Uma externalidade ocorre quando a ação de um agente (consumidor ou firma) afeta diretamente o bem-estar, a utilidade ou o lucro de outro agente, sem que a interação passe pelo mecanismo de preços. O agente que gera a externalidade não é compensado (no caso positivo) nem cobrado (no caso negativo) pelo seu efeito, e o equilíbrio competitivo deixa de ser eficiente.
A tipologia padrão combina quem gera (consumo ou produção) com o sinal do efeito (positivo ou negativo):
Positiva (+)
Negativa (−)
Consumo
jardim de flores que beneficia vizinhos; vacinação
tráfego congestionando uma rua; música alta no apartamento
Produção
pesquisa & desenvolvimento que gera transbordamentos; polinização por apicultores
poluição emitida por uma siderúrgica; uso excessivo de antibióticos por pecuaristas
A literatura também distingue externalidades pecuniárias (efeito via preços de equilíbrio; não são falhas de mercado) das tecnológicas (efeito direto na função de utilidade ou produção; falhas verdadeiras). O foco deste capítulo é nas tecnológicas.
Interpretação
O ponto-chave é que a interação ocorre fora do mercado: nenhum preço internaliza o custo ou benefício social adicional. É por isso que, mesmo com mercados competitivos e sem poder de mercado, a alocação resultante deixa de ser eficiente. Os callouts seguintes derivam o nível eficiente teórico (Note 15.2) e discutem os mecanismos para alcançá-lo.
bem-estar líquido em \(x^*\) (benefício total menos dano total)
\(PBE\)
perda de bem-estar (área entre \(DM\) e \(BMg\) no intervalo \([x^*, x_M]\))
Desenvolvimento Teórico
Sem regulação, a firma polui até o ponto em que o benefício marginal de poluir é zero, ou seja, \(BMg(x_M) = 0\). Esse é o nível privadamente ótimo. Mas o equilíbrio social não é poluição zero, pois evitar emissão tem custo de oportunidade alto. O ótimo social é o nível \(x^*\) que maximiza o excedente líquido (área sob \(BMg\) menos área sob \(DM\), no intervalo \([0, x]\)).
A condição de equilíbrio é \(BMg(x^*) = DM(x^*)\): o benefício marginal privado iguala o dano marginal social. Para todo \(x > x^*\), o dano excede o benefício, e a sociedade preferiria menos poluição.
Conceitualmente, o bem-estar acumulado em \(x^*\) é o benefício total menos o dano total, somando as contribuições marginais unidade a unidade no intervalo \([0, x^*]\). Para curvas lineares, essas somas são áreas geométricas no plano \((x, \text{valor marginal})\).
(i) Benefício total\(=\) área sob \(BMg(x) = 100 - 2x\) entre \(x = 0\) e \(x = 25\). A região é um trapézio com lados paralelos verticais \(BMg(0) = 100\) e \(BMg(25) = 50\), separados pela distância horizontal \(25\):
(ii) Dano total\(=\) área sob \(DM(x) = 2x\) entre \(x = 0\) e \(x = 25\). A região é um triângulo com base \(25\) no eixo \(x\) e altura \(DM(25) = 50\):
Verificação alternativa. O mesmo resultado vem do benefício marginal líquido\(BMg(x) - DM(x) = 100 - 4x\), que decresce de \(100\) (em \(x = 0\)) até zero (em \(x^* = 25\)). Sua área acumulada é o triângulo \(\tfrac{1}{2}\cdot 25 \cdot 100 = 1250\), confirmando \(W(x^*) = 1250\).
Passo 4: perda de bem-estar em \(x_M = 50\)
A perda corresponde ao triângulo entre as curvas \(DM\) e \(BMg\) no intervalo \([x^*, x_M] = [25, 50]\), com vértices \((25, 50)\), \((50, 0)\) e \((50, 100)\).
A perda em \(x_M\) tem o mesmo valor que o bem-estar gerado em \(x^*\): o excesso de poluição zera o ganho líquido.
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# BMg / B_totcor2 <-"firebrick"# DM / D_totcor3 <-"forestgreen"# ótimox_seq <-seq(0, 60, length.out =200)df <-data.frame(x = x_seq,BMg =100-2* x_seq,DM =2* x_seq)x_otimo <-25x_max <-50y_otimo <-50scale_x_padrao <-scale_x_continuous(limits =c(0, 60), expand =c(0, 0),breaks =c(0, x_otimo, x_max),labels =c("0", "x* = 25", "x_M = 50"))scale_y_padrao <-scale_y_continuous(limits =c(0, 130), expand =c(0, 0))tema_padrao <-theme_minimal(base_size =18) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8))# Painel 1 — Passo 3: bem-estar líquido em x*# B_tot = trapézio sob BMg em [0, x*]# D_tot = triângulo sob DM em [0, x*] (overlap com B_tot)df_btot <- df |> dplyr::filter(x >=0, x <= x_otimo)p1 <-ggplot() +geom_ribbon(data = df_btot, aes(x = x, ymin =0, ymax = BMg),fill = cor1, alpha =0.18) +geom_ribbon(data = df_btot, aes(x = x, ymin =0, ymax = DM),fill = cor2, alpha =0.32) +geom_line(data = df, aes(x = x, y = BMg), color = cor1, linewidth =1.2) +geom_line(data = df, aes(x = x, y = DM), color = cor2, linewidth =1.2) +geom_segment(aes(x = x_otimo, y =0, xend = x_otimo, yend = y_otimo),linetype ="dashed", color ="gray50") +geom_point(aes(x = x_otimo, y = y_otimo), color = cor3, size =4) +annotate("text", x =5, y =95, label ="BMg(x) = 100 - 2x",color = cor1, hjust =0, size =6) +annotate("text", x =50, y =110, label ="DM(x) = 2x",color = cor2, hjust =1, size =6) +annotate("text", x =9, y =65, label ="B_tot = 1875",color = cor1, fontface ="bold", size =6) +annotate("text", x =18, y =12, label ="D_tot = 625",color = cor2, fontface ="bold", size =6) + scale_x_padrao + scale_y_padrao +labs(x ="poluição (x)", y ="valor marginal",title ="Passo 3 — bem-estar líquido em x* = 25: W = 1875 − 625 = 1250") + tema_padrao# Painel 2 — Passo 4: perda de bem-estar em x_Mdf_perda <- df |> dplyr::filter(x >= x_otimo, x <= x_max)p2 <-ggplot() +geom_ribbon(data = df_perda, aes(x = x, ymin = BMg, ymax = DM),fill ="gray60", alpha =0.55) +geom_line(data = df, aes(x = x, y = BMg), color = cor1, linewidth =1.2) +geom_line(data = df, aes(x = x, y = DM), color = cor2, linewidth =1.2) +geom_segment(aes(x = x_otimo, y =0, xend = x_otimo, yend = y_otimo),linetype ="dashed", color ="gray50") +geom_segment(aes(x = x_max, y =0, xend = x_max, yend =100),linetype ="dashed", color ="gray50") +geom_point(aes(x = x_otimo, y = y_otimo), color = cor3, size =4) +geom_point(aes(x = x_max, y =0), color = cor1, size =4) +annotate("text", x =5, y =95, label ="BMg(x) = 100 - 2x",color = cor1, hjust =0, size =6) +annotate("text", x =50, y =110, label ="DM(x) = 2x",color = cor2, hjust =1, size =6) +annotate("text", x =38, y =55, label ="PBE = 1250",fontface ="bold", size =6) + scale_x_padrao + scale_y_padrao +labs(x ="poluição (x)", y ="valor marginal",title ="Passo 4 — perda de bem-estar em x_M = 50: PBE = 1250") + tema_padraop1 + p2
Painel esquerdo (Passo 3): o trapézio azul-claro é o benefício total \(B_\text{tot} = 1875\) (área sob \(BMg\) até \(x^*\)); o triângulo vermelho-claro sobre ele é o dano total \(D_\text{tot} = 625\) (área sob \(DM\) até \(x^*\)). O bem-estar líquido \(W(x^*) = 1250\) é a parte azul que “sobra” acima de \(D_\text{tot}\): o triângulo entre as duas curvas.
Painel direito (Passo 4): a área cinza entre \(x^* = 25\) e \(x_M = 50\) é a perda \(PBE = 1250\), exatamente o mesmo valor de \(W(x^*)\), agora destruído pelo excesso de poluição.
Interpretação
Poluição zero não é o ótimo: a curva \(BMg\) no início é alta, indicando que evitar as primeiras unidades de emissão custa caro em produção e lucro. O ótimo é onde a sociedade “compra” cada unidade de redução até o ponto em que o custo marginal de evitar (= \(BMg\)) iguala o ganho marginal de evitar (= \(DM\)). Os callouts seguintes (Coase, Note 15.3; fusão, Note 15.4; imposto, Note 15.5; subsídio, Note 15.6; cap-and-trade, Note 15.7) são formas de alcançar \(x^*\). A noção formal de bem-estar social usada aqui é a soma de utilidades (Bentham); ver no capítulo de Bem-Estar a discussão de outras formas funcionais (Note 14.3).
Note 15.3: Direitos de propriedade e o Teorema de Coase
Símbolo
Significado
\(S \in [0, 1]\)
proporção de fumaça no ar do quarto
\(1 - S\)
proporção de ar limpo
\(M_A\), \(M_B\)
dinheiro de A (fumante) e B (não-fumante); \(M_A + M_B = W_M\)
\(W_M = 200\)
dotação total de dinheiro
\(u_A(M_A, S) = M_A^{0,5}\, S^{0,5}\)
utilidade do fumante (Cobb–Douglas)
\(u_B(M_B, S) = M_B^{0,5}\, (1 - S)^{0,5}\)
utilidade do não-fumante
Desenvolvimento Teórico
Sem direitos definidos sobre o ar, A e B não têm base para barganhar: cada um espera que o outro pague primeiro. Definir direitos (a quem pertence o ar) destrava a negociação. O Teorema de Coase estabelece que, com custos de transação nulos e direitos bem definidos, as partes barganham até um ponto Pareto-eficiente, e a alocação eficiente é a mesma independentemente de quem detém o direito. O que muda entre cenários é a distribuição de renda (quem paga a quem).
Exercício Resolvido
Setup. Dois colegas de quarto, \(A\) (fumante) e \(B\) (não-fumante), dividem dinheiro \(M\) e fumaça \(S \in [0, 1]\). Dotações totais: \(M_A + M_B = W_M = 200\) e \(S\) (fumaça) somado a \(1 - S\) (ar limpo) totaliza \(1\). Funções de utilidade Cobb–Douglas:
A objetivo: caracterizar (i) a curva de contrato (alocações Pareto-eficientes) e (ii) a faixa de alocações alcançáveis pela barganha em cada um dos dois cenários de direitos de propriedade: direito ao ar limpo (B) ou direito a fumar (A).
Passo 1: utilidades marginais e TMS
A taxa marginal de substituição é a razão das utilidades marginais: quanto cada agente cede de um bem por unidade adicional do outro, mantendo \(u\) constante.
Para o fumante \(A\) (que troca \(M_A\) por \(S\)):
A barganha exige Pareto-melhoria: a alocação final precisa preservar \(u_A \ge 0\) e \(u_B \ge 10\). Aplicando essa restrição sobre a curva de contrato:
\[\boxed{\text{Faixa de barganha: } S \in \bigl(0,\; 1 - 1/\sqrt 2\bigr]}\]
A transfere \(M_A\) a B em troca de aumento em \(S\); o tamanho da transferência cresce conforme A consegue mais \(S\) na barganha.
Passo 5: cenário 2, direito a fumar (A detém)
Dotação inicial: \(S = 1\), \(M_A = M_B = 100\).
\[\begin{aligned}
u_A^0 & = \sqrt{100 \cdot 1} = 10 & & \text{(A começa com toda a fumaça)} \\[6pt]
u_B^0 & = \sqrt{100 \cdot 0} = 0 & & \text{(B começa sem ar limpo)}
\end{aligned}\]
A barganha exige \(u_A \ge 10\) e \(u_B \ge 0\). Sobre a curva de contrato:
\[\begin{aligned}
u_A^c(S) & \ge 10 & & \text{(A não aceita perder utilidade)} \\[6pt]
S \sqrt{200} & \ge 10 & & \text{(substituir }u_A^c\text{)} \\[6pt]
S & \ge \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{1}{\sqrt 2} & & \text{(piso da fumaça que A exige)} \\[6pt]
S & \ge \frac{1}{\sqrt 2} \approx 0{,}707 & & \text{(numericamente)}
\end{aligned}\]
\[\boxed{\text{Faixa de barganha: } S \in \bigl[1/\sqrt 2,\; 1\bigr)}\]
B transfere \(M_B\) a A em troca de redução em \(S\).
Síntese. Em ambos os cenários a alocação final repousa sobre a mesma curva de contrato \(M_A = 200 S\) (Pareto-eficiência). O que difere é qual trecho da curva é alcançado e quem paga a quem:
Cenário
Direito de
Faixa de \(S\) na curva
Transferência de dinheiro
1
ar limpo (B)
\(\bigl(0,\; 1 - 1/\sqrt 2\bigr]\)
A → B
2
fumar (A)
\(\bigl[1/\sqrt 2,\; 1\bigr)\)
B → A
A alocação eficiente independe do direito (Coase); a distribuição de renda depende crucialmente.
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# cenário 1 (direito ao ar limpo)cor2 <-"firebrick"# cenário 2 (direito a fumar)cor3 <-"forestgreen"# curva de contrato# Caixa de Edgeworth: M de 0 a 200, S de 0 a 1df_contrato <-data.frame(M =c(0, 200), S =c(0, 1))df_dot <-data.frame(cenario =factor(c("Cenário 1: direito ao ar limpo (B)","Cenário 2: direito a fumar (A)"),levels =c("Cenário 1: direito ao ar limpo (B)","Cenário 2: direito a fumar (A)")),M =c(100, 100),S =c(0, 1))ggplot() +geom_rect(aes(xmin =0, xmax =200, ymin =0, ymax =1),fill =NA, color ="black", linewidth =0.8) +geom_line(data = df_contrato, aes(x = M, y = S),color = cor3, linewidth =1.4) +geom_point(data = df_dot, aes(x = M, y = S, color = cenario), size =5) +geom_segment(data = df_dot,aes(x = M, y = S, xend =100, yend =0.5, color = cenario),arrow =arrow(length =unit(0.3, "cm")),linetype ="dashed", linewidth =0.7) +scale_color_manual(values =c(cor1, cor2)) +# Origens dos dois agentes nos cantos opostosannotate("point", x =0, y =0, size =4, color ="black") +annotate("point", x =200, y =1, size =4, color ="black") +annotate("text", x =4, y =0.06, label ="O[A]", parse =TRUE,fontface ="bold", size =6, hjust =0, vjust =0) +annotate("text", x =196, y =0.94, label ="O[B]", parse =TRUE,fontface ="bold", size =6, hjust =1, vjust =1) +annotate("text", x =60, y =0.85, label ="curva de contrato\n(M_A = 200 S)",color = cor3, size =4.5, hjust =0) +annotate("text", x =195, y =0.18, label ="S = 0\n(ar limpo)",hjust =1, size =3.5, color = cor1) +annotate("text", x =5, y =0.82, label ="S = 1\n(fumaça)",hjust =0, size =3.5, color = cor2) +scale_x_continuous(limits =c(0, 200), expand =c(0, 0),breaks =c(0, 50, 100, 150, 200),sec.axis =sec_axis(~200- ., name =TeX("$M_B$ — dinheiro de B (cresce $\\leftarrow$ a partir de $O_B$)"),breaks =c(0, 50, 100, 150, 200)) ) +scale_y_continuous(limits =c(0, 1), expand =c(0, 0),breaks =c(0, 0.25, 0.5, 0.75, 1),sec.axis =sec_axis(~1- ., name =TeX("$1 - S$ — ar limpo de B (cresce $\\downarrow$ a partir de $O_B$)"),breaks =c(0, 0.25, 0.5, 0.75, 1)) ) +labs(x =TeX("$M_A$ — dinheiro de A (cresce $\\rightarrow$ a partir de $O_A$)"),y =TeX("$S$ — fumaça (cresce $\\uparrow$ a partir de $O_A$)"),color ="Dotação inicial",title ="Caixa de Edgeworth — fumaça × dinheiro") +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom")
Os dois pontos (azul e vermelho) são os cenários de Coase: cada um traz uma alocação inicial diferente, mas a barganha leva a algum ponto sobre a curva de contrato verde (a seta tracejada aponta para um ponto representativo no centro da curva). O ponto exato depende do poder de barganha das partes.
Interpretação
A alocação eficiente independe de quem detém o direito de propriedade. O que muda é a distribuição da riqueza. O Teorema de Coase tem três premissas críticas:
Direitos bem definidos (a base da barganha).
Custos de transação nulos (negociação livre).
Poucos agentes envolvidos (sem problemas de free rider).
Em aplicações reais (externalidades difusas como poluição atmosférica de grandes cidades) essas premissas falham, motivando os instrumentos públicos discutidos nos callouts seguintes (Note 15.5, Note 15.7).
custo da siderúrgica (aumenta com \(s\) e com a redução de \(x\))
\(C_f(f, x)\)
custo da pescaria (aumenta com \(f\) e com \(x\))
\(P_s\), \(P_f\)
preços competitivos
Desenvolvimento Teórico
O cenário. Duas firmas operam em mercados competitivos independentes: a siderúrgica vende aço \(s\) ao preço \(P_s\) e a pescaria vende peixe \(f\) ao preço \(P_f\). A relação entre elas, porém, não passa pelo mercado: a poluição \(x\) emitida pela siderúrgica entra diretamente na função de custo da pescaria, sem preço, contrato ou compensação. É o exemplo canônico de externalidade tecnológica de produção(Varian, 2012, cap. 34): a interação ocorre via quantidades físicas (a poluição polui o rio onde estão os peixes), não via preços. Esse é o tipo de externalidade que gera ineficiência; externalidades pecuniárias (efeitos via preços de equilíbrio) não são falhas de mercado e estão fora do escopo deste callout.
Por que o equilíbrio independente é ineficiente. Cada firma maximiza isoladamente o próprio lucro. A siderúrgica escolhe \(x\) considerando apenas o seu custo de “limpar” a poluição (manter \(x\) baixo é caro: \(\partial C_s / \partial x \le 0\)). Sua condição de primeira ordem (CPO) interna é
\[\frac{\partial C_s(s, x)}{\partial x} = 0,\]
o que tipicamente leva a uma solução de canto: a siderúrgica polui o máximo que sua tecnologia permite. O dano \(\partial C_f / \partial x > 0\) que isso impõe à pescaria está fora do sistema de preços que orienta a siderúrgica e simplesmente não entra na sua decisão. A pescaria, por sua vez, apenas reage ao \(x\) que recebe; escolhe \(f\) tomando \(x\) como dado. O resultado conjunto não é Pareto-eficiente: existem alocações \((s, f, x)\) alternativas em que ambas as firmas (somadas) ficam melhor.
Como a fusão internaliza a externalidade. Sob fusão, uma única firma maximiza o lucro conjunto\(\Pi_s + \Pi_f\). A CPO em \(x\) passa a refletir o custo marginal social:
A externalidade foi internalizada: os dois custos agora pertencem ao mesmo agente, e o termo positivo \(\partial C_f / \partial x\) “puxa” \(x\) para baixo até o ponto em que o ganho marginal da siderúrgica de poluir mais é exatamente compensado pelo dano marginal à pescaria. Resultado: poluição estritamente menor e bem-estar agregado maior.
Conexão com outros mecanismos. A fusão é uma solução privada à externalidade: funciona quando há poucos agentes envolvidos (lógica de Coase, Note 15.3). Quando a fusão é inviável (muitos agentes a jusante, regulação antitruste), instrumentos públicos como o imposto pigouviano (Note 15.5) reproduzem o mesmo \(x^*\): ao cobrar uma taxa \(t = \partial C_f / \partial x\) por unidade de poluição, o regulador transforma o custo externo em custo privado da siderúrgica, levando-a a escolher espontaneamente o nível socialmente eficiente.
Exercício Resolvido
Setup. Uma siderúrgica produz aço \(s\) ao preço \(P_s\) e emite poluição \(x\). Uma pescaria a jusante produz peixes \(f\) ao preço \(P_f\) e é afetada por \(x\). As funções de custo são:
\[C_s(s, x) = s^2 + (a - x)^2.\]
O termo \((a - x)^2\) é o custo de abatimento: a tecnologia da firma tem um nível “natural” de emissão \(a\), e reduzir \(x\) abaixo de \(a\) exige filtros, processos mais limpos etc., encarecendo a operação. A derivada \(\partial C_s / \partial x = -2(a - x)\) é negativa para \(x \le a\). Ou seja, uma unidade adicional de poluição reduz o custo em \(2(a - x)\). Esse valor é o benefício marginal privado de poluir (\(BMg\) no gráfico): equivalente ao custo marginal que a siderúrgica evita ao não abater. Por isso, sozinha, ela prefere \(x\) alto.
\[C_f(f, x) = f^2 + b\, x\, f.\]
A poluição encarece a pesca pelo termo \(b\, x\, f\). A derivada \(\partial C_f / \partial x = b\, f\) é positiva: cada unidade adicional de \(x\) aumenta o custo da pescaria em \(b\, f\). Esse valor é o dano marginal externo (\(DM\) no gráfico). Por isso, sozinha, a pescaria prefere \(x\) baixo.
Parâmetros: \(a = 10\), \(b = 1\), \(P_s = 12\), \(P_f = 16\). Objetivo: comparar a alocação sob (i) produção independente, em que cada firma ignora a outra, e (ii) fusão, em que uma única firma maximiza o lucro conjunto.
Passo 1: equilíbrio independente
Aqui calculamos o equilíbrio descentralizado do mercado, em que cada firma decide isoladamente. A siderúrgica escolhe \(s\) e \(x\) olhando apenas para o próprio lucro; a pescaria, vítima passiva da externalidade, observa o \(x\) resultante e ajusta \(f\). Veremos que a siderúrgica polui até o limite permitido pela tecnologia (\(x_{\text{ind}} = a\)) e que a pescaria absorve todo o dano.
A siderúrgica maximiza \(\Pi_s = P_s s - s^2 - (a - x)^2\) escolhendo livremente \(s\) e \(x\):
\[\begin{aligned}
\partial \Pi_s / \partial s & = P_s - 2 s = 0 & & \Rightarrow s_{\text{ind}} = P_s / 2 = 6 \\[6pt]
\partial \Pi_s / \partial x & = 2 (a - x) = 0 & & \Rightarrow x_{\text{ind}} = a = 10
\end{aligned}\]
Em palavras econômicas:
A CPO em \(s\) é a regra clássica de firma competitiva: preço igual ao custo marginal (\(P_s = 2s\)). A siderúrgica produz aço até o ponto em que o ganho marginal de mais uma unidade (\(P_s\)) iguala o custo marginal de produzi-la (\(2s\)).
A CPO em \(x\) iguala a zero o benefício marginal privado de poluir (\(-\partial C_s/\partial x = 2(a-x)\)). A siderúrgica aumenta \(x\) enquanto isso poupa custo de abatimento; quando esse benefício se esgota (em \(x = a\)), ela para. É uma solução de canto no limite tecnológico: o dano externo \(\partial C_f/\partial x = bf > 0\) não aparece na CPO porque a siderúrgica não paga por ele.
A pescaria toma \(x_{\text{ind}} = 10\) como dado e maximiza \(\Pi_f = P_f f - f^2 - b\, x\, f\) apenas em \(f\):
Agora as duas firmas se fundem em uma única empresa que maximiza o lucro agregado. Como a poluição passa a afetar o custo de uma divisão da própria empresa, deixa de ser externa: entra nas decisões. Esperamos \(x^* < x_{\text{ind}}\) e um lucro total maior que no Passo 1; a diferença mede o ganho de internalizar a externalidade.
Sob fusão, uma única firma maximiza o lucro conjunto\(\Pi(s, f, x) = \Pi_s + \Pi_f\):
\[\Pi(s, f, x) = P_s s + P_f f - s^2 - (a - x)^2 - f^2 - b\, x\, f.\]
CPOs em \(s\), \(f\) e \(x\):
\[\begin{aligned}
\partial \Pi / \partial s & = P_s - 2 s = 0 & & \Rightarrow s^* = 6 \;\;\text{(idêntico ao Passo 1)} \\[6pt]
\partial \Pi / \partial f & = P_f - 2 f - b\, x = 0 & & \Rightarrow f^* = (P_f - b\, x^*)/2 \\[6pt]
\partial \Pi / \partial x & = 2 (a - x) - b\, f = 0 & & \Rightarrow \underbrace{2 (a - x^*)}_{\text{benefício mg de poluir}} = \underbrace{b\, f^*}_{\text{dano mg externo}}
\end{aligned}\]
A CPO em \(x\) é a regra de internalização: o benefício marginal de poluir iguala o dano marginal externo. Substituindo \(f^* = (P_f - b\, x^*)/2\) na CPO de \(x\):
O ganho líquido da fusão ($3) é exatamente a perda de bem-estar do excesso de poluição em \(x_{\text{ind}}\): a área entre as curvas \(BMg\) e \(DM\) no intervalo \([x^*,\, x_{\text{ind}}]\), computada explicitamente no gráfico abaixo.
A siderúrgica isolada não tem incentivo unilateral à fusão (perde $4). A fusão só é viável se houver redistribuição interna que torne as duas partes não-piores; o ganho líquido de $3 garante que essa transferência é possível.
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# siderúrgica / BMgcor2 <-"firebrick"# pescaria / DMcor3 <-"forestgreen"# ótimo conjuntocor4 <-"darkorange"# lucro totala <-10b <-1Ps <-12Pf <-16xind <- axstar <- (4* a - b * Pf) / (4- b^2)fstar <- (Pf - b * xstar) /2find <- (Pf - b * xind) /2tema_padrao <-theme_minimal(base_size =18) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8))# Eixo x compartilhado entre os dois painéisscale_x_padrao <-scale_x_continuous(limits =c(0, 12), expand =c(0, 0),breaks =c(0, xstar, xind, 12),labels =c("0", "x* = 8", "x_ind = 10", "12"))# === Painel 1: marginais (BMg vs DM) ===x_seq1 <-seq(0, 12, length.out =200)df_marg <-data.frame(x = x_seq1,BMg =2* (a - x_seq1),DM = (Pf - b * x_seq1) /2)df_perda <- df_marg[df_marg$x >= xstar & df_marg$x <= xind, ]p1 <-ggplot() +geom_ribbon(data = df_perda, aes(x = x, ymin = BMg, ymax = DM),fill ="gray60", alpha =0.55) +geom_line(data = df_marg, aes(x = x, y = BMg), color = cor1, linewidth =1.2) +geom_line(data = df_marg, aes(x = x, y = DM), color = cor2, linewidth =1.2) +geom_point(aes(x = xstar, y = b * fstar), color = cor3, size =4) +geom_point(aes(x = xind, y =0), color = cor1, size =4) +geom_segment(aes(x = xstar, y =0, xend = xstar, yend = b * fstar),linetype ="dashed", color ="gray50") +geom_segment(aes(x = xind, y =0, xend = xind, yend = b * find),linetype ="dashed", color ="gray50") +annotate("text", x =1, y =19, label ="BMg(x) = 2(a - x)",color = cor1, hjust =0, size =6) +annotate("text", x =1, y =7.8, label ="DM(x) = b · f(x)",color = cor2, hjust =0, size =6) +annotate("text", x =9.6, y =1.5, label ="perda\n= 3",fontface ="bold", size =5.5) + scale_x_padrao +scale_y_continuous(limits =c(0, 22), expand =c(0, 0)) +labs(x ="poluição (x)", y ="valor marginal",title ="Marginais — BMg(x) = DM(x) em x* = 8") + tema_padrao# === Painel 2: lucros como função de x ===x_seq2 <-seq(0, 12, length.out =200)df_lucro <-data.frame(x =rep(x_seq2, 3),lucro =c(36- (a - x_seq2)^2, # Pi_s (com s = 6)64-8* x_seq2 + x_seq2^2/4, # Pi_f (com f(x) = (Pf - bx)/2)12* x_seq2 -3* x_seq2^2/4# Pi_total = Pi_s + Pi_f ),serie =factor(rep(c("siderúrgica", "pescaria", "lucro total"),each =length(x_seq2)),levels =c("siderúrgica", "pescaria", "lucro total")))p2 <-ggplot(df_lucro, aes(x = x, y = lucro, color = serie)) +geom_line(linewidth =1.3) +geom_vline(xintercept =c(xstar, xind), linetype ="dashed", color ="gray50") +geom_point(aes(x = xstar, y =48), color = cor3, size =4, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x = xstar +0.15, y =51, label ="ótimo total = 48",color = cor3, fontface ="bold", hjust =0, size =5) +scale_color_manual(values =c("siderúrgica"= cor1,"pescaria"= cor2,"lucro total"= cor4)) + scale_x_padrao +coord_cartesian(ylim =c(0, 70)) +labs(x ="poluição (x)", y ="lucro",title ="Lucros — total maximiza em x* = 8 (vs. 45 em x_ind)",color =NULL) + tema_padrao +theme(legend.position ="bottom")p1 + p2
Painel esquerdo: o benefício marginal de poluir \(BMg(x) = 2(a - x)\) (azul) e o dano marginal externo \(DM(x) = b\, f(x)\) (vermelho), onde \(f(x) = (P_f - b x)/2\) é a resposta ótima da pescaria a um nível \(x\) dado. As curvas se cruzam em \(x^* = 8\). O triângulo cinza entre \(x^* = 8\) e \(x_{\text{ind}} = 10\) é a perda de bem-estar do excesso de poluição: área \(= 3\) (= \(\Pi_{\text{tot}}^* - \Pi_{\text{tot}}^{\text{ind}}\)).
Painel direito: lucros das duas firmas e do total como função de \(x\) (com \(s\) e \(f\) otimizados). O lucro da siderúrgica cresce até \(x = 10\) (onde polui livremente); o da pescaria cai monotonicamente. O lucro total atinge o máximo (\(48\)) em \(x^* = 8\), ponto onde o ganho marginal da siderúrgica iguala o dano marginal sobre a pescaria.
Interpretação
A fusão é uma solução privada por internalização total: o agente passa a sentir tanto o ganho quanto o dano. Tem dois limites práticos:
Inviabilidade quando há muitos agentes: uma siderúrgica não consegue se fundir com toda a comunidade pesqueira a jusante.
Concentração de poder de mercado: fusões podem violar regulação antitruste.
Quando a fusão é inviável, instrumentos públicos como o imposto pigouviano (Note 15.5) reproduzem o mesmo \(x^*\) via incentivos.
lucro do aeroporto (estritamente côncavo em \(x\))
\(\Pi_D(x, y) = 80 y - 2 y^2 - x y\)
lucro da incorporadora (afetado pelo ruído \(x\))
\(t\)
imposto pigouviano por avião
Desenvolvimento Teórico
O contexto. Quando há externalidades entre agentes mas a fusão é inviável (alta barreira contratual, regulação antitruste, muitos agentes envolvidos), o regulador pode usar uma alternativa descentralizada baseada em incentivos de preço. A ideia foi formalizada em 1920 por Arthur Pigou: cobrar um imposto \(t\) por unidade da atividade externalizadora, calibrado para forçar o agente a “sentir” o dano que ele impõe a terceiros (Pigou, 1920).
A regra de calibragem. O imposto deve igualar o dano marginal externo avaliado no nível socialmente ótimo \(x^*\). Com \(t = \partial C_f / \partial x\) no ponto eficiente, o agente que maximiza apenas o próprio lucro escolhe espontaneamente \(x^*\), pois o imposto faz com que cada unidade de externalidade custe a ele exatamente o que custa para a sociedade.
Mecanismo: internalização via preço. Sem imposto, o agente poluidor ignora o efeito sobre terceiros e escolhe \(x\) excessivo. Com \(t\) bem calibrado, o custo marginal privado mais \(t\) iguala o custo marginal social, e o ótimo privado coincide com o ótimo social. O imposto transforma o custo externo em custo privado sem alterar a estrutura de propriedade. O resultado em equilíbrio é equivalente ao da fusão (Note 15.4): ambos forçam a internalização, mas por caminhos distintos. A fusão concentra o ativo; o imposto reprecifica a atividade.
Premissa informacional crítica. Para fixar \(t\) corretamente, o regulador precisa conhecer o dano marginal no ponto eficiente. Em aplicações reais (preço social do carbono, custo da poluição sonora aeroportuária, congestionamento urbano), estimar esse valor é parte central da política. Quando o dano é difícil de medir mas o nível agregado tolerável é fácil de definir, instrumentos quantitativos como o cap-and-trade (Note 15.7) podem ser preferíveis: o regulador fixa o nível e deixa o mercado descobrir o preço.
Exercício Resolvido
Setup. Um aeroporto opera \(x\) aviões e gera ruído que afeta uma incorporadora vizinha (que constrói \(y\) casas). Os lucros são:
\[\Pi_A(x) = 50 x - 2 x^2.\]
Receita \(50\) por avião e custo quadrático \(2 x^2\) (limitação de pista, manutenção, combustível). O aeroporto não é afetado pela incorporadora; só ele gera externalidade.
\[\Pi_D(x, y) = 80 y - 2 y^2 - x y.\]
Receita e custo análogos para a incorporadora, mais o termo \(-x y\) que captura o dano: cada avião adicional reduz o lucro da incorporadora em \(y\) (ruído desvaloriza casas, vendas caem). A derivada \(\partial \Pi_D / \partial x = -y < 0\) é o dano marginal externo.
Objetivo: (i) calcular o ótimo social \((x^*, y^*)\), (ii) o equilíbrio descentralizado sem imposto, (iii) o imposto pigouviano \(t\) que faz o aeroporto escolher \(x^*\) espontaneamente.
Passo 1: ótimo social do planejador
Aqui calculamos o que um planejador faria se pudesse coordenar as duas atividades. Maximiza-se o bem-estar agregado\(W = \Pi_A + \Pi_D\) em \(x\) e \(y\):
\[W(x, y) = 50 x - 2 x^2 + 80 y - 2 y^2 - x y.\]
CPOs:
\[\begin{aligned}
\partial W / \partial x & = 50 - 4 x - y = 0 & & \text{(aviões: receita mg − custo mg − dano mg sobre } y\text{)} \\[6pt]
\partial W / \partial y & = 80 - 4 y - x = 0 & & \text{(casas: receita mg − custo mg − dano mg sobre } x\text{)}
\end{aligned}\]
Cada CPO inclui o termo cruzado de dano (\(-y\) na primeira; \(-x\) na segunda). É essa internalização que diferencia o problema do planejador do problema descentralizado do Passo 3.
Passo 2: resolver o sistema
Da primeira CPO, \(y = 50 - 4 x\). Substituindo na segunda:
\[\begin{aligned}
80 - 4 (50 - 4 x) - x & = 0 & & \text{(substituir } y\text{)} \\[6pt]
80 - 200 + 16 x - x & = 0 & & \text{(distribuir)} \\[6pt]
15 x - 120 & = 0 & & \text{(agrupar)} \\[6pt]
x^* & = 8 & & \\[6pt]
y^* & = 50 - 4 \cdot 8 = 18 & & \text{(de volta na primeira CPO)}
\end{aligned}\]
\[\boxed{x^* = 8, \quad y^* = 18}\]
Passo 3: equilíbrio descentralizado (sem imposto)
Aqui calculamos o que cada agente faria sozinho, ignorando o efeito sobre o outro. O aeroporto maximiza apenas \(\Pi_A(x)\):
\[\begin{aligned}
\partial \Pi_A / \partial x & = 50 - 4 x = 0 & & \text{(CPO do aeroporto sozinho)} \\[6pt]
x_{\text{priv}} & = 50 / 4 = 12{,}5 & & \text{(sem nada a refrear)}
\end{aligned}\]
A incorporadora toma \(x_{\text{priv}} = 12{,}5\) como dado e ajusta \(y\):
\[\begin{aligned}
\partial \Pi_D / \partial y & = 80 - 4 y - x_{\text{priv}} = 0 & & \text{(CPO da incorporadora)} \\[6pt]
y_{\text{priv}} & = (80 - 12{,}5)/4 = 16{,}875 & & \text{(constrói menos pelo ruído)}
\end{aligned}\]
Comparando com o ótimo social: \(x_{\text{priv}} > x^*\) (aviões em excesso) e \(y_{\text{priv}} < y^*\) (casas a menos). A externalidade gera sobre-aviação e sub-construção.
Passo 4: imposto pigouviano que descentraliza o ótimo
Com imposto \(t\) por avião, o aeroporto passa a maximizar o lucro líquido\(\Pi_A^t(x) = 50 x - 2 x^2 - t x\):
\[\begin{aligned}
\partial \Pi_A^t / \partial x & = 50 - 4 x - t = 0 & & \text{(CPO do aeroporto sob imposto)} \\[6pt]
x_{\text{priv}}^t & = (50 - t) / 4 & & \text{(escolha do aeroporto dada } t\text{)}
\end{aligned}\]
Comparando com a primeira CPO do planejador (Passo 1):
\[\underbrace{50 - 4 x - y = 0}_{\text{planejador}}\quad \text{vs.} \quad \underbrace{50 - 4 x - t = 0}_{\text{aeroporto sob imposto}}\]
O termo \(t\) ocupa exatamente o lugar de \(y\). O imposto simula no problema do aeroporto o termo de dano marginal externo (\(-y\)) que ele ignoraria por conta própria. Para que \(x_{\text{priv}}^t = x^*\), basta calibrar \(t = y^*\):
\[\boxed{t = y^* = 18}\]
Verificação: com \(t = 18\), \(x_{\text{priv}}^t = (50 - 18)/4 = 8 = x^*\). O aeroporto, em isolamento, escolhe espontaneamente o nível socialmente eficiente.
Passo 5: comparação dos equilíbrios
Variável
Sem imposto
Com \(t = 18\)
Variação
Aviões \(x\)
\(12{,}5\)
\(8\)
\(-4{,}5\)
Casas \(y\)
\(16{,}875\)
\(18\)
\(+1{,}125\)
Lucro operacional aeroporto \(\Pi_A\)
\(312{,}5\)
\(272\)
\(-40{,}5\)
Lucro incorporadora \(\Pi_D\)
\(569{,}5\)
\(648\)
\(+78{,}5\)
Bem-estar\(W = \Pi_A + \Pi_D\)
\(882\)
\(920\)
\(\mathbf{+38}\)
O ganho de bem-estar ($38) vem do realocamento da atividade induzido pelo imposto: menos aviões, mais casas. O imposto em si é uma transferência do aeroporto para o governo ($144 = \(t \cdot x^*\)) e não conta no bem-estar agregado; só o realocamento que ele induz.
A curva azul é o lucro do aeroporto sem imposto: máximo em \(x_{\text{priv}} = 12{,}5\). A curva vermelha é o lucro com imposto \(t = 18\): o máximo desloca-se exatamente para \(x^* = 8\), alinhando o incentivo privado ao ótimo social.
Interpretação
O imposto move o equilíbrio privado até o ótimo social sem precisar de fusão nem coordenação direta entre as partes. Premissa forte: o regulador conhece o dano marginal (aqui \(\partial \Pi_D/\partial x = -y\) no ponto eficiente). Em situações reais, estimar esse dano (preço social do carbono, custo da poluição sonora etc.) é parte central do desafio. Conecta com o benchmark teórico em Note 15.2 e com a derivação por fusão em Note 15.4: todos chegam ao mesmo \(x^*\).
O contexto. Externalidades positivas (a ação de um agente beneficia outro sem compensação) também causam falhas de mercado, em sentido oposto ao das negativas. O agente que gera o benefício externo não captura todo o ganho social e por isso produz menos do que seria socialmente ótimo. Exemplos clássicos: pesquisa & desenvolvimento (transbordamentos tecnológicos), vacinas (imunidade de rebanho), polinização por apicultores, educação básica (capital humano).
A regra de calibragem. O subsídio pigouviano \(\sigma\), instrumento simétrico ao imposto (Note 15.5), é fixado de modo que o benefício marginal privado mais \(\sigma\) iguale o benefício marginal social. Equivalentemente, \(\sigma\) deve igualar o benefício marginal externo que a atividade gera para terceiros, avaliado no nível socialmente ótimo.
Mecanismo: internalização via preço, com sinal positivo. Sem subsídio, o agente que gera o benefício externo ignora a parte do ganho que vai para terceiros e produz pouco. Com \(\sigma\) bem calibrado, o ganho marginal privado mais \(\sigma\) iguala o ganho marginal social, e o ótimo privado coincide com o ótimo social. O subsídio transforma o benefício externo em ganho privado: análogo ao imposto pigouviano, com sinal trocado.
Premissa informacional crítica. Como no caso do imposto, o regulador precisa conhecer o benefício marginal externo no ponto eficiente. Em aplicações reais, estimar esse valor (retorno social do P&D, valor da imunidade de rebanho, externalidade educacional) é parte central da política e fonte recorrente de controvérsia.
Exercício Resolvido
Setup. Um apicultor produz \(H\) unidades de mel ao preço \(P_H = 2\) e um pomar vizinho produz \(A\) unidades de maçã ao preço \(P_A = 3\). As funções de custo são:
\[C_H(H) = H^2 / 100.\]
Custo quadrático do mel. O apicultor não é afetado pelo pomar.
\[C_A(A, H) = A^2 / 100 - H.\]
Custo quadrático das maçãs menos \(H\): a polinização das abelhas reduz o custo do pomar. A derivada \(\partial C_A / \partial H = -1\) é negativa: cada unidade extra de mel reduz o custo do pomar em \(1\). Esse é o benefício marginal externo que o apicultor gera mas não captura.
Objetivo: (i) calcular o ótimo social \((H^*, A^*)\), (ii) o equilíbrio descentralizado sem subsídio, (iii) o subsídio pigouviano \(\sigma\) que faz o apicultor escolher \(H^*\) espontaneamente.
Passo 1: ótimo social do planejador
Aqui calculamos o que um planejador faria se pudesse coordenar as duas atividades. Maximiza-se o bem-estar agregado\(W = \Pi_H + \Pi_A\):
\[W(H, A) = (2 H - H^2/100) + (3 A - A^2/100 + H) = 3 H - H^2/100 + 3 A - A^2/100.\]
Note o termo \(+1\) extra na CPO em \(H\): é o benefício marginal externo\(\partial \Pi_A/\partial H = 1\) que o planejador captura mas o apicultor sozinho ignoraria.
\[\boxed{H^* = 150, \quad A^* = 150}\]
Passo 2: equilíbrio descentralizado (sem subsídio)
Aqui calculamos o que cada agente faria sozinho. O apicultor maximiza apenas \(\Pi_H = 2 H - H^2/100\):
Comparando: \(H_{\text{ind}} = 100 < H^* = 150\) indica sub-produção de mel (e de polinização); \(A_{\text{ind}} = A^* = 150\) porque a externalidade não passa por \(A\), então o pomar não muda sua escolha.
Passo 3: subsídio pigouviano que descentraliza o ótimo
Com subsídio \(\sigma\) por unidade de mel, o apicultor passa a maximizar \(\Pi_H^\sigma(H) = 2 H - H^2/100 + \sigma H = (2 + \sigma) H - H^2/100\):
\[\begin{aligned}
\partial \Pi_H^\sigma / \partial H & = (2 + \sigma) - 2 H/100 = 0 & & \text{(CPO do apicultor sob subsídio)} \\[6pt]
H_{\text{priv}}^\sigma & = 50 (2 + \sigma) & & \text{(escolha do apicultor dado } \sigma\text{)}
\end{aligned}\]
O termo \(\sigma\) ocupa exatamente o lugar do benefício externo “\(+1\)”. