Equilíbrio Geral - Trocas cc

Autor

Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Por onde começar?

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Tip 24.1: Baidya, Aiube e Mendes (2014) Capítulo 9 Exemplo 9.1 - Equilíbrio Parcial

Considere que a oferta anual de soja pelo Brasil no mercado internacional é dada por \(Q=\frac{P}{2} - 5\), onde \(5 ≤ Q ≤ 100\) e \(Q\) é empresso em MMtoneladas (milhões de toneladas) e \(p\) é o preço em $/tonelada. A demanda de soja pela mercado norte-americano é dada por \(P=180-1.8Q\). Encontre a quantidade de soja que será exportada e o preço da tonelada.

Desenvolvimento Teórico

Conceitos Fundamentais

Equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade ofertada iguala-se à quantidade demandada a um determinado preço. Matematicamente:

\[Q_o(P) = Q_d(P)\]

Onde:

• \(Q_o(P)\) é a função de oferta
• \(Q_d(P)\) é a função de demanda
• \(P\) é o preço de equilíbrio

Funções do Problema

Oferta do Brasil: \(Q = \frac{P}{2} - 5\)

Esta é uma função de oferta linear onde:

• O intercepto vertical (preço mínimo) ocorre quando \(Q = 0\): \(P = 10\)
• A inclinação indica que a cada aumento de \(2\) no preço, a quantidade ofertada aumenta em \(1\) unidade

Demanda dos EUA: \(P = 180 - 1.8Q\)

Esta é uma função de demanda linear onde:

• O preço máximo (intercepto vertical) é \(P = 180\) quando \(Q = 0\)
• A inclinação negativa indica que a cada aumento de \(1\) unidade na quantidade, o preço diminui \(1.8\)

Formalização Matemática

Passo a Passo da Resolução

Passo 1: Igualar oferta e demanda

Temos:

• Oferta: \(Q = \frac{P}{2} - 5\)
• Demanda: \(P = 180 - 1.8Q\)

Substituindo a oferta na demanda:

\[P = 180 - 1.8\left(\frac{P}{2} - 5\right)\]

Passo 2: Resolver para \(P\)

\[P = 180 - 1.8\left(\frac{P}{2}\right) + 1.8 \times 5\] \[P = 180 - 0.9P + 9\] \[P + 0.9P = 189\] \[1.9P = 189\] \[P^* = \frac{189}{1.9}\] \[P^* = 99.47\]

Passo 3: Encontrar \(Q^*\)

Substituindo \(P^*\) na função de oferta:

\[Q^* = \frac{99.47}{2} - 5\] \[Q^* = 49.735 - 5\] \[Q^* = 44.735\]

Passo 4: Verificação

Substituindo \(Q^*\) na função de demanda:

\[P = 180 - 1.8 \times 44.735\] \[P = 180 - 80.523\] \[P = 99.47\] ✓

Interpretação Econômica

• Preço de equilíbrio: \(P^* = \$99.47\) por tonelada
• Quantidade de equilíbrio: \(Q^* = 44.735\) milhões de toneladas
• Verificação de restrições: \(5 ≤ Q^* ≤ 100\) ✓

O preço de equilíbrio está acima do preço mínimo de oferta (\(\$10\)), garantindo que os produtores brasileiros tenham incentivo para ofertar soja no mercado internacional.

Exemplos Numéricos

Análise de Sensibilidade

Vamos analisar o comportamento das funções em diferentes pontos:

Preço (\(P\))	Oferta (\(Q_o\))	Demanda (\(Q_d\))	Excesso
$50	20	72.22	-52.22 (escassez)
$80	35	55.56	-20.56 (escassez)
$99.47	44.735	44.735	0 (equilíbrio)
$120	55	33.33	+21.67 (excesso)
$150	70	16.67	+53.33 (excesso)

Implementação em R

# Carregar bibliotecas necessárias
suppressPackageStartupMessages({
  library(ggplot2)
  library(dplyr)
  library(tidyr)
  library(scales)
})

# 1. Definir parâmetros e funções
preco_min_oferta <- 10
preco_max_demanda <- 180

# Função de oferta: Q = P/2 - 5
oferta <- function(preco) {
  q <- preco/2 - 5
  # Garantir que Q esteja no domínio válido
  pmax(pmin(q, 100), 0)
}

# Função de demanda: P = 180 - 1.8Q
demanda <- function(quantidade) {
  p <- 180 - 1.8 * quantidade
  # Garantir que P seja não-negativo
  pmax(p, 0)
}

# Função inversa da demanda: Q = (180 - P)/1.8
demanda_inversa <- function(preco) {
  q <- (180 - preco) / 1.8
  pmax(q, 0)
}

# 2. Calcular equilíbrio
# Encontrar P* e Q* numericamente
precos <- seq(10, 180, by = 0.01)
diferencas <- oferta(precos) - demanda_inversa(precos)
indice_equilibrio <- which.min(abs(diferencas))

preco_equilibrio <- precos[indice_equilibrio]
quantidade_equilibrio <- oferta(preco_equilibrio)

# cat("Preço de equilíbrio (P*):", round(preco_equilibrio, 2), "\n")
# cat("Quantidade de equilíbrio (Q*):", round(quantidade_equilibrio, 3), "\n")

# 3. Criar dados para visualização
dados_grafico <- tibble::tibble(
  preco = seq(0, 180, by = 1)
) |>
  dplyr::mutate(
    oferta = oferta(preco),
    demanda = demanda_inversa(preco)
  ) |>
  tidyr::pivot_longer(
    cols = c(oferta, demanda),
    names_to = "tipo",
    values_to = "quantidade"
  )

# 4. Visualizar equilíbrio
grafico_equilibrio <- ggplot2::ggplot(dados_grafico, ggplot2::aes(x = quantidade, y = preco, color = tipo)) +
  ggplot2::geom_line(linewidth = 1.2) +
  ggplot2::geom_point(
    data = tibble::tibble(
      quantidade = quantidade_equilibrio,
      preco = preco_equilibrio,
      tipo = "Equilíbrio"
    ),
    ggplot2::aes(x = quantidade, y = preco),
    color = "red",
    size = 4,
    shape = 17
  ) +
  ggplot2::geom_hline(yintercept = preco_equilibrio, linetype = "dashed", color = "gray50") +
  ggplot2::geom_vline(xintercept = quantidade_equilibrio, linetype = "dashed", color = "gray50") +
  ggplot2::annotate(
    "text", x = quantidade_equilibrio + 10, y = preco_equilibrio + 10,
    label = paste("E* (", round(quantidade_equilibrio, 1), ", ", round(preco_equilibrio, 1), ")", sep = ""),
    color = "red", fontface = "bold"
  ) +
  ggplot2::scale_color_manual(
    values = c(oferta = "blue", demanda = "darkgreen", "Equilíbrio" = "red"),
    labels = c(oferta = "Oferta (Q = P/2 - 5)", demanda = "Demanda (P = 180 - 1.8Q)")
  ) +
  ggplot2::labs(
    title = "Equilíbrio de Mercado - Soja (Brasil × EUA)",
    subtitle = "Oferta brasileira e demanda norte-americana",
    x = "Quantidade (milhões de toneladas)",
    y = "Preço ($/tonelada)",
    color = "Função"
  ) +
  ggplot2::scale_x_continuous(
    limits = c(0, 100),
    labels = scales::comma
  ) +
  ggplot2::scale_y_continuous(
    limits = c(0, 200),
    labels = scales::dollar
  ) +
  ggplot2::theme_minimal() +
  ggplot2::theme(
    plot.title = ggplot2::element_text(size = 14, face = "bold"),
    plot.subtitle = ggplot2::element_text(size = 12),
    axis.title = ggplot2::element_text(size = 11),
    legend.position = "bottom"
  )

# Exibir gráfico
print(grafico_equilibrio)

Resumo do Problema

Solução encontrada:

• Preço de equilíbrio: \(P^* = \$99.47\) por tonelada
• Quantidade de equilíbrio: \(Q^* = 44.735\) milhões de toneladas

O equilíbrio ocorre dentro das restrições especificadas (\(5 ≤ Q ≤ 100\)), indicando uma solução válida para o mercado internacional de soja entre Brasil e Estados Unidos.

Tip 24.2: Curva de Contratos Simbólica

Determine a equação da curva de contrato e esboce seu gráfico considerando as seguintes funções:

\[U_A (x^{A}_{1}, x^{A}_{2}) = {x^{A}_{1}}^\alpha {x^{A}_{2}}^\beta\]

\[U_B (x^{B}_{1}, x^{B}_{2}) = {x^{B}_{1}}^\alpha {x^{B}_{2}}^\beta\]

Resolução Matemática Simbólica

Passo 1: Igualar as \(TMS_A\) com \(TMS_B\) para encontrar o ponto de tangência

Taxa marginal de substituição do indivíduo A:

\[TMS_A = \frac{\partial U_A/\partial x_1^A}{\partial U_A/\partial x_2^A} = \frac{\alpha (x_1^A)^{\alpha-1} (x_2^A)^\beta}{\beta (x_1^A)^\alpha (x_2^A)^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{x_2^A}{x_1^A}\]

Taxa marginal de substituição do indivíduo B:

\[TMS_B = \frac{\partial U_B/\partial x_1^B}{\partial U_B/\partial x_2^B} = \frac{\alpha (x_1^B)^{\alpha-1} (x_2^B)^\beta}{\beta (x_1^B)^\alpha (x_2^B)^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{x_2^B}{x_1^B}\]

Igualando as TMS (condição de eficiência de Pareto):

\[\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{x_2^A}{x_1^A} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{x_2^B}{x_1^B}\]

Simplificando (cancelando \(\frac{\alpha}{\beta}\) de ambos os lados):

\[\frac{x_2^A}{x_1^A} = \frac{x_2^B}{x_1^B}\]

Passo 2: Encontrar a condição para a alocação

As restrições de factibilidade (dotações totais) são:

\[x_1^A + x_1^B = \omega_1\] \[x_2^A + x_2^B = \omega_2\]

Isolando as alocações do indivíduo B:

\[x_1^B = \omega_1 - x_1^A\] \[x_2^B = \omega_2 - x_2^A\]

Passo 3: Encontrar a curva de contrato substituindo 1. em 2.

