Considere dois consumidores com as seguintes funções de utilidade:
\[U_A (x^{A}_{1}, x^{A}_{2}) = x^{A}_{1} x^{A}_{2}\]
\[U_B (x^{B}_{1}, x^{B}_{2}) = x^{B}_{1} x^{B}_{2}\]
Dotações iniciais:
- \(\omega_1^A = 10\)
- \(\omega_2^A = 5\)
- \(\omega_1^B = 5\)
- \(\omega_2^B = 10\)
Sendo os preços: \(p_1 = 2\) e \(p_2 = 1\)
Encontre:
- demandas brutas
- demandas líquidas
- excessos de demanda agregada
Por fim, aplique a lei de Walras para saber se os preços conseguem levar a economia ao equilíbrio.
Passo 1: Identificar as utilidades e dotações.
| A |
\(x_1^A \, x_2^A\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(10\) |
\(5\) |
| B |
\(x_1^B \, x_2^B\) |
\(1\) |
\(1\) |
\(5\) |
\(10\) |
| Total |
|
|
|
\(15\) |
\(15\) |
Preços dados: \(p_1 = 2\) e \(p_2 = 1\). Queremos saber se esses preços levam a economia ao equilíbrio.
A demanda marshalliana (ou demanda ordinária) é a quantidade ótima de cada bem que o consumidor escolhe, dados os preços e sua renda. É o resultado do problema:
\[\max_{x_1, x_2} \; U(x_1, x_2) \quad \text{sujeito a} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m\]
A solução \(x_i^*(p_1, p_2, m)\) expressa a demanda como função dos preços e da renda. Em economia de troca pura, a renda é o valor da dotação inicial: \(m = p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2\).
Nos callouts anteriores, encontramos alocações eficientes igualando \(TMS_A = TMS_B\) (curva de contrato). Agora o problema muda: queremos saber qual alocação o mercado seleciona a dados preços. Para isso, cada consumidor resolve seu problema de maximização individual, e verificamos se as demandas resultantes são compatíveis com as dotações totais.
Passo 2: Derivar a demanda marshalliana Cobb-Douglas via Lagrange (revisão).
O consumidor maximiza \(U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}\) sujeito a \(p_1 x_1 + p_2 x_2 = m\). O Lagrangiano é:
\[\mathcal{L} = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)\]
Condições de primeira ordem:
\[\begin{aligned}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} &= \alpha_1 x_1^{\alpha_1-1} x_2^{\alpha_2} - \lambda p_1 = 0 & & \Rightarrow \lambda = \frac{\alpha_1 x_1^{\alpha_1-1} x_2^{\alpha_2}}{p_1} \\[6pt]
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} &= \alpha_2 x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2-1} - \lambda p_2 = 0 & & \Rightarrow \lambda = \frac{\alpha_2 x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2-1}}{p_2} \\[6pt]
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} &= m - p_1 x_1 - p_2 x_2 = 0 & & \text{restrição orçamentária}
\end{aligned}\]
Igualando as expressões de \(\lambda\) e simplificando:
\[\begin{aligned}
\frac{\alpha_1 x_1^{\alpha_1-1} x_2^{\alpha_2}}{p_1} &= \frac{\alpha_2 x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2-1}}{p_2} & & \text{igualando } \lambda \\[6pt]
\frac{\alpha_1}{\alpha_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} &= \frac{p_1}{p_2} & & \text{simplificando os expoentes} \\[6pt]
x_2 &= \frac{\alpha_2 p_1}{\alpha_1 p_2} \cdot x_1 & & \text{isolando } x_2
\end{aligned}\]
Substituindo na restrição orçamentária:
\[\begin{aligned}
p_1 x_1 + p_2 \cdot \frac{\alpha_2 p_1}{\alpha_1 p_2} \cdot x_1 &= m \\[6pt]
p_1 x_1 \left(1 + \frac{\alpha_2}{\alpha_1}\right) &= m & & \text{fatorando } p_1 x_1 \\[6pt]
p_1 x_1 \cdot \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\alpha_1} &= m
\end{aligned}\]
A demanda marshalliana Cobb-Douglas é:
\[\boxed{x_i^* = \frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \alpha_2} \cdot \frac{m}{p_i}}\]
A fração \(\frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \alpha_2}\) é a proporção constante da renda alocada ao bem \(i\). A constante multiplicativa \(A\) da função utilidade não afeta as demandas.
