comum e política científica; nacional para previdência; regional e local para educação.
A arquitetura é tarefa permanente, não equilíbrio a ser atingido.
Provisão multi-atores
A provisão exclusivamente estatal é uma simplificação modelística. Casos puramente estatais (cidadania, naturalizações) e puramente privados (software livre) existem, mas são exceções: a regra é a produção combinada. Kaul decompõe a provisão em três blocos:
Efeitos externos de ações privadas isoladas: comportamento individual que gera benefício público colateral. A compra de mosquiteiros impregnados contribui, sem pretender, ao controle de malária.
Efeitos externos de ações privadas concertadas: alinhamento entre interesse próprio e social via mecanismos coletivos: self-regulation empresarial, certificações setoriais, padrões abertos.
Componentes de ação coletiva: arcabouço regulatório, fiscal ou normativo provido pelo Estado ou por atores não-estatais que estrutura as ações privadas.
A interdependência é a característica diagnóstica: a proibição de fumar em locais fechados é norma estatal, mas só funciona se restaurantes a façam cumprir e clientes a respeitem; o controle de malária combina políticas públicas, P&D subsidiada em farmacêuticas, parcerias público-privadas e compra individual de mosquiteiros.
A contraparte é que todos os atores podem falhar: falha de mercado (subprovisão, free-riding), falha de governo (rent-seeking, captura, problemas informacionais), falha da sociedade civil (advocacy parcial, ONGs com agenda restrita). Não há provedor “intrinsecamente ideal” para todos os bens; a comparação é situacional.
Bens públicos globais
A definição padrão fala em “todos os consumidores” sem especificar o escopo geográfico. Quando a fronteira é nacional, o problema é familiar. Quando se torna planetária, surge uma classe distinta de bens (globais), cuja provisão requer cooperação internacional na ausência de uma autoridade soberana global.
Kaul propõe a seguinte definição operacional: um bem é globalmente público se seus benefícios ou custos atingem mais de um grupo de países e não discriminam contra nenhuma população ou geração. A figura 1.4 reorganiza a tipologia para esse recorte:
Mistura de fato entre bens nacionais e bens públicos globais. Fonte: Kaul (em Touffut (2006)), figura 1.4.
Há dois tipos de bens públicos globais:
Comuns globais naturais: atmosfera, alto-mar, espectro eletromagnético, órbita geoestacionária. São inerentemente globais, antecedem a atividade humana.
Bens públicos nacionais globalizados: estabilidade financeira, controle de doenças transmissíveis, normas de comércio, padrões de telecomunicações, respeito aos direitos humanos. Eram nacionais e foram absorvidos pelo domínio público global por força de tratados, harmonização regulatória e abertura de fronteiras.
A maior parte dos bens públicos globais relevantes para a política contemporânea pertence ao segundo tipo. Eles enfrentam uma “dupla provisão”: dependem de cooperação nacional para serem produzidos internamente e de cooperação internacional para que externalidades transfronteiriças sejam tratadas.
A diferença analítica em relação ao caso nacional é central. No plano internacional, os Estados agem como atores privados, não como instâncias coletivas. A cooperação internacional opera “em larga medida em base voluntária”, motivada pelo interesse nacional próprio; aproxima-se mais do mercado do que do Estado. Acordos não-vinculantes, recursos voluntários e ausência de poder coercitivo legítimo explicam por que tantos bens públicos globais são, hoje, mal providos: estabilidade climática, prevenção pandêmica, regulação financeira transnacional.
Outras vozes do volume
Além de Kaul, três autores do volume contribuem para o deslocamento conceitual:
Avner Ben-Ner estende o argumento das falhas de mercado às falhas do Estado e da sociedade civil: não há produtor “intrinsecamente ideal” para qualquer categoria de bens, e a diversidade de produtores (incluindo o setor privado não-mercantil) é, ela própria, um bem público suplementar.
Joseph Stiglitz defende a construção de bens públicos globais que reparem as fraquezas das organizações internacionais; nos direitos especiais de saque (special drawing rights) vê a forma específica de intervenção capaz de legitimar essa construção.
Claude Henry trata o conhecimento como “super bem público”: é ele próprio público e precondição de outros (saúde, clima, segurança), e atravessa as tensões entre conhecimento aberto e patentes, entre eficiência dinâmica (inovação) e estática (acesso).
A tese comum dos editores articula essas posições. A era da administração global de matriz ocidental terminou; a globalização exige um projeto de deliberação coletiva em múltiplos níveis, com arenas de coordenação entre Estados, organizações multilaterais, sociedade civil e atores privados.
Implicações analíticas
A tipologia samuelsoniana permanece útil como referência: Kaul a recoloca como descrição do potencial de caráter público, complementada por uma análise das escolhas que produzem o status efetivo. Em qualquer caso concreto, perguntar por que um bem está num quadrante e não em outro é tão informativo quanto classificá-lo:
Por que a educação básica é universal aqui mas paga ali?
Por que conhecimento patenteado é privado por 20 anos e depois público?
Por que a atmosfera passou a ser parcialmente excludível via permissões de CO2?
Por que o controle de pandemias é um bem público global subprovido?
Responder exige articular a teoria padrão (Samuelson, free-rider, soma vertical) com história institucional, economia política e arranjos multi-atores. Os boxes seguintes desenvolvem o aparato formal; este permanece como pano de fundo.
Referências
Ver Varian (2012, cap. 36, §36.1); Samuelson (1954); Touffut (2006, introdução e capítulo 1, Inge Kaul).
Note 16.2: Condição de Samuelson (provisão eficiente)
Símbolo
Significado
\(x_i\)
consumo do bem privado pelo agente \(i\)
\(G\)
quantidade do bem público (mesma para todos)
\(w_i\)
dotação inicial do agente \(i\)
\(c\)
custo marginal de prover uma unidade de \(G\)
\(TMS_i\)
taxa marginal de substituição de \(G\) por \(x\) do agente \(i\)
Desenvolvimento Teórico
Considere uma economia com dois agentes, um bem privado \(x\) e um bem público \(G\). Cada agente tem utilidade \(U_i(x_i, G)\) estritamente crescente nos dois bens. A restrição agregada é
\[x_1 + x_2 + c \, G = w_1 + w_2.\]
O planejador maximiza uma soma ponderada de utilidades sujeita à restrição. As condições de primeira ordem em \(x_i\) e \(G\) levam à igualdade entre a soma das taxas marginais de substituição e a taxa marginal de transformação (que, com custo linear, iguala \(c\)):
\[\boxed{TMS_1 + TMS_2 = c.}\]
Essa é a condição de Samuelson: a soma das disposições marginais a pagar pelo bem público iguala o custo marginal de prová-lo. Compare com o bem privado, em que cada agente individualmente iguala \(TMS_i = p\). A diferença reflete a não-rivalidade: como todos consomem a mesma quantidade \(G\), o benefício social marginal de uma unidade extra é a soma dos benefícios marginais individuais, não o máximo nem a média.
Exercício Resolvido
Suponha utilidades quase-lineares \(u_i(x_i, G) = x_i + b_i \ln G\), com \(b_1 = 30\) e \(b_2 = 20\). O custo marginal é \(c = 10\).
Sob provisão privada simultânea sem coordenação, o nível efetivo seria \(\max\{G_1, G_2\} = 3\) (o outro pega “carona”; ver Note 16.4). A provisão privada subprove em \(G^* - 3 = 2\) unidades.
A linha verde é a soma vertical das duas curvas individuais (azul e vermelho). Ela cruza a horizontal \(c = 10\) em \(G^* = 5\), o ótimo de Samuelson. Os pontos azul e vermelho mostram o nível que cada agente proveria sozinho (\(G_1 = 3\), \(G_2 = 2\)): individualmente, ambos subprovêem em relação ao ótimo social.