Substituindo as restrições de factibilidade na igualdade das TMS:

\[\frac{x_2^A}{x_1^A} = \frac{\omega_2 - x_2^A}{\omega_1 - x_1^A}\]

Multiplicando cruzadamente:

\[x_2^A (\omega_1 - x_1^A) = x_1^A (\omega_2 - x_2^A)\]

Expandindo os produtos:

\[x_2^A \omega_1 - x_2^A x_1^A = x_1^A \omega_2 - x_1^A x_2^A\]

Observamos que os termos \(-x_2^A x_1^A\) e \(-x_1^A x_2^A\) se cancelam:

\[x_2^A \omega_1 = x_1^A \omega_2\]

Isolando \(x_2^A\):

\[x_2^A = \frac{x_1^A \omega_2}{\omega_1}\]

Equação final da curva de contrato:

\[\boxed{x_2^A = \frac{\omega_2}{\omega_1} \cdot x_1^A}\]

Interpretação do Resultado

A equação \(x_2^A = \frac{\omega_2}{\omega_1} \cdot x_1^A\) representa uma reta que passa pela origem com inclinação \(\frac{\omega_2}{\omega_1}\).

Isso significa que, quando ambos os indivíduos têm preferências idênticas (mesmos parâmetros \(\alpha\) e \(\beta\)), a curva de contrato coincide com a diagonal da caixa de Edgeworth.

Neste caso, qualquer alocação eficiente mantém a mesma proporção entre os bens para ambos os indivíduos, refletindo que eles valorizam os bens de forma idêntica.

Ilustração Gráfica da Caixa de Edgeworth

        x₂^A
         │
    ω₂   ┌────────────────B
         │               ╱│
         │              ╱ │
         │             ╱  │
         │            ╱   │
         │ Curva de  ╱    │
         │ Contrato ╱     │
         │         ╱      │
         │        ╱       │
         │       ╱        │
         │      ╱         │
         │     ╱          │
         │    ╱           │
         │   ╱            │
         │  ╱             │
         │ ╱              │
       0 O╱───────────────┘─────── x₁^A
         A                ω₁

Interpretação do Gráfico

• O retângulo representa a Caixa de Edgeworth com dimensões \(\omega_1 \times \omega_2\)
• O ponto O (origem) no canto inferior esquerdo \((0,0)\) é a origem do consumidor A
• O ponto B no canto superior direito \((\omega_1, \omega_2)\) é a origem do consumidor B
• A linha diagonal partindo de O até B é a curva de contrato, representando todas as alocações Pareto-eficientes
• Como ambos os consumidores têm preferências idênticas, a curva de contrato é uma reta que conecta as duas origens
• Qualquer ponto sobre esta linha representa uma alocação onde as TMS dos dois consumidores são iguais
• A equação da curva é \(x_2^A = \frac{\omega_2}{\omega_1} \cdot x_1^A\), que passa pela origem \((0,0)\)

Tip 24.3: Curva de Contratos com \({x^{A}_{1}}^2\)

Determine a equação da curva de contrato e esboce gráfico da curva de contrato assumindo as seguintes funções utilidades:

\(U_A (x^{A}_{1}, x^{A}_{2}) = {x^{A}_{1}}^2 x^{A}_{2}\)

\(U_B (x^{B}_{1}, x^{B}_{2}) = x^{B}_{1} x^{B}_{2}\)

Resolução Matemática Simbólica

Passo 1: Calcular as TMS de cada indivíduo

Taxa marginal de substituição do indivíduo A:

\[TMS_A = \frac{\partial U_A/\partial x_1^A}{\partial U_A/\partial x_2^A}\]

Calculando as derivadas parciais:

\[\frac{\partial U_A}{\partial x_1^A} = 2x_1^A \cdot x_2^A\]

\[\frac{\partial U_A}{\partial x_2^A} = (x_1^A)^2\]

Portanto:

\[TMS_A = \frac{2x_1^A \cdot x_2^A}{(x_1^A)^2} = \frac{2x_2^A}{x_1^A}\]

Taxa marginal de substituição do indivíduo B:

\[TMS_B = \frac{\partial U_B/\partial x_1^B}{\partial U_B/\partial x_2^B}\]

Calculando as derivadas parciais:

\[\frac{\partial U_B}{\partial x_1^B} = x_2^B\]

\[\frac{\partial U_B}{\partial x_2^B} = x_1^B\]

Portanto:

\[TMS_B = \frac{x_2^B}{x_1^B}\]

Igualando as TMS (condição de eficiência de Pareto):

\[\frac{2x_2^A}{x_1^A} = \frac{x_2^B}{x_1^B}\]

Passo 2: Aplicar as restrições de factibilidade

As restrições de factibilidade (dotações totais) são:

\[x_1^A + x_1^B = \omega_1\] \[x_2^A + x_2^B = \omega_2\]

Isolando as alocações do indivíduo B:

\[x_1^B = \omega_1 - x_1^A\] \[x_2^B = \omega_2 - x_2^A\]

Passo 3: Encontrar a curva de contrato

Substituindo as restrições de factibilidade na igualdade das TMS:

\[\frac{2x_2^A}{x_1^A} = \frac{\omega_2 - x_2^A}{\omega_1 - x_1^A}\]

Multiplicando cruzadamente:

\[2x_2^A (\omega_1 - x_1^A) = x_1^A (\omega_2 - x_2^A)\]

Expandindo os produtos:

\[2x_2^A \omega_1 - 2x_2^A x_1^A = x_1^A \omega_2 - x_1^A x_2^A\]

Reorganizando os termos:

\[2x_2^A \omega_1 - 2x_2^A x_1^A = x_1^A \omega_2 - x_1^A x_2^A\]

\[2x_2^A \omega_1 = x_1^A \omega_2 - x_1^A x_2^A + 2x_2^A x_1^A\]

\[2x_2^A \omega_1 = x_1^A \omega_2 + x_1^A x_2^A\]

\[2x_2^A \omega_1 = x_1^A (\omega_2 + x_2^A)\]

Isolando \(x_2^A\):

\[2x_2^A \omega_1 = x_1^A \omega_2 + x_1^A x_2^A\]

\[2x_2^A \omega_1 - x_1^A x_2^A = x_1^A \omega_2\]

\[x_2^A (2\omega_1 - x_1^A) = x_1^A \omega_2\]

Equação final da curva de contrato:

\[\boxed{x_2^A = \frac{x_1^A \omega_2}{2\omega_1 - x_1^A}}\]

Interpretação do Resultado

A equação \(x_2^A = \frac{x_1^A \omega_2}{2\omega_1 - x_1^A}\) representa uma curva não-linear (hipérbole) que passa pela origem.

Diferentemente do caso com preferências idênticas, aqui os indivíduos têm preferências diferentes:

• Indivíduo A tem função \(U_A = (x_1^A)^2 x_2^A\), valorizando relativamente mais o bem 1 (expoente 2)
• Indivíduo B tem função \(U_B = x_1^B x_2^B\), valorizando ambos os bens igualmente (expoentes iguais a 1)

Características da curva de contrato:

• Passa pela origem \((0,0)\): quando \(x_1^A = 0\), temos \(x_2^A = 0\)
• É uma curva côncava (hipérbole)
• Tem assíntota vertical em \(x_1^A = 2\omega_1\) (fora da caixa de Edgeworth)
• Reflete que as alocações eficientes não mantêm proporção constante entre os bens

Ilustração Gráfica da Caixa de Edgeworth

suppressPackageStartupMessages({
  library(ggplot2)
  library(dplyr)
  library(latex2exp)
  library(glue)
})

# Parâmetros das dotações
omega_1 <- 10
omega_2 <- 10

# Curva de contrato: x2^A = (x1^A * omega_2) / (2*omega_1 - x1^A)
# Válida para 0 <= x1^A < 2*omega_1 (mas limitada a omega_1 pela caixa)
seq(0.01, omega_1 * 0.99, length.out = 200) |>
  tibble::tibble(x1_A = _) |>
  dplyr::mutate(
    x2_A = (x1_A * omega_2) / (2 * omega_1 - x1_A)
  ) |>
  dplyr::filter(x2_A >= 0, x2_A <= omega_2) ->
  curva_contrato