Passo 3: Calcular demandas brutas, líquidas e excesso de demanda agregada.
Em economia de troca pura, a renda é o valor da dotação: \(m = p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2\). Com \(\alpha_1 = \alpha_2 = 1\), a fração orçamentária é \(1/2\) para cada bem.
Consumidor A — renda: \(m^A = 2 \cdot 10 + 1 \cdot 5 = 25\).
\[\begin{aligned}
x_1^A &= \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{25}{2} = 6{,}25 & & \text{demanda bruta de } x_1 \\[6pt]
x_2^A &= \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{25}{1} = 12{,}5 & & \text{demanda bruta de } x_2 \\[6pt]
z_1^A &= 6{,}25 - 10 = -3{,}75 & & \text{demanda líquida: vendedor de } x_1 \\[6pt]
z_2^A &= 12{,}5 - 5 = +7{,}5 & & \text{demanda líquida: comprador de } x_2
\end{aligned}\]
Consumidor B — renda: \(m^B = 2 \cdot 5 + 1 \cdot 10 = 20\).
\[\begin{aligned}
x_1^B &= \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{20}{2} = 5 \\[6pt]
x_2^B &= \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{20}{1} = 10 \\[6pt]
z_1^B &= 5 - 5 = 0 & & \text{sem demanda líquida} \\[6pt]
z_2^B &= 10 - 10 = 0 & & \text{sem demanda líquida}
\end{aligned}\]
Note que B já está no ótimo a esses preços: sua razão de dotações \(\omega_2^B / \omega_1^B = 10/5 = 2 = p_1/p_2\), o que coincide com a \(TMS\) avaliada na dotação. Embora B esteja satisfeito, A quer trocar — e o mercado não fecha.
Passo 4: Calcular o excesso de demanda agregada.
O excesso de demanda agregada \(Z_i = \sum_j z_i^j\) mede o desequilíbrio no mercado do bem \(i\).
\[\begin{aligned}
Z_1 &= z_1^A + z_1^B = -3{,}75 + 0 = -3{,}75 & & \text{excesso de oferta de } x_1 \\[6pt]
Z_2 &= z_2^A + z_2^B = 7{,}5 + 0 = +7{,}5 & & \text{excesso de demanda de } x_2
\end{aligned}\]
Passo 5: Verificar a Lei de Walras.
A Lei de Walras estabelece que \(\sum_i p_i Z_i = 0\) para quaisquer preços — consequência das restrições orçamentárias individuais.
\[\begin{aligned}
p_1 Z_1 + p_2 Z_2 &= 2 \cdot (-3{,}75) + 1 \cdot 7{,}5 = 0 \quad \checkmark
\end{aligned}\]
A Lei de Walras é satisfeita, mas os mercados individuais não estão em equilíbrio (\(Z_1 \neq 0\), \(Z_2 \neq 0\)). Os preços \(p_1 = 2\), \(p_2 = 1\) não são preços de equilíbrio.
| Bem 1 |
\(11{,}25\) |
\(15\) |
\(-3{,}75\) |
\(p_1\) muito alto → diminuir |
| Bem 2 |
\(22{,}5\) |
\(15\) |
\(+7{,}5\) |
\(p_2\) muito baixo → aumentar |
Para alcançar o equilíbrio geral, é necessário ajustar os preços: \(p_1 \downarrow\) e/ou \(p_2 \uparrow\) até que \(Z_1 = Z_2 = 0\). O callout seguinte resolve esse problema.