Interpretação
A condição de Samuelson é o análogo, para bens públicos, da regra de eficiência \(p = CMg\) do mercado competitivo: a soma dos benefícios marginais individuais deve igualar o custo marginal de uma unidade adicional. A diferença está em como a soma é feita. No bem privado, todos pagam o mesmo preço e cada um escolhe sua quantidade; soma-se na horizontal (quantidades individuais ao preço comum). No bem público, todos consomem a mesma quantidade \(G\) e cada um a valora diferentemente; soma-se na vertical (disposições marginais a pagar ao nível comum de \(G\), retomada em Note 16.5).
A intuição é direta: cada unidade extra de \(G\) beneficia todos os agentes simultaneamente, e o benefício social marginal é a soma dos benefícios marginais individuais, não o máximo nem a média. No exercício (com \(b_1 = 30\) e \(b_2 = 20\)), três quantidades concorrem como candidatas a “quantidade provida”:
Cenário
Quantidade
Provisão sem coordenação
\(\max(G_1, G_2) = 3\)
Provisão eficiente (Samuelson)
\(G^* = 5\)
Soma das quantidades (sem sentido para bem público)
\(G_1 + G_2 = 5\)
A diferença \(G^* - \max(G_1, G_2) = 2\) é a externalidade positiva que cada agente gera ao outro e que cada um ignora ao decidir sozinho.
O resultado é subprovisão. A condição de Samuelson é normativa: indica o que um planejador deveria atingir, mas não emerge espontaneamente da decisão descentralizada. Quando algum agente provê voluntariamente, ele para abaixo do ótimo; quando todos esperam o outro, pode haver ausência total de provisão, conforme Note 16.4. Mecanismos de desenho institucional (voto, preços de Lindahl, VCG) tentam recuperar essa eficiência e são desenvolvidos em Note 16.6.
Note 16.3: Preço de reserva e eficiência discreta de Pareto
Símbolo
Significado
\(W_i\)
riqueza inicial (dotação) do agente \(i\)
\(g_i\)
contribuição do agente \(i\) ao custo do bem público
\(X_i = W_i - g_i\)
consumo privado do agente \(i\)
\(C\)
custo total de prover o bem público
\(s \in \{0, 1\}\)
indicador de provisão (\(s=1\) se o bem é fornecido)
\(R_i\)
preço de reserva do agente \(i\)
Desenvolvimento Teórico
Estrutura do modelo discreto
Dois agentes com riqueza inicial \(W_1, W_2 > 0\). Cada um decide a contribuição \(g_i \geq 0\) ao bem público; o restante \(X_i = W_i - g_i\) vai para consumo privado (sem poupança intertemporal). O bem é provido se as contribuições cobrirem o custo:
\[g_1 + g_2 \geq C \implies s = 1; \quad \text{caso contrário, } s = 0.\]
Cada agente tem utilidade \(U_i(X_i, s)\) crescente em \(X_i\) e em \(s\). A presença do bem é sempre preferível a sua ausência ao mesmo nível de consumo privado:
O preço de reserva\(R_i\) é a contribuição máxima que torna o agente \(i\) indiferente entre ter o bem (pagando \(R_i\)) e não tê-lo (gastando tudo em \(X_i\)):
\[U_i(W_i - R_i, 1) = U_i(W_i, 0).\]
Se a contribuição cobrada for maior que \(R_i\), o agente prefere ficar sem o bem; se for menor, prefere ter o bem. O preço de reserva é a tradução monetária da valoração privada do bem público.
Eficiência de Pareto
Uma alocação \((g_1, g_2, s)\) é Pareto eficiente se não existe outra que melhore um agente sem piorar o outro. Comparam-se dois cenários:
A provisão é Pareto-superior à não-provisão se existem \((g_1, g_2)\) tais que
\[U_i(W_i - g_i, 1) \geq U_i(W_i, 0) \quad \text{para } i = 1, 2 \quad \text{(com pelo menos uma estrita).}\]
Pela definição de \(R_i\) tem-se \(U_i(W_i - g_i, 1) \geq U_i(W_i, 0) \iff g_i \leq R_i\). Somando as desigualdades \(g_i \leq R_i\) obtém-se \(g_1 + g_2 \leq R_1 + R_2\), e a combinação com \(g_1 + g_2 \geq C\) produz a regra:
\[\boxed{\text{Provisão é Pareto-eficiente} \iff R_1 + R_2 \geq C.}\]
Se a soma das valorações privadas cobre o custo, existe alguma divisão do pagamento que deixa todos pelo menos indiferentes; se não cobre, qualquer divisão piora ao menos um.
Exercício Resolvido
(Adaptado das notas de aula do Prof. Selçuk Özyurt.) Bob e Ray dividem um apartamento e consideram comprar um sofá para a sala (bem público para os dois). Os parâmetros:
Como \(R_B + R_R > C\), a compra do sofá é Pareto-eficiente: existe divisão \((g_B, g_R)\) que beneficia ambos. Isoladamente, nem Bob (\(R_B = 50 < 70\)) nem Ray (\(R_R \approx 23{,}33 < 70\)) compraria o sofá; só a soma das valorações ultrapassa o custo.
Passo 4: conjunto de divisões aceitáveis
Uma divisão do custo \((g_B, g_R)\) é Pareto-melhorante quando satisfaz três condições:
Cobre o custo sem desperdício:\(g_B + g_R = 70\). Mais que isso queima dinheiro; menos não provê o sofá.
Bob aceita pagar:\(g_B \leq R_B = 50\). Cobrar mais que seu preço de reserva o faria preferir ficar sem o sofá.
Ray aceita pagar:\(g_R \leq R_R = \dfrac{70}{3}\). Mesmo argumento aplicado a Ray.
Como a primeira condição implica \(g_R = 70 - g_B\), podemos parametrizar tudo em função de \(g_B\). A restrição sobre Ray torna-se uma cota inferior para a contribuição de Bob:
Intuitivamente: se Ray contribui com no máximo \(R_R \approx 23{,}33\), Bob precisa pagar pelo menos \(70 - R_R \approx 46{,}67\) para o restante cobrir o custo.
Combinando essa cota inferior com a cota superior\(g_B \leq R_B = 50\):
Esse valor é o “ganho de bem-estar” da provisão. Como dividi-lo é o problema distributivo: cada divisão Pareto-melhorante distribui o excedente em uma proporção diferente. Em \(g_B = 50\) (Bob no reserva), Ray fica com todo o excedente; em \(g_B = 140/3\) (Ray no reserva), Bob fica com tudo.
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# Bobcor2 <-"firebrick"# Raycor3 <-"forestgreen"# região ParetoR_B <-50R_R <-70/3C <-70gB_min <- C - R_R # 140/3 ≈ 46,67gB_max <- R_B # 50U_B0 <-100# Bob sem sofáU_R0 <-140# Ray sem sofá# === Painel 1 — utilidades em função de g_B ===gB_seq <-seq(0, 70, length.out =300)df_util <-data.frame(gB =rep(gB_seq, 2),valor =c(2* (100- gB_seq), 3* gB_seq),curva =factor(rep(c("Bob (com sofá)", "Ray (com sofá)"), each =length(gB_seq)),levels =c("Bob (com sofá)", "Ray (com sofá)")))p1 <-ggplot() +annotate("rect", xmin = gB_min, xmax = gB_max,ymin =0, ymax =220,fill = cor3, alpha =0.18) +geom_line(data = df_util, aes(x = gB, y = valor, color = curva),linewidth =1.4) +geom_hline(yintercept = U_B0, color = cor1, linetype ="dashed", linewidth =0.9) +geom_hline(yintercept = U_R0, color = cor2, linetype ="dashed", linewidth =0.9) +geom_point(aes(x = gB_max, y = U_B0), color = cor1, size =4) +geom_point(aes(x = gB_min, y = U_R0), color = cor2, size =4) +annotate("text", x =2, y = U_B0 +6,label =TeX(r"($U_B$ sem sofá $= 100$)"),color = cor1, fontface ="bold", hjust =0, size =4.5) +annotate("text", x =2, y = U_R0 +6,label =TeX(r"($U_R$ sem sofá $= 140$)"),color = cor2, fontface ="bold", hjust =0, size =4.5) +annotate("text", x = (gB_min + gB_max) /2, y =12,label ="Pareto",color = cor3, fontface ="bold", hjust =0.5, size =5) +scale_color_manual(values =c("Bob (com sofá)"= cor1,"Ray (com sofá)"= cor2),labels =c(TeX(r"($U_B = 2(100 - g_B)$)"),TeX(r"($U_R = 3 g_B$)"))) +scale_x_continuous(limits =c(0, 70), expand =c(0, 0),breaks =c(0, gB_min, gB_max, 70),labels =c("0",TeX(r"($\frac{140}{3}$)"),"50", "70")) +scale_y_continuous(limits =c(0, 220), expand =c(0, 0)) +labs(x =TeX(r"($g_B$ — contribuição de Bob (com $g_R = 70 - g_B$))"),y ="utilidade",title ="Utilidades dos agentes ao longo da divisão do custo",color =NULL) +theme_minimal(base_size =14) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom")# === Painel 2 — espaço (g_B, g_R) com zoom ===df_linha <-data.frame(gB =seq(40, 55, length.out =200),gR = C -seq(40, 55, length.out =200))df_pareto <-data.frame(gB =seq(gB_min, gB_max, length.out =60),gR = C -seq(gB_min, gB_max, length.out =60))p2 <-ggplot() +annotate("rect", xmin =40, xmax = R_B,ymin = R_R, ymax =30,fill = cor1, alpha =0.08) +annotate("rect", xmin = R_B, xmax =55,ymin =15, ymax =30,fill = cor2, alpha =0.08) +geom_line(data = df_linha, aes(x = gB, y = gR),color ="gray50", linetype ="dashed", linewidth =0.9) +geom_line(data = df_pareto, aes(x = gB, y = gR),color = cor3, linewidth =2.6) +geom_vline(xintercept = R_B, color = cor1, linetype ="dotted", linewidth =0.9) +geom_hline(yintercept = R_R, color = cor2, linetype ="dotted", linewidth =0.9) +geom_point(aes(x = gB_min, y = R_R), color = cor3, size =5) +geom_point(aes(x = gB_max, y = C - R_B), color = cor3, size =5) +annotate("text", x = gB_min -0.3, y = R_R +1.2,label ="(140/3, 70/3)",color = cor3, fontface ="bold", hjust =1, size =4) +annotate("text", x = gB_max +0.3, y = C - R_B -1.2,label ="(50, 20)",color = cor3, fontface ="bold", hjust =0, size =4) +annotate("text", x = R_B +0.3, y =28.5,label =TeX(r"(Bob desiste se $g_B > R_B$)"),color = cor1, fontface ="bold", hjust =0, size =4) +annotate("text", x =40.3, y = R_R -0.8,label =TeX(r"(Ray desiste se $g_R > R_R$)"),color = cor2, fontface ="bold", hjust =0, size =4) +annotate("text", x =47.5, y =17,label =TeX(r"($g_B + g_R = 70$)"),color ="gray30", fontface ="bold", hjust =0.5, size =4, angle =-45) +scale_x_continuous(limits =c(40, 55), expand =c(0, 0),breaks =c(40, gB_min, R_B, 55),labels =c("40",TeX(r"($\frac{140}{3}$)"),"50", "55")) +scale_y_continuous(limits =c(15, 30), expand =c(0, 0),breaks =c(15, C - R_B, R_R, 30),labels =c("15", "20",TeX(r"($\frac{70}{3}$)"),"30")) +labs(x =TeX(r"($g_B$ — contribuição de Bob)"),y =TeX(r"($g_R$ — contribuição de Ray)"),title ="Divisões Pareto-eficientes (zoom em torno de [46,67;\\, 50])") +theme_minimal(base_size =14) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8))p1 + p2
Painel esquerdo: as utilidades de Bob e Ray como função da contribuição de Bob (com \(g_R = 70 - g_B\) implícito). \(U_B\) é decrescente (Bob paga mais), \(U_R\) é crescente (Ray paga menos). As linhas tracejadas horizontais são as utilidades sem o sofá. A faixa verde marca os valores de \(g_B\) em que ambos ficam pelo menos indiferentes em comparação ao cenário sem o sofá: precisamente \(g_B \in [\tfrac{140}{3},\, 50]\).
Painel direito: o mesmo conjunto visto no plano de contribuições \((g_B, g_R)\), com zoom na vizinhança da reta orçamentária. Cada ponto do plano é uma divisão hipotética do custo. Três elementos estruturam a figura:
Reta cinza tracejada (\(g_B + g_R = 70\)): cobre o custo do sofá exatamente.
Linhas pontilhadas dos preços de reserva (vertical em \(R_B = 50\); horizontal em \(R_R = 70/3\)) delimitam a caixa de aceitação onde ambos preferem ter o sofá: à direita da vertical Bob desiste, acima da horizontal Ray desiste.
Segmento verde (interseção da reta com a caixa de aceitação): é o intervalo \(g_B \in [140/3,\, 50]\) do Passo 4 visualizado em \((g_B, g_R)\).
As extremidades do segmento são \(\bigl(\tfrac{140}{3},\, \tfrac{70}{3}\bigr)\) (Ray no preço de reserva, Bob com excedente) e \((50,\, 20)\) (Bob no preço de reserva, Ray com excedente). A largura \(50 - 140/3 = 10/3 \approx 3{,}33\) coincide com o excedente social do Passo 5: é a margem em \(g_B\) dentro da qual o excedente pode ser redistribuído.
Interpretação
O preço de reserva é a tradução monetária da valoração privada do bem público: quanto cada agente, considerando apenas seu próprio bem-estar, sacrificaria em consumo privado para garantir a provisão. Não inclui qualquer benefício para terceiros, e é exatamente essa omissão que cria o problema de subprovisão quando agentes decidem isoladamente.
A condição \(\sum R_i \geq C\) é o equivalente discreto da condição de Samuelson em Note 16.2: a soma das valorações individuais deve cobrir o custo total. Quando vale, o bem deve ser provido. A condição responde apenas se o bem deve ser provido, não como financiá-lo. Existem infinitas divisões Pareto-melhorantes do custo, e a escolha entre elas é questão distributiva, não de eficiência.
O passo seguinte (Note 16.4) introduz a dimensão estratégica: quando os agentes escolhem suas contribuições simultaneamente, sem coordenação, qual divisão emerge? A resposta surpreende: as mesmas divisões Pareto-eficientes são equilíbrios de Nash, mas \((0, 0)\) — sem provisão — também é. O ponto eficiente coexiste com o ponto ruim.
Os parâmetros do exercício de Bob e Ray (de Note 16.3):
Parâmetro
Bob
Ray
Riqueza inicial
\(W_B = 100\)
\(W_R = 70\)
Função de utilidade
\(U_B(X_B, s) = (1 + s)\, X_B\)
\(U_R(X_R, s) = (2 + s)\, X_R\)
Preço de reserva
\(R_B = 50\)
\(R_R = 70/3 \approx 23{,}33\)
Custo do sofá: \(C = 70\). Como \(R_B + R_R \approx 73{,}33 > C\), a provisão é Pareto-eficiente (box anterior). A pergunta deste box é diferente: se Bob e Ray escolhem simultaneamente quanto contribuir, sem coordenação, o sofá é comprado?
A regra do jogo
Cada agente escolhe simultaneamente sua contribuição \(g_i \geq 0\), sem conhecer a do outro. O resultado depende da soma:
Se \(g_B + g_R \geq 70\): o sofá é provido (\(s = 1\)); eventual excedente \(g_B + g_R - C\) é desperdiçado (contribuições não-reembolsáveis).
Se \(g_B + g_R < 70\): o sofá não é provido (\(s = 0\)); contribuições já feitas também são perdidas.
A hipótese de não-reembolso (dinheiro queima tanto em excesso quanto em falha) é uma simplificação modelística que torna o jogo bem definido. Para analisá-lo, dois conceitos centrais da teoria dos jogos:
Melhor resposta (do inglês best response, abreviada \(\mathrm{BR}\)). A melhor resposta do agente \(i\) é a contribuição que maximiza sua utilidade dado o que o outro contribui. Para Bob, é \(\mathrm{BR}_B(g_R)\) — função do valor que Ray contribui; para Ray, é \(\mathrm{BR}_R(g_B)\).
Equilíbrio de Nash. Par \((g_B^*, g_R^*)\) em que cada agente joga sua melhor resposta simultaneamente; nenhum agente quer desviar unilateralmente. Geometricamente, equilíbrios de Nash são as interseções das duas curvas de melhor resposta no plano \((g_B, g_R)\) — visualização que retornará na Implementação em R.
Os dois grupos de equilíbrios
Como cada agente tem um continuum de estratégias (\(g_i \in \mathbb{R}_+\)), o jogo tem infinitos equilíbrios de Nash, não representáveis por matriz finita. Eles se partem em dois grupos de significado econômico oposto.
Grupo 1 — equilíbrio sem provisão. Apenas um ponto: \((g_B, g_R) = (0, 0)\).
Como nenhum agente sozinho cobre o custo (\(R_B = 50 < 70\), \(R_R = 70/3 < 70\)), qualquer desvio individual para \(g_i > 0\) queima dinheiro sem prover o sofá. Cada um confirma \(g_i = 0\) como melhor resposta. Resultado: sem sofá.
Grupo 2 — equilíbrios com provisão. Pares \((g_B, g_R)\) tais que
equivalentes a \(g_B \in [140/3,\, 50]\) e \(g_R = 70 - g_B\). Este é exatamente o conjunto de divisões Pareto-eficientes de Note 16.3, agora reinterpretado como equilíbrios estratégicos. Em cada ponto, ambos confirmam sua contribuição: reduzir derruba a soma e perde o sofá; aumentar queima dinheiro; pular para zero é equivalente ao primeiro caso e, como \(g_i \leq R_i\), pagar é fracamente preferível a não pagar.
A falha de mercado
O resultado central deste box: o conjunto de equilíbrios de Nash contém tanto o ótimo (Grupo 2) quanto o péssimo (Grupo 1). A racionalidade individual não seleciona entre eles. Sem coordenação explícita, \((0, 0)\) é tão estável quanto \((50, 20)\).
Essa é a forma rigorosa da “falha de mercado” para bens públicos: o jogo descentralizado pode produzir resultados Pareto-inferiores que nenhum planejador escolheria. O equilíbrio eficiente existe; o problema é que o ineficiente coexiste, e nada na lógica do jogo o elimina.
Calculando \(U_i = (\alpha_i + s)(W_i - g_i)\) em três pontos representativos (com \(\alpha_B = 1\), \(\alpha_R = 2\)):
Cenário
\((g_B, g_R)\)
\(s\)
\(U_B = (1+s)(100 - g_B)\)
\(U_R = (2+s)(70 - g_R)\)
Grupo 1 (sem sofá)
\((0,\, 0)\)
0
\((1+0) \cdot 100 = 100\)
\((2+0) \cdot 70 = 140\)
Grupo 2 (Bob no reserva)
\((50,\, 20)\)
1
\((1+1) \cdot 50 = 100\)
\((2+1) \cdot 50 = 150\)
Grupo 2 (Ray no reserva)
\((140/3,\, 70/3)\)
1
\((1+1) \cdot 160/3 \approx 106{,}67\)
\((2+1) \cdot 140/3 = 140\)
Comparações com o Grupo 1:
\((50, 20)\): Bob fica indiferente (\(U_B = 100\) em ambos); Ray ganha \(+10\). Pareto-melhora fraca.
\((140/3, 70/3)\): Ray fica indiferente; Bob ganha \(\approx +6{,}67\). Pareto-melhora fraca.
Qualquer ponto interior do Grupo 2: ambos estritamente melhores.
Não há motivo de bem-estar para que a sociedade escolha o Grupo 1. Os passos seguintes mostram que, ainda assim, ele é equilíbrio.
Passo 2: verificar que \((50, 20)\) é equilíbrio de Nash
Já calculamos \(U_B = 100\), \(U_R = 150\) nesse ponto. Falta checar que nenhum dos agentes ganha desviando.
Desvios de Bob (mantendo \(g_R = 20\)):
Desvio \(g_B\)
Soma
Provisão?
\(U_B\)
\(g_B = 50\)
\(70\)
sim
\(2 \cdot 50 = 100\) ← atual
\(g_B = 49\)
\(69\)
não
\(1 \cdot 51 = 51\)
\(g_B = 51\)
\(71\)
sim (excedente queimado)
\(2 \cdot 49 = 98\)
\(g_B = 0\)
\(20\)
não
\(1 \cdot 100 = 100\) ← empate
Bob fica indiferente entre \(g_B = 50\) (com sofá) e \(g_B = 0\) (sem sofá). Como \(50 = R_B\), isso é o limite: o equilíbrio é “frágil” no sentido de que Bob está exatamente no preço de reserva.
Desvios de Ray (mantendo \(g_B = 50\)):
Desvio \(g_R\)
Soma
Provisão?
\(U_R\)
\(g_R = 20\)
\(70\)
sim
\(3 \cdot 50 = 150\) ← atual
\(g_R = 19\)
\(69\)
não
\(2 \cdot 51 = 102\)
\(g_R = 21\)
\(71\)
sim
\(3 \cdot 49 = 147\)
\(g_R = 0\)
\(50\)
não
\(2 \cdot 70 = 140\)
Ray prefere estritamente \(g_R = 20\). Confirmado: \((50, 20)\) é equilíbrio.
Passo 3: verificar que \((0, 0)\) é equilíbrio de Nash
Sem o sofá, \(U_B = 100\) e \(U_R = 140\). Pode Bob desviar lucrativamente para \(g_B > 0\)? Para isso o sofá teria de ser provido, o que requer \(g_B \geq 70\) (sem ajuda de Ray). Mas \(g_B = 70\) deixa \(X_B = 30\) e \(U_B = 2 \cdot 30 = 60 < 100\). Bob piora. Ray, idem: precisa \(g_R \geq 70\), mas \(W_R = 70\), então só \(g_R = 70\) provê o bem, gerando \(X_R = 0\) e \(U_R = 0 < 140\). Nem tentar.
Logo, \((0, 0)\) é equilíbrio. A coordenação falhou e o bem socialmente eficiente não é provido — exatamente a falha de mercado anunciada no Desenvolvimento Teórico.
Ray pode desviar para \(g_R = 0\)? Soma cai para \(40 < 70\), sofá não provido. \(U_R^{\text{desvio}} = 2 \cdot 70 = 140 > 120\). Ray prefere desviar: está pagando mais do que seu preço de reserva (\(30 > R_R \approx 23{,}33\)). Não é equilíbrio.
A intuição: fora do conjunto \(g_R \leq R_R\), sempre vale a pena para Ray sair do jogo (perde a contribuição, mas ganha a utilidade do consumo privado pleno).
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# Bob (BR_B)cor2 <-"firebrick"# Ray (BR_R)cor3 <-"forestgreen"# equilíbrios bonscor4 <-"darkorange"# provisão / sofácor5 <-"gray30"R_B <-50R_R <-70/3C <-70gB_min <- C - R_R # 140/3gB_max <- R_B # 50# === Painel 1 — payoff de Bob com g_R = 20 fixo ===# Mostra a descontinuidade do payoff em g_B = R_B e a indiferença de Bob# entre g_B = 0 (sem sofá) e g_B = 50 (com sofá): ambos dão U_B = 100.gR_fixo <-20gB_sem <-seq(0, R_B, length.out =80)gB_com <-seq(R_B, 80, length.out =80)df_sem <-data.frame(gB = gB_sem, U =100- gB_sem)df_com <-data.frame(gB = gB_com, U =2* (100- gB_com))# Região de desperdício: faixa entre a curva sem sofá e o baseline U=100df_waste <-data.frame(gB = gB_sem,ymin =100- gB_sem,ymax =100)p1 <-ggplot() +geom_ribbon(data = df_waste, aes(x = gB, ymin = ymin, ymax = ymax),fill ="tomato", alpha =0.30) +geom_line(data = df_sem, aes(x = gB, y = U),color = cor5, linewidth =1.4) +geom_line(data = df_com, aes(x = gB, y = U),color = cor4, linewidth =1.4) +geom_segment(aes(x = R_B, xend = R_B, y =50, yend =100),color ="gray60", linetype ="dotted", linewidth =0.7) +geom_hline(yintercept =100, color = cor3, linetype ="dashed", linewidth =0.7) +geom_point(aes(x = R_B, y =50), color = cor5, fill ="white",size =4, shape =21, stroke =1.5) +geom_point(aes(x = R_B, y =100), color = cor4, size =4) +geom_point(aes(x =0, y =100), color = cor3, size =5) +geom_point(aes(x = R_B, y =100), color = cor3, size =5) +annotate("text", x =4, y =108,label ="(0, 100)",color = cor3, fontface ="bold", hjust =0, size =5.5) +annotate("text", x = R_B +4, y =108,label ="(50, 100)",color = cor3, fontface ="bold", hjust =0, size =5.5) +annotate("text", x =33, y =87,label ="região de desperdício:\nBob contribui, \nsofá não é comprado",color ="tomato4", fontface ="italic", hjust =0.5, size =5.3) +annotate("text", x =20, y =38,label ="sem sofá:\nU_B = 100 - g_B",color = cor5, fontface ="bold", hjust =0.5, size =5.5) +annotate("text", x =65, y =38,label ="com sofá:\nU_B = 2(100 - g_B)",color = cor4, fontface ="bold", hjust =0.5, size =5.5) +scale_x_continuous(limits =c(0, 80), expand =c(0, 0),breaks =c(0, R_B, 80),labels =c("0", TeX(r"($R_B = 50$)"), "80")) +scale_y_continuous(limits =c(0, 130), expand =c(0, 0)) +labs(x =TeX(r"($g_B$ — contribuição de Bob (com $g_R = 20$ fixo))"),y =TeX(r"($U_B$)"),title ="Payoff descontínuo no preço de reserva: Bob indiferente entre 0 e 50") +theme_minimal(base_size =17) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8))# === Painel 2 — curvas de reação no plano (g_B, g_R) ===# Reta orçamentária g_B + g_R = 70 como referência de fundo.# BR_B(g_R): g_B = 0 para g_R em [0, 20]; g_B = 70 - g_R para g_R em [20, 70].# BR_R(g_B): g_R = 0 para g_B em [0, 140/3]; g_R = 70 - g_B para g_B em [140/3, 70].# Equilíbrios de Nash = (0,0) ∪ {g_B + g_R = 70 : g_B em [140/3, 50]}.df_orcamento <-data.frame(gB =c(0, C), gR =c(C, 0))df_BRB_baixo <-data.frame(gB =0, gR =c(0, 20))df_BRB_alto <-data.frame(gB =c(R_B, 0), gR =c(20, 70))df_BRR_baixo <-data.frame(gB =c(0, gB_min), gR =0)df_BRR_alto <-data.frame(gB =c(gB_min, C), gR =c(R_R, 0))df_overlap <-data.frame(gB =c(gB_min, gB_max),gR =c(R_R, C - gB_max))p2 <-ggplot() +# Reta orçamentária (referência de fundo)geom_line(data = df_orcamento, aes(x = gB, y = gR),color ="gray60", linetype ="dashed", linewidth =0.9) +# BR_Bgeom_line(data = df_BRB_baixo, aes(x = gB, y = gR),color = cor1, linewidth =1.6) +geom_line(data = df_BRB_alto, aes(x = gB, y = gR),color = cor1, linewidth =1.6) +# BR_Rgeom_line(data = df_BRR_baixo, aes(x = gB, y = gR),color = cor2, linewidth =1.6) +geom_line(data = df_BRR_alto, aes(x = gB, y = gR),color = cor2, linewidth =1.6) +# Bolinhas marcando as descontinuidades das curvas de reaçãogeom_point(aes(x =0, y =20), color = cor1, size =3.5) +geom_point(aes(x = gB_min, y =0), color = cor2, size =3.5) +# Segmento Pareto (Nash bons)geom_line(data = df_overlap, aes(x = gB, y = gR),color = cor3, linewidth =4) +# Pontos de equilíbrio: Nash ruim + extremos do segmento Paretogeom_point(aes(x =0, y =0), color = cor3, size =6) +geom_point(aes(x = gB_min, y = R_R), color = cor3, size =6) +geom_point(aes(x = R_B, y = C - R_B), color = cor3, size =6) +annotate("text", x =4, y =5,label ="Nash ruim:\n(0, 0)",color = cor3, fontface ="bold", hjust =0, size =6) +annotate("text", x = gB_min -3, y = R_R,label =TeX(r"($\left(\frac{140}{3},\, \frac{70}{3}\right)$)"),color = cor3, fontface ="bold", hjust =1, size =5.3) +annotate("text", x = R_B +1.5, y = C - R_B +1,label ="(50, 20)",color = cor3, fontface ="bold", hjust =0, size =5.3) +annotate("text", x =60, y =40,label ="Nash bons (Pareto):\nsegmento verde",color = cor3, fontface ="bold", hjust =0.5, size =6) +annotate("text", x =7, y =65,label ="bold(BR)[B] * (italic(g)[R])",parse =TRUE,color = cor1, hjust =0, size =6.5) +annotate("text", x =58, y =4,label ="bold(BR)[R] * (italic(g)[B])",parse =TRUE,color = cor2, hjust =0.5, size =6.5) +annotate("text", x =34, y =54,label =TeX(r"(reta orçamentária $g_B + g_R = 70$)"),color ="gray40", fontface ="italic", hjust =0.5, size =6) +scale_x_continuous(limits =c(-1, 75), expand =c(0, 0),breaks =c(0, gB_min, R_B, C),labels =c("0",TeX(r"($\frac{140}{3}$)"),"50", "70")) +scale_y_continuous(limits =c(-1, 75), expand =c(0, 0),breaks =c(0, 20, R_R, 50, 70),labels =c("0", "20",TeX(r"($\frac{70}{3}$)"),"50", "70")) +labs(x =TeX(r"($g_B$ — contribuição de Bob)"),y =TeX(r"($g_R$ — contribuição de Ray)"),title ="Curvas de reação e equilíbrios de Nash") +theme_minimal(base_size =17) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8))p1 + p2
Painel esquerdo: payoff de Bob ao variar \(g_B\) com \(g_R = 20\) fixo. Para \(g_B < 50\) o sofá não é provido (cinza, \(U_B = 100 - g_B\)); em \(g_B = 50\) o limiar é atingido e a utilidade salta para a curva laranja (\(U_B = 2(100 - g_B)\)). O triângulo avermelhado entre a curva cinza e a horizontal \(U_B = 100\) marca a região de desperdício: qualquer \(g_B \in (0, 50)\) deixa Bob estritamente pior do que \(g_B = 0\), porque ele contribui sem receber o sofá; a altura do triângulo em cada \(g_B\) é exatamente a perda de utilidade. Os dois pontos verdes em \((0, 100)\) e \((50, 100)\) marcam os valores onde \(U_B = 100\): Bob é indiferente entre não contribuir e contribuir exatamente seu preço de reserva. Essa indiferença torna \((0, 0)\) e \((50, 20)\) simultaneamente equilíbrios de Nash.
Painel direito: curvas de reação no plano \((g_B, g_R)\). Cada ponto é uma combinação hipotética de contribuições; os equilíbrios de Nash são as interseções das duas curvas de melhor resposta.
A reta orçamentária (tracejada cinza, \(g_B + g_R = 70\)) marca onde as contribuições cobrem o custo do sofá exatamente.
\(\mathrm{BR}_B(g_R)\) (curva azul). Bob tem um limiar em \(g_R = 20\). Se \(g_R < 20\), fica em \(g_B = 0\) (linha vertical): completar o custo sozinho exigiria \(g_B > R_B\), deixando-o pior do que sem o sofá. Se \(g_R \geq 20\), Bob contribui \(70 - g_R\) exatamente, fechando o custo sobre a reta orçamentária. A bolinha azul em \((0, 20)\) marca o último ponto do “ramo de não-contribuir”.
\(\mathrm{BR}_R(g_B)\) (curva vermelha). Lógica simétrica em torno de \(g_B = 140/3 \approx 46{,}67\) (limiar análogo para Ray, com bolinha vermelha em \((140/3, 0)\)).
Os equilíbrios de Nash são duas configurações topologicamente distintas, ambas em verde:
Ponto isolado \((0, 0)\) no canto inferior esquerdo: equilíbrio sem provisão (jogo de espera mútua).
Segmento verde entre \(\bigl(\frac{140}{3},\, \frac{70}{3}\bigr)\) e \((50, 20)\): equilíbrios Pareto-eficientes, no trecho da reta orçamentária onde as duas BR diagonais coincidem. Os extremos marcam onde cada agente está exatamente em seu preço de reserva — Ray no extremo esquerdo \(\bigl(\frac{140}{3},\, \frac{70}{3}\bigr)\), Bob no extremo direito \((50, 20)\).
Interpretação
O jogo de provisão expõe a falha de coordenação característica de bens públicos. Mesmo quando a provisão é eficiente (box Note 16.3), a sociedade pode ficar presa em \((0, 0)\) por simples falta de coordenação. Cada agente espera o outro contribuir; se nenhum começa, nada acontece.
A estrutura é a mesma do dilema do prisioneiro: a estratégia “não contribuir” é robusta na ausência de mecanismos de coordenação. Compare com a tragédia dos comuns (discutida em externalidades), onde a externalidade tem sinal oposto (consumo demais em vez de provisão de menos), mas o problema lógico é simétrico: a racionalidade individual produz um resultado coletivamente pior do que o factível.
A pergunta natural é: que mecanismos podem mover a sociedade do equilíbrio ruim para os bons? Note 16.6 discute três respostas — voto, preços de Lindahl e mecanismo VCG.
Note 16.5: Soma vertical de demandas (privado vs. público)
Desenvolvimento Teórico
A diferença formal entre bens privados e públicos aparece na agregação das demandas individuais:
Bem privado: todos os consumidores enfrentam o mesmo preço \(p\), mas escolhem quantidades \(x_i\) diferentes. A demanda agregada é a soma horizontal\(X(p) = \sum_i x_i(p)\).
Bem público: todos os consumidores recebem a mesma quantidade \(G\), mas têm disposições marginais a pagar \(p_i(G)\) diferentes. A demanda agregada (no sentido de disposição marginal a pagar agregada) é a soma vertical\(P(G) = \sum_i p_i(G)\).
A condição de Samuelson aparece como interseção da soma vertical com o custo marginal:
\[P(G^*) = \sum_i p_i(G^*) = CMg.\]
A diferença com o bem privado é a fonte da subprovisão. Em um bem privado, cada consumidor compra até \(p_i = p\); o ótimo agregado é mantido pela troca individual. Em um bem público, é toda a sociedade que enfrenta a mesma quantidade, então o ótimo exige somar disposições, não ofertas.
Exercício Resolvido
Enunciado. Três bairros — 1 (renda alta), 2 (média) e 3 (baixa) — consideram financiar coletivamente a manutenção de um parque público. A variável de provisão é \(G =\) horas-equivalente de manutenção por mês.
A disposição marginal a pagar (DMP) de cada bairro pela próxima hora de manutenção, em R$/hora, é:
Interpretando os parâmetros: para o bairro \(i\), a primeira hora vale \(a_i\) reais (\(a_1 = 30\), \(a_2 = 24\), \(a_3 = 18\)); cada hora adicional reduz a valoração em R$ 1 (inclinação \(-1\)); acima de \(G = a_i\), o bairro não atribui valor à hora extra.
O custo marginal de manutenção é \(c = 18\) por hora, constante (simplificação modelística: o custo poderia ser convexo em modelos mais gerais).
Pede-se: (i) a função de valor social marginal \(P(G)\) pela soma vertical das DMPs; (ii) o nível eficiente \(G^*\) pela condição de Samuelson; (iii) a comparação com o nível que cada bairro proveria isoladamente, para evidenciar a magnitude da subprovisão.
Passo 1: soma vertical
A operação concreta da soma vertical: fixe uma quantidade \(G\) no eixo horizontal e some as ordenadas das três curvas individuais \(p_1(G), p_2(G), p_3(G)\). O resultado \(P(G)\) é a função do valor social marginal — quanto a sociedade, no conjunto, valoriza adicionar uma unidade extra do bem público naquele nível de provisão.
Para \(G \in [0, 18]\), todos os três bairros têm DMP (disposição marginal a pagar) estritamente positiva, então a soma é direta:
A curva agregada \(P(G)\) tem dois aspectos diagnósticos:
Intercepto \(72\): a soma das três valorações máximas quando \(G = 0\) (a primeira hora seria valorada em \(30 + 24 + 18\)).
Inclinação \(-3\): cada hora adicional reduz a soma das DMPs em três unidades, uma por bairro (cada bairro perde 1 unidade de DMP por hora extra, pois \(\partial p_i/\partial G = -1\)).
Em qualquer ponto, \(P(G)\) fica acima de cada curva individual, pois soma três valores não-negativos.
Para \(G > 18\) o bairro 3 satura (\(p_3(G) = 0\), ele não valoriza horas além desse limiar) e a soma passa a ter inclinação \(-2\); após \(G = 24\), o bairro 2 também satura e a inclinação vira \(-1\). No exercício, porém, o ótimo \(G^*\) cai antes desses cortes, então o cálculo do próximo passo usa a forma linear \(72 - 3G\).
Provisão privada máxima: \(G_1 = 12\), abaixo do ótimo \(G^* = 18\). Subprovisão de \(6\) horas (1/3 do ótimo). O bairro 3 não provê nada sozinho.
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# bairro 1 / consumidor 1cor2 <-"firebrick"# bairro 2 / consumidor 2cor3 <-"forestgreen"# bairro 3 / consumidor 3 (e soma)cor4 <-"darkorange"# custo / preçoc_unit <-18G_otimo <-18# === Painel 1: bem privado — soma horizontal ===p_seq <-seq(0, 30, length.out =200)df_priv <-data.frame(p =rep(p_seq, 4),x =c(pmax(30- p_seq, 0),pmax(24- p_seq, 0),pmax(18- p_seq, 0),pmax(30- p_seq, 0) +pmax(24- p_seq, 0) +pmax(18- p_seq, 0)),curva =factor(rep(c("d_1", "d_2", "d_3", "X"), each =length(p_seq)),levels =c("d_1", "d_2", "d_3", "X")))p1 <-ggplot(df_priv, aes(x = x, y = p, color = curva)) +geom_line(linewidth =1.3) +geom_hline(yintercept = c_unit, color = cor4, linetype ="dashed", linewidth =0.9) +geom_point(aes(x =18, y = c_unit), color = cor4, size =5, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x =22, y = c_unit +5,label =TeX(r"($X(18) = 18$)"),fontface ="bold", hjust =1, size =6.5) +annotate("text", x =70, y = c_unit +2,label =TeX(r"(preço $p = 18$)"),color = cor4, fontface ="bold", hjust =1, size =6.5) +annotate("text", x =50, y =72,label =TeX(r"(soma horizontal $X(p)$:)"),color ="black", fontface ="bold", hjust =0, size =5.5) +annotate("text", x =50, y =67,label =TeX(r"($72 - 3p$, para $0 \leq p \leq 18$)"),color ="black", hjust =0, size =5) +annotate("text", x =50, y =62,label =TeX(r"($54 - 2p$, para $18 < p \leq 24$)"),color ="black", hjust =0, size =5) +annotate("text", x =50, y =57,label =TeX(r"($30 - p$, para $24 < p \leq 30$)"),color ="black", hjust =0, size =5) +scale_color_manual(values =c("d_1"= cor1, "d_2"= cor2, "d_3"= cor3, "X"="black"),labels =c(TeX(r"($d_1$)"), TeX(r"($d_2$)"), TeX(r"($d_3$)"),TeX(r"(soma horizontal $X(p)$)"))) +scale_x_continuous(limits =c(0, 75), expand =c(0, 0),breaks =c(0, 18, 30, 50, 72)) +scale_y_continuous(limits =c(0, 75), expand =c(0, 0),breaks =c(0, 18, 30, 50, 72)) +labs(x ="x (quantidade)", y ="preço",title ="Bem privado: soma horizontal das demandas",color =NULL) +theme_minimal(base_size =17) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom")# === Painel 2: bem público — soma vertical ===G_seq <-seq(0, 30, length.out =200)df_pub <-data.frame(G =rep(G_seq, 4),valor =c(pmax(30- G_seq, 0),pmax(24- G_seq, 0),pmax(18- G_seq, 0),pmax(30- G_seq, 0) +pmax(24- G_seq, 0) +pmax(18- G_seq, 0)),curva =factor(rep(c("p_1", "p_2", "p_3", "P"), each =length(G_seq)),levels =c("p_1", "p_2", "p_3", "P")))p2 <-ggplot(df_pub, aes(x = G, y = valor, color = curva)) +geom_line(linewidth =1.3) +geom_hline(yintercept = c_unit, color = cor4, linetype ="dashed", linewidth =0.9) +geom_point(aes(x = G_otimo, y = c_unit), color = cor4, size =5, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x = G_otimo +9, y = c_unit +5,label =TeX(r"($G^* = 18$)"),fontface ="bold", hjust =1, size =6.5) +annotate("text", x =70, y = c_unit +2,label =TeX(r"(custo $c = 18$)"),color = cor4, fontface ="bold", hjust =1, size =6.5) +annotate("text", x =50, y =72,label =TeX(r"(soma vertical $P(G)$:)"),color ="black", fontface ="bold", hjust =0, size =5.5) +annotate("text", x =50, y =67,label =TeX(r"($72 - 3G$, para $0 \leq G \leq 18$)"),color ="black", hjust =0, size =5) +annotate("text", x =50, y =62,label =TeX(r"($54 - 2G$, para $18 < G \leq 24$)"),color ="black", hjust =0, size =5) +annotate("text", x =50, y =57,label =TeX(r"($30 - G$, para $24 < G \leq 30$)"),color ="black", hjust =0, size =5) +scale_color_manual(values =c("p_1"= cor1, "p_2"= cor2, "p_3"= cor3, "P"="black"),labels =c(TeX(r"($p_1(G) = 30 - G$)"),TeX(r"($p_2(G) = 24 - G$)"),TeX(r"($p_3(G) = 18 - G$)"),TeX(r"(soma vertical $P(G)$)"))) +scale_x_continuous(limits =c(0, 75), expand =c(0, 0),breaks =c(0, 6, 12, G_otimo, 30, 50, 72),labels =c("0", "6", "12", "18", "30", "50", "72")) +scale_y_continuous(limits =c(0, 75), expand =c(0, 0),breaks =c(0, 18, 30, 50, 72)) +labs(x ="G (quantidade do bem público)", y ="disposição marginal a pagar",title ="Bem público: soma vertical das disposições",color =NULL) +theme_minimal(base_size =17) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom")p1 + p2
Os dois painéis usam a mesma escala \(0\)–\(75\) nos dois eixos, deixando visível o espelhamento entre os modos de agregação: o que é horizontal em um vira vertical no outro, e o ponto de equilíbrio cai exatamente em \((18, 18)\) nos dois.
Painel esquerdo: bem privado. As três curvas individuais são empilhadas horizontalmente: dado um preço \(p\), soma-se quantidade. A curva de demanda agregada (preta) é mais “achatada” que cada individual e cruza \(p = 18\) em \(X = 18\).
Painel direito: bem público. As três curvas são empilhadas verticalmente: dada uma quantidade \(G\), soma-se disposição. A curva agregada (preta) é mais “alta” que cada individual e cruza \(c = 18\) em \(G^* = 18\).
Interpretação
A pergunta de fundo: como combinar preferências quando o bem é consumido simultaneamente por todos? Para bens privados (rivais), cada um escolhe quanto comprar ao preço de mercado e somam-se as quantidades (soma horizontal). Para bens públicos (não-rivais), todos consomem a mesma quantidade e somam-se as disposições marginais a pagar (DMP — quanto cada um pagaria por uma unidade adicional do bem, função \(p_i(G)\)). Essa inversão da operação de agregação é a origem mecânica da subprovisão.
Verificação numérica em \(G = 10\):
Bairro
DMP por hora extra
1 (renda alta)
\(30 - 10 = 20\)
2 (renda média)
\(24 - 10 = 14\)
3 (renda baixa)
\(18 - 10 = 8\)
Valor social marginal
\(\mathbf{42}\)
O valor social marginal (\(42\)) é mais que o dobro do custo (\(c = 18\)): cabe expandir a provisão. Aumentar \(G\) enquanto \(P(G) > c\) leva até \(G^* = 18\), onde \(P(18) = 18 = c\) (condição de Samuelson).
A falha do mercado descentralizado: se cada bairro decidisse sozinho, igualaria sua DMP individual ao custo e obteria \(G_1 = 12\), \(G_2 = 6\), \(G_3 = 0\). Mesmo o “campeão” (bairro 1) provê apenas \(\tfrac{2}{3}\) do ótimo. Cada um ignora que, entre as horas 13ª e 18ª, os bairros 2 e 3 também têm DMP positiva, e a soma das três cobre o custo. A diferença entre \(G^*\) e o resultado isolado é a externalidade positiva ignorada por cada agente — e justifica a intervenção (Estado, cooperativa, taxação) discutida no box final.
Note 16.6: Mecanismos de provisão: voto, Lindahl, VCG
Desenvolvimento Teórico
Os boxes anteriores estabeleceram dois fatos: (i) há um nível eficiente de bem público \(G^*\) caracterizado pela condição de Samuelson; (ii) a provisão privada descentralizada subprovê e pode até falhar completamente. Resta a pergunta: por meio de que mecanismo institucional uma sociedade decide \(G\)? Três respostas, em profundidade decrescente.
1. Voto majoritário e teorema do eleitor mediano
Sob preferências unimodais (cada agente tem um ótimo \(G_i^*\), e utilidade decresce monotonamente à medida que \(G\) se afasta dele), a votação por maioria simples seleciona o ótimo do eleitor mediano(Black, 1948). Em uma população com ímpar de eleitores e preferências bem ordenadas, o \(G\) preferido pelo mediano vence em qualquer comparação par a par.
A regra é simples e factível, mas raramente coincide com o ótimo de Samuelson — exceto em casos de simetria. O eleitor mediano reflete a posição na distribuição, não a soma das valorações.
2. Equilíbrio de Lindahl
Lindahl (1958) propôs preços personalizados: cada agente \(i\) paga uma fração \(\tau_i\) do custo marginal por unidade de \(G\), com \(\sum_i \tau_i = c\). Cada agente, tomando \(\tau_i\) como dado, escolhe a quantidade \(G_i^*(\tau_i)\) que iguala sua disposição marginal ao seu preço pessoal:
\[p_i(G_i^*) = \tau_i.\]
O equilíbrio de Lindahl é um vetor \((\tau_1, \dots, \tau_n, G^L)\) tal que (i) cada agente deseja a mesma quantidade \(G^L\) ao seu preço pessoal e (ii) \(\sum \tau_i = c\). Substituindo a soma das condições individuais \(p_i(G^L) = \tau_i\):
\[\sum_i p_i(G^L) = \sum_i \tau_i = c,\]
que é exatamente a condição de Samuelson. Lindahl recupera o ótimo eficiente.
3. Mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves (VCG)
Lindahl supõe que o planejador conhece as preferências de cada agente. Na prática, o planejador precisa que os agentes revelem suas preferências, e o problema do free-rider gera incentivo a subdeclarar a valoração. O mecanismo VCG resolve isso desenhando transferências que tornam a revelação verdadeira a estratégia dominante (Clarke, 1971; Groves, 1973; Vickrey, 1961).
Para o caso discreto \(G \in \{0, 1\}\) com \(n\) agentes:
Cada agente \(i\) declara um preço de reserva \(\tilde R_i\).
Decisão: \(G = 1\) se \(\sum_i \tilde R_i \geq C\), \(G = 0\) caso contrário.
Transferência de \(i\) (Clarke pivotal): se \(i\) é pivotal (a decisão muda quando \(i\) é removido do problema), \(i\) paga a externalidade que sua presença impõe aos demais.
A consequência: a melhor declaração para \(i\) é a verdade, \(\tilde R_i = R_i\). Mentir só altera o resultado quando \(i\) é pivotal, e nesse caso afeta o próprio bem-estar adversamente.
Exercício Resolvido (VCG)
Aplicação ao caso Bob & Ray, \(C = 70\), \(R_B = 50\), \(R_R = 70/3\).
Bob é pivotal? Sem Bob, o sistema decidiria com \(\tilde R_R = \frac{70}{3} < 70\) ⇒ \(G = 0\). Sim, Bob é pivotal: sua presença muda a decisão de “não” para “sim”.
Bob paga a “externalidade” que impõe aos outros. No mecanismo de Clarke, Bob paga o que seria preciso para que, sem ele, a decisão ainda fosse “construir”:
A arrecadação (\(\frac{200}{3} \approx 66{,}67\)) é menor que o custo (\(70\)). VCG produz déficit orçamentário: a diferença (\(70 - \frac{200}{3} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33\), exatamente o excedente social do box Note 16.3) precisa ser financiada por outra fonte. Essa é uma limitação conhecida do mecanismo: eficiência alocativa e equilíbrio fiscal não são simultaneamente alcançáveis em geral (Green e Laffont, 1979).
Passo 4: por que verdade é dominante
Suponha que Bob declare \(\tilde R_B = 40 < R_B = 50\) (subdeclaração). \(\sum \tilde R = 40 + \frac{70}{3} \approx 63{,}33 < 70\) ⇒ \(G = 0\). Bob perde a oportunidade de pagar \(\frac{140}{3} \approx 46{,}67 < 50 = R_B\) por algo que vale \(50\) para ele. Subdeclarar custa caro. Sobredeclarar não muda nada (a decisão já era \(G = 1\) com a verdade), exceto que pode mantê-lo como pivotal sem alterar a transferência (que depende apenas das declarações dos outros).
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# bairro 1cor2 <-"firebrick"# bairro 2cor3 <-"forestgreen"# bairro 3cor4 <-"darkorange"# mediano / Lindahlcor5 <-"gray30"# Comparação de mecanismos no exemplo do parque (box 6)# G_i ótimos individuais: 12, 6, 0 => mediano = 6# Samuelson: G* = 18mecanismos <-data.frame(mecanismo =factor(c("Provisão privada\n(maior individual)","Voto majoritário\n(eleitor mediano)","Lindahl\n= Samuelson","Samuelson\n(ótimo de eficiência)"),levels =c("Provisão privada\n(maior individual)","Voto majoritário\n(eleitor mediano)","Lindahl\n= Samuelson","Samuelson\n(ótimo de eficiência)")),G =c(12, 6, 18, 18))ggplot(mecanismos, aes(x = mecanismo, y = G, fill = mecanismo)) +geom_col(width =0.6) +geom_text(aes(label =paste0("G = ", G)),vjust =-0.5, size =5, fontface ="bold") +geom_hline(yintercept =18, color = cor3, linetype ="dashed", linewidth =0.9) +scale_fill_manual(values =c("Provisão privada\n(maior individual)"= cor1,"Voto majoritário\n(eleitor mediano)"= cor4,"Lindahl\n= Samuelson"= cor3,"Samuelson\n(ótimo de eficiência)"= cor3),guide ="none") +scale_y_continuous(limits =c(0, 22), expand =c(0, 0)) +labs(x =NULL, y ="G (horas de manutenção)",title ="Comparação de mecanismos no exemplo do parque público") +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8))
A barra dourada (eleitor mediano) fica em \(G = 6\), abaixo do azul (provisão privada do bairro mais valorizador, \(G = 12\)) e bem abaixo do verde (Lindahl/Samuelson, \(G = 18\)). O resultado pode parecer contra-intuitivo: voto majoritário pode ser pior que provisão privada não-coordenada quando a distribuição de preferências é assimétrica (o eleitor mediano arrasta o resultado para baixo se há concentração à esquerda).
Interpretação
Os três mecanismos respondem ao mesmo problema por caminhos distintos:
Mecanismo
Acerta Samuelson?
Exige conhecer preferências?
Equilíbrio fiscal?
Voto majoritário
só por coincidência
não (apenas voto)
sim
Lindahl
sim
sim
sim
VCG
sim
obtém via revelação
em geral, não
Na prática, política pública combina elementos: tributação geral (sem preços individualizados) financia provisão; voto seleciona representantes que decidem sobre nível e composição; consultas, audiências e estimativas econométricas substituem a revelação direta. Cada arranjo institucional faz uma combinação diferente entre eficiência alocativa, custos informacionais e legitimidade democrática. Não há mecanismo dominante.
A literatura recente em desenho de mecanismos (Maskin, 2008; Myerson, 2008) explora variantes que aliviam o trade-off entre revelação e equilíbrio fiscal, mas a impossibilidade básica permanece: por Green e Laffont (1979), nenhum mecanismo eficiente, à prova de manipulação e fiscalmente equilibrado existe em geral.
BLACK, D. On the Rationale of Group Decision-making. Journal of Political Economy, v. 56, n. 1, p. 23–34, 1948.
CLARKE, E. H. Multipart Pricing of Public Goods. Public Choice, v. 11, p. 17–33, 1971.
GREEN, J. R.; LAFFONT, J.-J. Incentives in Public Decision-Making. Amsterdam: North-Holland, 1979.
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HARDIN, G. The Tragedy of the Commons. Science, v. 162, n. 3859, p. 1243–1248, 1968.
LINDAHL, E. Just Taxation: A Positive Solution. Em: MUSGRAVE, R. A.; PEACOCK, A. T. (Eds.). Classics in the Theory of Public Finance. London: Macmillan, 1958. p. 168–176.
MASKIN, E. S. Mechanism Design: How to Implement Social Goals. American Economic Review, v. 98, n. 3, p. 567–576, 2008.
MYERSON, R. B. Perspectives on Mechanism Design in Economic Theory. American Economic Review, v. 98, n. 3, p. 586–603, 2008.
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TOUFFUT, J.-P. Advancing public goods. [s.l.] Edward Elgar Publishing, 2006.
VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. [s.l.] Elsevier, 2012.
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