# Criar a Caixa de Edgeworth
ggplot2::ggplot() +
  # Retângulo da caixa
  ggplot2::geom_rect(
    ggplot2::aes(xmin = 0, xmax = omega_1, ymin = 0, ymax = omega_2),
    fill = NA, color = "black", linewidth = 1
  ) +
  # Curva de contrato
  ggplot2::geom_line(
    data = curva_contrato,
    ggplot2::aes(x = x1_A, y = x2_A),
    color = "red", linewidth = 1.5
  ) +
  # Ponto de origem A (0,0)
  ggplot2::geom_point(
    ggplot2::aes(x = 0, y = 0),
    size = 4, color = "blue"
  ) +
  ggplot2::annotate(
    "text", x = 0.7, y = 0.5, label = "O (A)", size = 5, color = "blue"
  ) +
  # Ponto de origem B (omega_1, omega_2)
  ggplot2::geom_point(
    ggplot2::aes(x = omega_1, y = omega_2),
    size = 4, color = "darkgreen"
  ) +
  ggplot2::annotate(
    "text", x = omega_1 - 0.7, y = omega_2 - 0.5, 
    label = "B", size = 5, color = "darkgreen"
  ) +
  # Anotação da curva de contrato
  ggplot2::annotate(
    "text", x = 4, y = 7, 
    label = "Curva de Contrato\n(hipérbole)", 
    size = 4, color = "red"
  ) +
  # Eixos e labels
  ggplot2::scale_x_continuous(
    breaks = seq(0, omega_1, by = 2),
    limits = c(0, omega_1)
  ) +
  ggplot2::scale_y_continuous(
    breaks = seq(0, omega_2, by = 2),
    limits = c(0, omega_2)
  ) +
  ggplot2::labs(
    # title = "Caixa de Edgeworth com Curva de Contrato",
    subtitle = latex2exp::TeX(
      glue::glue(r"($U_A = (x_1^A)^2 x_2^A, U_B = x_1^B x_2^B, \omega_1 = {omega_1}, \omega_2 = {omega_2}$)")
    ),
    x = latex2exp::TeX(r"($x_1^A$ (Bem 1 para A))"),
    y = latex2exp::TeX(r"($x_2^A$ (Bem 2 para A))")
  ) +
  ggplot2::theme_minimal() +
  ggplot2::theme(
    plot.title = ggplot2::element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 14),
    plot.subtitle = ggplot2::element_text(hjust = 0.5, size = 10),
    axis.title = ggplot2::element_text(size = 11),
    panel.grid.minor = ggplot2::element_blank()
  ) +
  ggplot2::coord_fixed()

Interpretação do Gráfico

• O retângulo representa a Caixa de Edgeworth com dimensões \(\omega_1 \times \omega_2\)
• O ponto O (origem) no canto inferior esquerdo \((0,0)\) é a origem do consumidor A
• O ponto B no canto superior direito \((\omega_1, \omega_2)\) é a origem do consumidor B
• A curva vermelha partindo de O é a curva de contrato, representando todas as alocações Pareto-eficientes
• Diferentemente do caso com preferências idênticas, esta curva é não-linear (hipérbole)
• A curvatura reflete as diferentes preferências: A valoriza mais o bem 1, B valoriza ambos igualmente
• Qualquer ponto sobre esta curva representa uma alocação onde as TMS dos dois consumidores são iguais
• A equação da curva é \(x_2^A = \frac{x_1^A \omega_2}{2\omega_1 - x_1^A}\), que passa pela origem \((0,0)\)

Tip 24.4: Curva de Contratos com \(\ln(x^{A}_{1})\) e \(\sqrt{x^{B}_{1}}\)

Determine a equação da curva de contrato e esboce seu gráfico considerando as seguintes funções utilidades:

\[U_A (x^{A}_{1}, x^{A}_{2}) = \ln(x^{A}_{1}) x^{A}_{2}\]

\[U_B (x^{B}_{1}, x^{B}_{2}) = \sqrt{x^{B}_{1}} x^{B}_{2}\]

Considere também que: \(\omega_1 = \omega_2 = 2\)

Resolução Matemática Simbólica

Passo 1: Calcular as TMS de cada indivíduo

Taxa marginal de substituição do indivíduo A:

\[TMS_A = \frac{\partial U_A/\partial x_1^A}{\partial U_A/\partial x_2^A}\]

Calculando as derivadas parciais:

\[\frac{\partial U_A}{\partial x_1^A} = \frac{1}{x_1^A} \cdot x_2^A = \frac{x_2^A}{x_1^A}\]

\[\frac{\partial U_A}{\partial x_2^A} = \ln(x_1^A)\]

Portanto:

\[TMS_A = \frac{x_2^A/x_1^A}{\ln(x_1^A)} = \frac{x_2^A}{x_1^A \ln(x_1^A)}\]

Taxa marginal de substituição do indivíduo B:

\[TMS_B = \frac{\partial U_B/\partial x_1^B}{\partial U_B/\partial x_2^B}\]

Calculando as derivadas parciais:

\[\frac{\partial U_B}{\partial x_1^B} = \frac{1}{2\sqrt{x_1^B}} \cdot x_2^B = \frac{x_2^B}{2\sqrt{x_1^B}}\]

\[\frac{\partial U_B}{\partial x_2^B} = \sqrt{x_1^B}\]

Portanto:

\[TMS_B = \frac{x_2^B/(2\sqrt{x_1^B})}{\sqrt{x_1^B}} = \frac{x_2^B}{2x_1^B}\]

Igualando as TMS (condição de eficiência de Pareto):

\[\frac{x_2^A}{x_1^A \ln(x_1^A)} = \frac{x_2^B}{2x_1^B}\]

Passo 2: Aplicar as restrições de factibilidade

As restrições de factibilidade (dotações totais) são:

\[x_1^A + x_1^B = \omega_1\] \[x_2^A + x_2^B = \omega_2\]

Isolando as alocações do indivíduo B:

\[x_1^B = \omega_1 - x_1^A\] \[x_2^B = \omega_2 - x_2^A\]

Passo 3: Encontrar a curva de contrato

Substituindo as restrições de factibilidade na igualdade das TMS:

\[\frac{x_2^A}{x_1^A \ln(x_1^A)} = \frac{\omega_2 - x_2^A}{2(\omega_1 - x_1^A)}\]

Multiplicando cruzadamente:

\[2(\omega_1 - x_1^A) x_2^A = x_1^A \ln(x_1^A) (\omega_2 - x_2^A)\]

Expandindo os produtos:

\[2\omega_1 x_2^A - 2x_1^A x_2^A = x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A) - x_1^A x_2^A \ln(x_1^A)\]

Reorganizando os termos:

\[2\omega_1 x_2^A - 2x_1^A x_2^A = x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A) - x_1^A x_2^A \ln(x_1^A)\]

\[2\omega_1 x_2^A = x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A) - x_1^A x_2^A \ln(x_1^A) + 2x_1^A x_2^A\]

\[2\omega_1 x_2^A = x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A) + x_2^A (2x_1^A - x_1^A \ln(x_1^A))\]

Isolando \(x_2^A\):

\[2\omega_1 x_2^A - x_2^A (2x_1^A - x_1^A \ln(x_1^A)) = x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A)\]

\[x_2^A [2\omega_1 - 2x_1^A + x_1^A \ln(x_1^A)] = x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A)\]

Equação final da curva de contrato:

\[\boxed{x_2^A = \frac{x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A)}{2\omega_1 - 2x_1^A + x_1^A \ln(x_1^A)}}\]

Interpretação do Resultado

A equação \(x_2^A = \frac{x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A)}{2\omega_1 - 2x_1^A + x_1^A \ln(x_1^A)}\) representa uma curva não-linear complexa.

Os indivíduos têm preferências diferentes:

• Indivíduo A tem função \(U_A = \ln(x_1^A) x_2^A\), com utilidade marginal decrescente logarítmica no bem 1
• Indivíduo B tem função \(U_B = \sqrt{x_1^B} x_2^B\), com utilidade marginal decrescente em raiz quadrada no bem 1

Características da curva de contrato:

• Não passa pela origem devido ao termo \(\ln(x_1^A)\) (indefinido em \(x_1^A = 0\))
• É uma curva não-linear que depende de \(\ln(x_1^A)\)
• Reflete as diferentes taxas de substituição entre os bens para cada consumidor
• Com \(\omega_1 = \omega_2 = 2\), a curva está limitada ao quadrado \([0,2] \times [0,2]\)

Ilustração Gráfica da Caixa de Edgeworth

suppressPackageStartupMessages({
  library(ggplot2)
  library(dplyr)
  library(latex2exp)
  library(glue)
})

# Parâmetros das dotações
omega_1 <- 2
omega_2 <- 2

# Curva de contrato: x2^A = (x1^A * omega_2 * ln(x1^A)) / (2*omega_1 - 2*x1^A + x1^A*ln(x1^A))
seq(0.05, omega_1 * 0.99, length.out = 200) |>
  tibble::tibble(x1_A = _) |>
  dplyr::mutate(
    x2_A = (x1_A * omega_2 * log(x1_A)) / (2 * omega_1 - 2 * x1_A + x1_A * log(x1_A))
  ) |>
  dplyr::filter(x2_A >= 0, x2_A <= omega_2) ->
  curva_contrato

# Criar a Caixa de Edgeworth
ggplot2::ggplot() +
  # Retângulo da caixa
  ggplot2::geom_rect(
    ggplot2::aes(xmin = 0, xmax = omega_1, ymin = 0, ymax = omega_2),
    fill = NA, color = "black", linewidth = 1
  ) +
  # Curva de contrato
  ggplot2::geom_line(
    data = curva_contrato,
    ggplot2::aes(x = x1_A, y = x2_A),
    color = "red", linewidth = 1.5
  ) +
  # Ponto de origem A (0,0)
  ggplot2::geom_point(
    ggplot2::aes(x = 0, y = 0),
    size = 4, color = "blue"
  ) +
  ggplot2::annotate(
    "text", x = 0.15, y = 0.1, label = "O (A)", size = 5, color = "blue"
  ) +
  # Ponto de origem B (omega_1, omega_2)
  ggplot2::geom_point(
    ggplot2::aes(x = omega_1, y = omega_2),
    size = 4, color = "darkgreen"
  ) +
  ggplot2::annotate(
    "text", x = omega_1 - 0.15, y = omega_2 - 0.1, 
    label = "B", size = 5, color = "darkgreen"
  ) +
  # Anotação da curva de contrato
  ggplot2::annotate(
    "text", x = 1, y = 1.5, 
    label = "Curva de Contrato", 
    size = 4, color = "red"
  ) +
  # Eixos e labels
  ggplot2::scale_x_continuous(
    breaks = seq(0, omega_1, by = 0.5),
    limits = c(0, omega_1)
  ) +
  ggplot2::scale_y_continuous(
    breaks = seq(0, omega_2, by = 0.5),
    limits = c(0, omega_2)
  ) +
  ggplot2::labs(
    # title = "Caixa de Edgeworth com Curva de Contrato",
    subtitle = latex2exp::TeX(
      glue::glue(r"($U_A = \ln(x_1^A) x_2^A, U_B = \sqrt{x_1^B} x_2^B, \omega_1 = <<omega_1>>, \omega_2 = <<omega_2>>$)", .open = "<<", .close = ">>")
    ),
    x = latex2exp::TeX(r"($x_1^A$ (Bem 1 para A))"),
    y = latex2exp::TeX(r"($x_2^A$ (Bem 2 para A))")
  ) +
  ggplot2::theme_minimal() +
  ggplot2::theme(
    plot.title = ggplot2::element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 14),
    plot.subtitle = ggplot2::element_text(hjust = 0.5, size = 10),
    axis.title = ggplot2::element_text(size = 11),
    panel.grid.minor = ggplot2::element_blank()
  ) +
  ggplot2::coord_fixed()

Interpretação do Gráfico

• O retângulo representa a Caixa de Edgeworth com dimensões \(\omega_1 \times \omega_2 = 2 \times 2\)
• O ponto O (origem) no canto inferior esquerdo \((0,0)\) é a origem do consumidor A
• O ponto B no canto superior direito \((2, 2)\) é a origem do consumidor B
• A curva vermelha é a curva de contrato, representando todas as alocações Pareto-eficientes
• Esta curva é não-linear devido às diferentes formas funcionais das utilidades
• A curvatura reflete as diferentes preferências: A tem utilidade logarítmica em \(x_1\), B tem utilidade em raiz quadrada em \(x_1\)
• Qualquer ponto sobre esta curva representa uma alocação onde as TMS dos dois consumidores são iguais
• A equação da curva é \(x_2^A = \frac{x_1^A \omega_2 \ln(x_1^A)}{2\omega_1 - 2x_1^A + x_1^A \ln(x_1^A)}\)

Tip 24.5: Partindo das utitilidades e dotações, encontrar: demandas brutas, líquidas e agregadas

Considere dois consumidores com as seguintes funções de utilidade:

\[U_A (x^{A}_{1}, x^{A}_{2}) = x^{A}_{1} x^{A}_{2}\]

\[U_B (x^{B}_{1}, x^{B}_{2}) = x^{B}_{1} x^{B}_{2}\]

Dotações iniciais:

• \(\omega_1^A = 10\)
• \(\omega_2^A = 5\)
• \(\omega_1^B = 5\)
• \(\omega_2^B = 5\)

Sendo os preços: \(p_1 = 2\) e \(p_2 = 1\)

Encontre:

• demandas brutas
• demandas líquidas
• excessos de demanda agregada

Por fim, aplique a lei de Walras para saber se os preços conseguem levar a economia ao equilíbrio.

1. Introdução ao Tópico

Este problema aborda a análise de equilíbrio geral em uma economia de troca pura com dois consumidores e dois bens. O objetivo é determinar as demandas individuais, calcular os excessos de demanda agregada e verificar se os preços dados levam a economia ao equilíbrio através da Lei de Walras.

Objetivos de aprendizagem:

• Compreender a derivação de demandas a partir de funções de utilidade
• Calcular demandas brutas e líquidas
• Analisar excessos de demanda agregada
• Aplicar a Lei de Walras para verificar equilíbrio

2. Função Demanda Marshalliana

2.1 Conceito e Definição

A função demanda Marshalliana (ou demanda bruta) representa a quantidade ótima que um consumidor deseja adquirir de cada bem, dados os preços de mercado e sua renda. Matematicamente, é a solução do problema de maximização da utilidade sujeita à restrição orçamentária:

\[\max_{x_1, x_2} U(x_1, x_2)\]

Sujeito a: \[p_1 x_1 + p_2 x_2 = m\]

onde:

• \(p_1, p_2\) são os preços dos bens
• \(m\) é a renda do consumidor
• \(x_1, x_2\) são as quantidades demandadas

2.2 Derivação da Função Demanda Marshallana via Lagrange

Para resolver o problema de maximização da utilidade sujeito à restrição orçamentária, utilizamos o método de Lagrange. Este método transforma um problema com restrição em um problema de otimização sem restrições.

2.2.1 Configuração do Problema de Lagrange

O problema original é: \[\max_{x_1, x_2} U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}\]

Sujeito à restrição orçamentária: \[g(x_1, x_2) = p_1 x_1 + p_2 x_2 - m = 0\]

O Lagrangiano é construído como: \[\mathcal{L}(x_1, x_2, \lambda) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)\]

onde \(\lambda\) é o multiplicador de Lagrange, que representa o valor marginal da renda.

2.2.2 Condições de Primeira Ordem (CPO)

As condições de primeira ordem são obtidas derivando o Lagrangiano em relação a cada variável:

Derivada parcial em relação a \(x_1\): \[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \alpha_1 x_1^{\alpha_1-1} x_2^{\alpha_2} - \lambda p_1 = 0\]

Derivada parcial em relação a \(x_2\): \[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \alpha_2 x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2-1} - \lambda p_2 = 0\]

Derivada parcial em relação a \(\lambda\): \[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = m - p_1 x_1 - p_2 x_2 = 0\]

2.2.3 Resolução do Sistema

Das duas primeiras condições, podemos isolar \(\lambda\):

Da CPO para \(x_1\): \[\lambda = \frac{\alpha_1 x_1^{\alpha_1-1} x_2^{\alpha_2}}{p_1}\]

Da CPO para \(x_2\): \[\lambda = \frac{\alpha_2 x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2-1}}{p_2}\]

Igualando as duas expressões para \(\lambda\): \[\frac{\alpha_1 x_1^{\alpha_1-1} x_2^{\alpha_2}}{p_1} = \frac{\alpha_2 x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2-1}}{p_2}\]

Simplificando a expressão: \[\frac{\alpha_1}{p_1} \cdot \frac{x_2}{x_1} = \frac{\alpha_2}{p_2}\]

Isolando a relação \(x_2/x_1\): \[\frac{x_2}{x_1} = \frac{\alpha_2 p_1}{\alpha_1 p_2}\]

Esta é a taxa marginal de substituição (TMS) igualada à relação de preços, uma condição fundamental de otimização.

2.2.4 Encontrando as Demandas Ótimas

Da relação acima, expressamos \(x_2\) em função de \(x_1\): \[x_2 = \frac{\alpha_2 p_1}{\alpha_1 p_2} \cdot x_1\]

Substituindo na restrição orçamentária: \[p_1 x_1 + p_2 \left(\frac{\alpha_2 p_1}{\alpha_1 p_2} \cdot x_1\right) = m\]

Simplificando: \[p_1 x_1 + \frac{\alpha_2 p_1}{\alpha_1} x_1 = m\] \[p_1 x_1 \left(1 + \frac{\alpha_2}{\alpha_1}\right) = m\] \[p_1 x_1 \left(\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\alpha_1}\right) = m\]

Resolvendo para \(x_1\): \[x_1 = \frac{\alpha_1}{\alpha_1 + \alpha_2} \cdot \frac{m}{p_1}\]

Por simetria, para \(x_2\): \[x_2 = \frac{\alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2} \cdot \frac{m}{p_2}\]

2.2.5 Função Demanda Marshallana para Cobb-Douglas

Portanto, para uma função de utilidade Cobb-Douglas da forma \(U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}\), a função demanda Marshallana tem a forma analítica fechada:

\[x_i(p_1, p_2, m) = \frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \alpha_2} \cdot \frac{m}{p_i}\]

Interpretação econômica do resultado:

• A fração \(\frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \alpha_2}\) representa a proporção da renda alocada ao bem \(i\)
• Para Cobb-Douglas, esta fração é constante — não depende de preços ou renda
• A demanda é homogênea de grau zero em preços e renda
• A elasticidade-preço da demanda é igual a -1 (elasticidade unitária)

Interpretação econômica dos componentes:

1. Fração orçamentária \(\frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \alpha_2}\):

   • Representa a proporção da renda que o consumidor aloca ao bem \(i\)
   • Para Cobb-Douglas, esta fração é constante independente dos preços e renda
   • Se \(\alpha_1 = \alpha_2 = 1\), então \(\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\) (50% da renda para cada bem)

2. Renda total \(m\):

   • Em economias de troca pura, a renda é o valor da dotação inicial: \(m = p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2\)
   • Representa o poder de compra do consumidor

3. Preço do bem \(p_i\):

   • Normaliza a demanda pelo preço do bem
   • Preços maiores reduzem a quantidade demandada (lei da demanda)

2.3 Propriedades Importantes

Homogeneidade de grau zero: Se todos os preços e a renda forem multiplicados pela mesma constante positiva \(\lambda\), as demandas não se alteram:

\[x_i(\lambda p_1, \lambda p_2, \lambda m) = x_i(p_1, p_2, m)\]

Aditividade na restrição orçamentária: A soma dos gastos em todos os bens iguala a renda:

\[p_1 x_1(p_1, p_2, m) + p_2 x_2(p_1, p_2, m) = m\]

2.4 Da Demanda Bruta à Demanda Líquida

A demanda líquida (ou demanda excess) representa a posição líquida do consumidor no mercado de cada bem:

\[z_i^j = x_i^j - \omega_i^j\]

onde:

• \(z_i^j > 0\): consumidor é comprador líquido do bem \(i\)
• \(z_i^j < 0\): consumidor é vendedor líquido do bem \(i\)
• \(z_i^j = 0\): consumidor está autossuficiente no bem \(i\)

2.5 Excesso de Demanda Agregada e Lei de Walras

O excesso de demanda agregada para cada bem é a soma das demandas líquidas de todos os consumidores:

\[Z_i = \sum_{j} z_i^j = \sum_{j} (x_i^j - \omega_i^j)\]

A Lei de Walras estabelece que em uma economia com \(n\) bens:

\[\sum_{i=1}^{n} p_i Z_i = 0\]

Esta lei é uma consequência direto da hipótese de que os consumidores respeitam suas restrições orçamentárias. Se \(n-1\) mercados estão em equilíbrio (\(Z_i = 0\) para \(i = 1, ..., n-1\)), então o \(n\)-ésimo mercado também estará em equilíbrio.

3. Formalização Matemática

3.1 Identificação das Preferências Cobb-Douglas

As funções de utilidade dos consumidores são:

\[U_A (x^{A}_{1}, x^{A}_{2}) = x^{A}_{1} x^{A}_{2} = (x^{A}_{1})^{1} (x^{A}_{2})^{1}\]

\[U_B (x^{B}_{1}, x^{B}_{2}) = x^{B}_{1} x^{B}_{2} = (x^{B}_{1})^{1} (x^{B}_{2})^{1}\]

Ambas as funções são do tipo Cobb-Douglas com coeficientes:

• Consumidor A: \(\alpha_1^A = 1\), \(\alpha_2^A = 1\)
• Consumidor B: \(\alpha_1^B = 1\), \(\alpha_2^B = 1\)

3.2 Derivação das Funções de Demanda Cobb-Douglas

Para uma função de utilidade Cobb-Douglas \(U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}\), a função demanda Marshallana do bem \(i\) é:

\[x_i(p_1, p_2, m) = \frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \alpha_2} \cdot \frac{m}{p_i}\]

onde \(m = p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2\) é a renda do consumidor.

3.2.1 Função Demanda do Consumidor A

Para o consumidor A: \(\alpha_1^A = 1\), \(\alpha_2^A = 1\)

Demanda pelo bem 1: \[x_1^A(p_1, p_2, \omega_1^A, \omega_2^A) = \frac{\alpha_1^A}{\alpha_1^A + \alpha_2^A} \cdot \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{p_1}\]

\[x_1^A(p_1, p_2, \omega_1^A, \omega_2^A) = \frac{1}{1 + 1} \cdot \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{p_1}\]

\[x_1^A(p_1, p_2, \omega_1^A, \omega_2^A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{p_1}\]

Demanda pelo bem 2: \[x_2^A(p_1, p_2, \omega_1^A, \omega_2^A) = \frac{\alpha_2^A}{\alpha_1^A + \alpha_2^A} \cdot \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{p_2}\]

\[x_2^A(p_1, p_2, \omega_1^A, \omega_2^A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{p_2}\]

3.2.2 Função Demanda do Consumidor B

Para o consumidor B: \(\alpha_1^B = 1\), \(\alpha_2^B = 1\)

Demanda pelo bem 1: \[x_1^B(p_1, p_2, \omega_1^B, \omega_2^B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{p_1}\]

Demanda pelo bem 2: \[x_2^B(p_1, p_2, \omega_1^B, \omega_2^B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{p_2}\]

3.3 Resumo das Funções de Demanda Bruta

Consumidor A: \[x_1^A = \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{2p_1}\] \[x_2^A = \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{2p_2}\]

Consumidor B: \[x_1^B = \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{2p_1}\] \[x_2^B = \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{2p_2}\]

3.4 Funções de Demanda Líquida

As demandas líquidas são obtidas subtraindo as dotações iniciais:

Consumidor A: \[z_1^A = x_1^A - \omega_1^A = \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{2p_1} - \omega_1^A\] \[z_2^A = x_2^A - \omega_2^A = \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{2p_2} - \omega_2^A\]

Consumidor B: \[z_1^B = x_1^B - \omega_1^B = \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{2p_1} - \omega_1^B\] \[z_2^B = x_2^B - \omega_2^B = \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{2p_2} - \omega_2^B\]

3.5 Excesso de Demanda Agregada

O excesso de demanda agregada para cada bem é:

\[Z_1 = z_1^A + z_1^B = \left(\frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{2p_1} - \omega_1^A\right) + \left(\frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{2p_1} - \omega_1^B\right)\]

\[Z_2 = z_2^A + z_2^B = \left(\frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{2p_2} - \omega_2^A\right) + \left(\frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{2p_2} - \omega_2^B\right)\]

Simplificando:

\[Z_1 = \frac{p_1 (\omega_1^A + \omega_1^B) + p_2 (\omega_2^A + \omega_2^B)}{2p_1} - (\omega_1^A + \omega_1^B)\]

\[Z_2 = \frac{p_1 (\omega_1^A + \omega_1^B) + p_2 (\omega_2^A + \omega_2^B)}{2p_2} - (\omega_2^A + \omega_2^B)\]

3.6 Verificação da Lei de Walras

A Lei de Walras estabelece que:

\[p_1 Z_1 + p_2 Z_2 = 0\]

Substituindo as expressões de excesso de demanda:

\[p_1 \left[\frac{p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2}{2p_1} - \omega_1\right] + p_2 \left[\frac{p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2}{2p_2} - \omega_2\right]\]

\[= \frac{p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2}{2} - p_1 \omega_1 + \frac{p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2}{2} - p_2 \omega_2\]

\[= (p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2) - (p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2) = 0\]

Portanto, a Lei de Walras é sempre satisfeita para quaisquer preços positivos.

4. Exemplos Numéricos

4.1 Parâmetros do Problema

• Preços: \(p_1 = 2\), \(p_2 = 1\)
• Funções de utilidade: \(U_A = x_1^A x_2^A\), \(U_B = x_1^B x_2^B\)

Dotações iniciais:

• \(\omega_1^A = 10\), \(\omega_2^A = 5\)
• \(\omega_1^B = 5\), \(\omega_2^B = 5\)

Dotação total da economia:

• \(\omega_1 = 15\), \(\omega_2 = 10\)

4.2 Aplicação das Funções de Demanda Cobb-Douglas

Usando as funções de demanda derivadas na seção anterior:

4.2.1 Demandas Brutas do Consumidor A

Renda do consumidor A: \[m^A = p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A = 2 \times 10 + 1 \times 5 = 20 + 5 = 25\]

Demanda pelo bem 1: \[x_1^A = \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{2p_1} = \frac{25}{2 \times 2} = \frac{25}{4} = 6.25\]

Demanda pelo bem 2: \[x_2^A = \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{2p_2} = \frac{25}{2 \times 1} = \frac{25}{2} = 12.5\]

4.2.2 Demandas Brutas do Consumidor B

Renda do consumidor B: \[m^B = p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B = 2 \times 5 + 1 \times 5 = 10 + 5 = 15\]

Demanda pelo bem 1: \[x_1^B = \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{2p_1} = \frac{15}{2 \times 2} = \frac{15}{4} = 3.75\]

Demanda pelo bem 2: \[x_2^B = \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{2p_2} = \frac{15}{2 \times 1} = \frac{15}{2} = 7.5\]

4.3 Demandas Líquidas

4.3.1 Consumidor A

\[z_1^A = x_1^A - \omega_1^A = 6.25 - 10 = -3.75\] \[z_2^A = x_2^A - \omega_2^A = 12.5 - 5 = 7.5\]

Interpretação: O consumidor A deseja vender 3.75 unidades do bem 1 e comprar 7.5 unidades do bem 2.

4.3.2 Consumidor B

\[z_1^B = x_1^B - \omega_1^B = 3.75 - 5 = -1.25\] \[z_2^B = x_2^B - \omega_2^B = 7.5 - 5 = 2.5\]

Interpretação: O consumidor B deseja vender 1.25 unidades do bem 1 e comprar 2.5 unidades do bem 2.

4.4 Excesso de Demanda Agregada

\[Z_1 = z_1^A + z_1^B = -3.75 + (-1.25) = -5.0\] \[Z_2 = z_2^A + z_2^B = 7.5 + 2.5 = 10.0\]

Interpretação: * Bem 1: Excesso de oferta de 5.0 unidades (mercado não está em equilíbrio) * Bem 2: Excesso de demanda de 10.0 unidades (mercado não está em equilíbrio)

4.5 Verificação da Lei de Walras

\[p_1 Z_1 + p_2 Z_2 = 2 \times (-5.0) + 1 \times 10.0 = -10.0 + 10.0 = 0\]

A Lei de Walras é satisfeita, mas os mercados individuais não estão em equilíbrio. Os preços \(p_1 = 2\), \(p_2 = 1\) não levam a economia ao equilíbrio geral.

4.6 Análise do Desequilíbrio

Com os preços \(p_1 = 2\), \(p_2 = 1\), a economia apresenta as seguintes características:

1. Alocação desejada:

   • Consumidor A: \((x_1^A, x_2^A) = (6.25, 12.5)\)
   • Consumidor B: \((x_1^B, x_2^B) = (3.75, 7.5)\)

2. Viabilidade: \(6.25 + 3.75 = 10.0 \neq 15 = \omega_1\) e \(12.5 + 7.5 = 20.0 \neq 10 = \omega_2\)

3. Inconsistência de mercado:

   • Excesso de oferta do bem 1: os consumidores desejam apenas 10.0 unidades, mas existem 15 unidades disponíveis
   • Excesso de demanda do bem 2: os consumidores desejam 20.0 unidades, mas existem apenas 10 unidades disponíveis

4. Necessidade de ajuste de preços: Para alcançar o equilíbrio, o preço do bem 1 deveria diminuir (estimular demanda) e/ou o preço do bem 2 deveria aumentar (reduzir demanda).

5. Análise Econômica

5.1 Interpretação dos Resultados

Demandas Brutas:

• Consumidor A: demanda \((x_1^A, x_2^A) = (6.25, 12.5)\) - mais do bem 2 (relativamente mais barato)
• Consumidor B: demanda \((x_1^B, x_2^B) = (3.75, 7.5)\) - também mais do bem 2
• O padrão reflete a resposta racional aos preços relativos: \(p_2/p_1 = 1/2 = 0.5\)

Demandas Líquidas:

• Consumidor A: \(z_1^A = -3.75\), \(z_2^A = 7.5\) - vendedor líquido do bem 1, comprador líquido do bem 2
• Consumidor B: \(z_1^B = -1.25\), \(z_2^B = 2.5\) - também vendedor líquido do bem 1, comprador líquido do bem 2
• Ambos os consumidores desejam realizar trocas na mesma direção

Excesso de Demanda Agregada:

• \(Z_1 = -5.0\): excesso de oferta do bem 1 (preço muito alto)
• \(Z_2 = 10.0\): excesso de demanda do bem 2 (preço muito baixo)
• Mercados desequilibrados indicam que os preços não são de equilíbrio

5.2 Verificação da Lei de Walras

A Lei de Walras é satisfeita: \[p_1 Z_1 + p_2 Z_2 = 2 \times (-5.0) + 1 \times 10.0 = -10.0 + 10.0 = 0\]

Interpretação importante: A Lei de Walras sendo satisfeita não garante equilíbrio individual dos mercados. Ela apenas garante consistência agregada.

5.3 Análise do Desequilíbrio e Ajuste de Preços

Diagnóstico do problema:

1. Preço relativo distorcido: Com \(p_1 = 2\) e \(p_2 = 1\), o bem 2 é relativamente barato (\(p_2/p_1 = 0.5\))
2. Resposta excessiva: Os consumidores demandam muito mais do bem 2 do que está disponível
3. Inviabilidade da alocação: Demanda total do bem 1 (10.0) < oferta total (15); Demanda total do bem 2 (20.0) > oferta total (10)

Mecanismo de ajuste de preços:

• Bem 1: Preço deve diminuir para estimular demanda (atualmente \(p_1\) muito alto)
• Bem 2: Preço deve aumentar para reduzir demanda (atualmente \(p_2\) muito baixo)
• Direção do ajuste: \(p_1 \downarrow\) e/ou \(p_2 \uparrow\) até que \(Z_1 = Z_2 = 0\)

Tip 24.6: Partindo das utitilidades e dotações, encontrar preços de equilíbrio

Considere dois consumidores com as seguintes funções de utilidade:

\[U_A (x^{A}_{1}, x^{A}_{2}) = x^{A}_{1} x^{A}_{2}\]

\[U_B (x^{B}_{1}, x^{B}_{2}) = x^{B}_{1} x^{B}_{2}\]

Dotações iniciais:

• \(\omega_1^A = 10\)
• \(\omega_2^A = 5\)
• \(\omega_1^B = 5\)
• \(\omega_2^B = 10\)

Quais preços que levam essa economia ao equilíbrio?

1. Introdução ao Tópico

Este problema aborda a determinação de preços de equilíbrio geral em uma economia de troca pura com dois consumidores e dois bens. O objetivo é encontrar os preços relativos que igualam a demanda agregada à oferta agregada em todos os mercados, garantindo uma alocação eficiente dos recursos.

Objetivos de aprendizagem:

• Compreender a derivação de demandas a partir de funções de utilidade Cobb-Douglas
• Calcular excessos de demanda agregada como função dos preços
• Determinar preços de equilíbrio através da condição \(Z_i = 0\)
• Aplicar a Lei de Walras para verificar a consistência do equilíbrio
• Interpretar economicamente as alocações de equilíbrio

2. Desenvolvimento Teórico

2.1 Equilíbrio Geral em Economias de Troca Pura

Em uma economia de troca pura com dois bens e dois consumidores, o equilíbrio geral é caracterizado por:

1. Otimização individual: Cada consumidor maximiza sua utilidade sujeita à restrição orçamentária
2. Equilíbrio de mercado: A demanda agregada iguala a oferta agregada em todos os mercados
3. Consistência orçamentária: A Lei de Walras é satisfeita

Matematicamente, o equilíbrio é um vetor de preços \((p_1^*, p_2^*)\) tal que:

\[Z_i(p_1^*, p_2^*) = 0 \quad \forall i \in \{1, 2\}\]

onde \(Z_i\) é o excesso de demanda agregada do bem \(i\).

2.2 Funções de Demanda Cobb-Douglas

Para uma função de utilidade Cobb-Douglas \(U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}\), a função demanda Marshallana tem forma analítica fechada:

\[x_i(p_1, p_2, m) = \frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \alpha_2} \cdot \frac{m}{p_i}\]

onde \(m = p_1 \omega_1 + p_2 \omega_2\) é a renda do consumidor (valor da dotação inicial).

Propriedades importantes:

• Homogeneidade de grau zero: \(x_i(\lambda p_1, \lambda p_2, \lambda m) = x_i(p_1, p_2, m)\)
• Fração orçamentária constante: \(\frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \alpha_2}\) da renda é alocada ao bem \(i\)
• Elasticidade-preço unitária: A demanda responde proporcionalmente a mudanças nos preços

2.3 Excesso de Demanda Agregada e Lei de Walras

O excesso de demanda agregada para cada bem é:

\[Z_i = \sum_{j} (x_i^j - \omega_i^j)\]

A Lei de Walras estabelece que:

\[\sum_{i=1}^{n} p_i Z_i = 0\]

Esta lei implica que se \(n-1\) mercados estão em equilíbrio, o \(n\)-ésimo mercado também estará em equilíbrio.

3. Formalização Matemática

3.1 Identificação das Preferências e Dotações

Funções de utilidade:

• Consumidor A: \(U_A(x_1^A, x_2^A) = x_1^A x_2^A\) → \(\alpha_1^A = 1\), \(\alpha_2^A = 1\)
• Consumidor B: \(U_B(x_1^B, x_2^B) = x_1^B x_2^B\) → \(\alpha_1^B = 1\), \(\alpha_2^B = 1\)

Dotações iniciais:

• Consumidor A: \(\omega_1^A = 10\), \(\omega_2^A = 5\)
• Consumidor B: \(\omega_1^B = 5\), \(\omega_2^B = 10\)

Dotação total da economia:

• \(\omega_1 = \omega_1^A + \omega_1^B = 10 + 5 = 15\)
• \(\omega_2 = \omega_2^A + \omega_2^B = 5 + 10 = 15\)

3.2 Derivação das Funções de Demanda

Para ambos os consumidores (com \(\alpha_1 = \alpha_2 = 1\)):

Demanda do consumidor A: \[x_1^A = \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{p_1} = \frac{p_1 \cdot 10 + p_2 \cdot 5}{2p_1}\]

\[x_2^A = \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1 \omega_1^A + p_2 \omega_2^A}{p_2} = \frac{p_1 \cdot 10 + p_2 \cdot 5}{2p_2}\]

Demanda do consumidor B: \[x_1^B = \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{p_1} = \frac{p_1 \cdot 5 + p_2 \cdot 10}{2p_1}\]

\[x_2^B = \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1 \omega_1^B + p_2 \omega_2^B}{p_2} = \frac{p_1 \cdot 5 + p_2 \cdot 10}{2p_2}\]

3.3 Excesso de Demanda Agregada

Demanda agregada do bem 1:

\[X_1 = x_1^A + x_1^B = \frac{10p_1 + 5p_2}{2p_1} + \frac{5p_1 + 10p_2}{2p_1} = \frac{15p_1 + 15p_2}{2p_1} = \frac{15(p_1 + p_2)}{2p_1}\]

Excesso de demanda do bem 1: \[Z_1 = X_1 - \omega_1 = \frac{15(p_1 + p_2)}{2p_1} - 15 = 15\left(\frac{p_1 + p_2}{2p_1} - 1\right)\]

\[Z_1 = 15\left(\frac{p_1 + p_2 - 2p_1}{2p_1}\right) = 15\left(\frac{p_2 - p_1}{2p_1}\right) = \frac{15(p_2 - p_1)}{2p_1}\]

Demanda agregada do bem 2:

\[X_2 = x_2^A + x_2^B = \frac{10p_1 + 5p_2}{2p_2} + \frac{5p_1 + 10p_2}{2p_2} = \frac{15p_1 + 15p_2}{2p_2} = \frac{15(p_1 + p_2)}{2p_2}\]

Excesso de demanda do bem 2: \[Z_2 = X_2 - \omega_2 = \frac{15(p_1 + p_2)}{2p_2} - 15 = 15\left(\frac{p_1 + p_2}{2p_2} - 1\right)\]

\[Z_2 = 15\left(\frac{p_1 + p_2 - 2p_2}{2p_2}\right) = 15\left(\frac{p_1 - p_2}{2p_2}\right) = \frac{15(p_1 - p_2)}{2p_2}\]

3.4 Determinação dos Preços de Equilíbrio

Para o equilíbrio geral, precisamos que \(Z_1 = 0\) e \(Z_2 = 0\).

Condição de equilíbrio do bem 1:

\[Z_1 = \frac{15(p_2 - p_1)}{2p_1} = 0\]

\[p_2 - p_1 = 0 \Rightarrow p_2 = p_1\]

Condição de equilíbrio do bem 2: \[Z_2 = \frac{15(p_1 - p_2)}{2p_2} = 0\]

\[p_1 - p_2 = 0 \Rightarrow p_1 = p_2\]

Ambas as condições levam à mesma solução: preços relativos iguais.

3.5 Normalização dos Preços

Como as demandas são homogêneas de grau zero, podemos normalizar um preço. Normalizando \(p_1 = 1\):

\[p_1^* = 1\] \[p_2^* = 1\]

Preços de equilíbrio (normalizados): \((p_1^*, p_2^*) = (1, 1)\)

Qualquer múltiplo positivo destes preços também é de equilíbrio devido à homogeneidade.

4. Exemplos Numéricos

4.1 Verificação do Equilíbrio

Com os preços de equilíbrio \(p_1 = 1\), \(p_2 = 1\):

Renda dos consumidores:

• \(m^A = 1 \times 10 + 1 \times 5 = 15\)
• \(m^B = 1 \times 5 + 1 \times 10 = 15\)

Demandas brutas:

• Consumidor A: \(x_1^A = \frac{15}{2 \times 1} = 7.5\), \(x_2^A = \frac{15}{2 \times 1} = 7.5\)
• Consumidor B: \(x_1^B = \frac{15}{2 \times 1} = 7.5\), \(x_2^B = \frac{15}{2 \times 1} = 7.5\)

Demanda agregada:

• \(X_1 = 7.5 + 7.5 = 15 = \omega_1\) ✓
• \(X_2 = 7.5 + 7.5 = 15 = \omega_2\) ✓

Excesso de demanda: - \(Z_1 = 15 - 15 = 0\) ✓ - \(Z_2 = 15 - 15 = 0\) ✓

4.2 Alocação de Equilíbrio

Alocação final:

• Consumidor A: \((x_1^A, x_2^A) = (7.5, 7.5)\)
• Consumidor B: \((x_1^B, x_2^B) = (7.5, 7.5)\)

Demandas líquidas:

• Consumidor A: \(z_1^A = 7.5 - 10 = -2.5\), \(z_2^A = 7.5 - 5 = 2.5\)
• Consumidor B: \(z_1^B = 7.5 - 5 = 2.5\), \(z_2^B = 7.5 - 10 = -2.5\)

Interpretação: O consumidor A vende 2.5 unidades do bem 1 e compra 2.5 unidades do bem 2. O consumidor B faz a operação inversa.

4.3 Verificação da Lei de Walras

\[p_1 Z_1 + p_2 Z_2 = 1 \times 0 + 1 \times 0 = 0\]

A Lei de Walras é satisfeita no equilíbrio.

5. Análise Econômica

5.1 Interpretação dos Preços de Equilíbrio

Preços relativos iguais: \(p_1^* = p_2^*\)

Este resultado tem uma interpretação econômica clara:

1. Simetria das preferências: Ambos os consumidores têm preferências idênticas (mesmos parâmetros Cobb-Douglas)
2. Simetria das dotações totais: A economia tem quantidades iguais dos dois bens (15 unidades cada)
3. Neutralidade de risco: Os consumidores valorizam ambos os bens igualmente

Implicações:

• Não há vantagem comparativa na produção (economia de troca pura)
• O equilíbrio reflete apenas as preferências e dotações relativas
• Qualquer desvio de \(p_1 = p_2\) criaria pressões para ajuste

5.2 Análise da Alocação de Equilíbrio

Convergência para o meio-termo:

• Consumidor A: Parte de \((10, 5)\) para \((7.5, 7.5)\)
• Consumidor B: Parte de \((5, 10)\) para \((7.5, 7.5)\)

Padrão de troca:

• A é relativamente rico em bem 1, pobre em bem 2 → vende bem 1, compra bem 2
• B é relativamente rico em bem 2, pobre em bem 1 → vende bem 2, compra bem 1
• Ambos convergem para a mesma cesta de consumo

Eficiência de Pareto:

• A alocação de equilíbrio é Pareto-eficiente
• Não é possível melhorar a situação de um consumidor sem piorar a do outro
• As taxas marginais de substituição são iguais: \(TMS_A = TMS_B = p_1/p_2 = 1\)

5.3 Propriedades do Equilíbrio

Homogeneidade dos preços:

• Se \((p_1^*, p_2^*)\) é de equilíbrio, então \((\lambda p_1^*, \lambda p_2^*)\) também é
• Por convenção, normalizamos um preço (geralmente \(p_1 = 1\))
• Apenas os preços relativos importam para as decisões econômicas

Unicidade:

• Neste caso, o equilíbrio é único (exceto pela escala)
• A convexidade das preferências garante unicidade
• Não existem múltiplos equilíbrios locais

Estabilidade:

• Se \(p_1 > p_2\), então \(Z_1 < 0\) e \(Z_2 > 0\) → pressão para \(p_1 \downarrow\), \(p_2 \uparrow\)
• Se \(p_1 < p_2\), então \(Z_1 > 0\) e \(Z_2 < 0\) → pressão para \(p_1 \uparrow\), \(p_2 \downarrow\)
• O sistema converge para \(p_1 = p_2\)

Tip 24.7: Aplicativo Cobb-Douglas Preços Equilíbrio

http://roneyfraga.com/micro-cobb-douglas-trocas

Tip 24.8: Cobb-Douglas Preços Equilíbrio com constantes

Considere um modelo de equilíbrio geral de trocas puras com dois indivíduos: \(A\) e \(B\), e dois bens: \(x\) e \(y\).

Dotações iniciais:

• \(A\): \(\omega_x^A = 10\) e \(\omega_y^A = 2.5\)
• \(B\): \(\omega_x^B = 10\) e \(\omega_y^B = 20\)

Funções de utilidade:

• \(U_A(x,y) = 2 x^{0.2} y^{0.3}\)
• \(U_B(x,y) = 3 x^{0.5} y^{4.5}\)

Questão: Se fixamos o preço do bem \(x\) em \(1\) unidade monetária (\(p_x = 1\)), qual será o preço do bem \(y\) no equilíbrio competitivo?

1. Desenvolvimento Teórico

1.1 Função Cobb-Douglas Generalizada

A função de utilidade Cobb-Douglas generalizada tem a forma:

\[U(x, y) = A \cdot x^{\alpha} \cdot y^{\beta}\]

onde:

• \(A > 0\) é uma constante multiplicativa (fator de escala)
• \(\alpha, \beta > 0\) são os expoentes que determinam as preferências relativas

1.2 Demanda Marshalliana

Para a função Cobb-Douglas \(U(x, y) = A \cdot x^{\alpha} \cdot y^{\beta}\), a demanda Marshalliana é:

\[x^* = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \cdot \frac{m}{p_x}\]

\[y^* = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \cdot \frac{m}{p_y}\]

onde \(m = p_x \omega_x + p_y \omega_y\) é a renda do consumidor.

Propriedade importante: A constante \(A\) não afeta as demandas Marshallianas, apenas os expoentes \(\alpha\) e \(\beta\) importam para as escolhas ótimas.

1.3 Condição de Equilíbrio

No equilíbrio competitivo, o excesso de demanda agregada deve ser zero para todos os bens:

\[Z_i = \sum_{j} (x_i^j - \omega_i^j) = 0 \quad \forall i\]

Pela Lei de Walras, se \(n-1\) mercados estão em equilíbrio, o \(n\)-ésimo mercado também estará. Portanto, basta encontrar o preço que zera o excesso de demanda de um dos bens.

2. Formalização Matemática

2.1 Identificação dos Parâmetros

Consumidor A:

• Função: \(U_A(x,y) = 2 x^{0.2} y^{0.3}\)
• Parâmetros: \(A_A = 2\), \(\alpha_A = 0.2\), \(\beta_A = 0.3\)
• Dotação: \((\omega_x^A, \omega_y^A) = (10, 2.5)\)

Consumidor B:

• Função: \(U_B(x,y) = 3 x^{0.5} y^{4.5}\)
• Parâmetros: \(A_B = 3\), \(\alpha_B = 0.5\), \(\beta_B = 4.5\)
• Dotação: \((\omega_x^B, \omega_y^B) = (10, 20)\)

Dotação total:

• \(\omega_x^{total} = 10 + 10 = 20\)
• \(\omega_y^{total} = 2.5 + 20 = 22.5\)

2.2 Frações Orçamentárias

Consumidor A:

\[\frac{\alpha_A}{\alpha_A + \beta_A} = \frac{0.2}{0.2 + 0.3} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4\]

\[\frac{\beta_A}{\alpha_A + \beta_A} = \frac{0.3}{0.2 + 0.3} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6\]

Consumidor B:

\[\frac{\alpha_B}{\alpha_B + \beta_B} = \frac{0.5}{0.5 + 4.5} = \frac{0.5}{5.0} = 0.1\]

\[\frac{\beta_B}{\alpha_B + \beta_B} = \frac{4.5}{0.5 + 4.5} = \frac{4.5}{5.0} = 0.9\]

2.3 Funções de Demanda

Fixando \(p_x = 1\) e denotando \(p_y = p\) (a ser determinado):

Consumidor A:

Renda: \(m^A = 1 \cdot 10 + p \cdot 2.5 = 10 + 2.5p\)

Demandas:

\[x^A = 0.4 \cdot \frac{10 + 2.5p}{1} = 0.4(10 + 2.5p) = 4 + p\]

\[y^A = 0.6 \cdot \frac{10 + 2.5p}{p} = \frac{0.6(10 + 2.5p)}{p} = \frac{6 + 1.5p}{p}\]

Consumidor B:

Renda: \(m^B = 1 \cdot 10 + p \cdot 20 = 10 + 20p\)

Demandas:

\[x^B = 0.1 \cdot \frac{10 + 20p}{1} = 0.1(10 + 20p) = 1 + 2p\]

\[y^B = 0.9 \cdot \frac{10 + 20p}{p} = \frac{0.9(10 + 20p)}{p} = \frac{9 + 18p}{p}\]

2.4 Excesso de Demanda Agregada

Bem \(x\):

\[Z_x = (x^A - \omega_x^A) + (x^B - \omega_x^B)\]

\[Z_x = (4 + p - 10) + (1 + 2p - 10)\]

\[Z_x = (p - 6) + (2p - 9)\]

\[Z_x = 3p - 15 = 3(p - 5)\]

Bem \(y\):

\[Z_y = (y^A - \omega_y^A) + (y^B - \omega_y^B)\]

\[Z_y = \left(\frac{6 + 1.5p}{p} - 2.5\right) + \left(\frac{9 + 18p}{p} - 20\right)\]

\[Z_y = \frac{6 + 1.5p - 2.5p}{p} + \frac{9 + 18p - 20p}{p}\]

\[Z_y = \frac{6 - p}{p} + \frac{9 - 2p}{p}\]

\[Z_y = \frac{15 - 3p}{p} = \frac{3(5 - p)}{p}\]

2.5 Determinação do Preço de Equilíbrio

Para o equilíbrio, precisamos que \(Z_x = 0\) ou \(Z_y = 0\) (pela Lei de Walras, se um é zero, o outro também será).

Usando \(Z_x = 0\):

\[3(p - 5) = 0\]

\[p - 5 = 0\]

\[p = 5\]

Verificação com \(Z_y = 0\):

\[\frac{3(5 - p)}{p} = 0\]

\[5 - p = 0\]

\[p = 5\]

Preço de equilíbrio: \(p_y^* = 5\)

3. Verificação Numérica

3.1 Cálculo das Alocações de Equilíbrio

Com \(p_x = 1\) e \(p_y = 5\):

Consumidor A:

Renda: \(m^A = 1 \cdot 10 + 5 \cdot 2.5 = 22.5\)

Demandas:

\[x^A = 0.4 \cdot \frac{22.5}{1} = 9\]

\[y^A = 0.6 \cdot \frac{22.5}{5} = 2.7\]

Consumidor B:

Renda: \(m^B = 1 \cdot 10 + 5 \cdot 20 = 110\)

Demandas:

\[x^B = 0.1 \cdot \frac{110}{1} = 11\]

\[y^B = 0.9 \cdot \frac{110}{5} = 19.8\]

3.2 Verificação do Equilíbrio

Demanda agregada do bem \(x\):

\[X = x^A + x^B = 9 + 11 = 20 = \omega_x^{total}\]

Demanda agregada do bem \(y\):

\[Y = y^A + y^B = 2.7 + 19.8 = 22.5 = \omega_y^{total}\]

Excesso de demanda:

\[Z_x = 20 - 20 = 0\]

\[Z_y = 22.5 - 22.5 = 0\]

3.3 Lei de Walras

\[p_x Z_x + p_y Z_y = 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0\]

4. Análise Econômica

4.1 Interpretação do Preço de Equilíbrio

O preço de equilíbrio encontrado é \(p_y^* = 5\), o que significa que o bem \(y\) é 5 vezes mais caro que o bem \(x\) no equilíbrio competitivo.

Preço relativo: \(\frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{5} = 0.2\)

Este resultado reflete a forte preferência do consumidor B pelo bem \(y\) (90% de sua renda destinada a \(y\)), o que torna o bem \(y\) relativamente escasso e mais caro.

4.2 Padrão de Troca

Consumidor A:

• Dotação inicial: \((10, 2.5)\)
• Alocação de equilíbrio: \((9, 2.7)\)
• Demanda líquida: \((-1, 0.2)\)
• Padrão: Vende 1 unidade de \(x\) e compra 0.2 unidades de \(y\)

Consumidor B:

• Dotação inicial: \((10, 20)\)
• Alocação de equilíbrio: \((11, 19.8)\)
• Demanda líquida: \((1, -0.2)\)
• Padrão: Compra 1 unidade de \(x\) e vende 0.2 unidades de \(y\)

Interpretação: As trocas são relativamente pequenas porque o preço alto de \(y\) já reflete sua escassez relativa. B tem preferência intensa por \(y\), mas o preço de equilíbrio limita sua demanda.

4.3 Frações Orçamentárias e Preferências

Consumidor A:

• Aloca 40% da renda para \(x\) e 60% para \(y\)
• Prefere relativamente mais o bem \(y\) (\(\beta_A = 0.3 > \alpha_A = 0.2\))

Consumidor B:

• Aloca 10% da renda para \(x\) e 90% para \(y\)
• Preferência extremamente forte pelo bem \(y\) (\(\beta_B = 4.5 \gg \alpha_B = 0.5\))

4.4 Eficiência de Pareto

A alocação de equilíbrio é Pareto-eficiente. As taxas marginais de substituição são iguais para ambos os consumidores:

\[TMS_A = TMS_B = \frac{p_x}{p_y} = \frac{1}{5} = 0.2\]

Para Cobb-Douglas, a TMS é:

\[TMS = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{y}{x}\]

Consumidor A:

\[TMS_A = \frac{0.2}{0.3} \cdot \frac{2.7}{9} = \frac{2}{3} \cdot 0.3 = 0.2\]

Consumidor B:

\[TMS_B = \frac{0.5}{4.5} \cdot \frac{19.8}{11} = \frac{1}{9} \cdot 1.8 = 0.2\]

5. Resposta Final

Resposta: O preço do bem \(y\) no equilíbrio competitivo é \(p_y^* = 5\) unidades monetárias.

Com \(p_x = 1\) (fixado) e \(p_y = 5\) (determinado), o preço relativo é \(\frac{p_x}{p_y} = 0.2\), refletindo a forte preferência do consumidor B pelo bem \(y\).

Alocação de equilíbrio:

• Consumidor A: \((x^A, y^A) = (9, 2.7)\)
• Consumidor B: \((x^B, y^B) = (11, 19.8)\)

Verificação: Ambos os mercados estão em equilíbrio com excesso de demanda zero.

Referências

BAIDYA, T. K. N.; AIUBE, F. A. L.; MENDES, M. R. DA C. Fundamentos de microeconomia. [s.l.] Interciência, 2014.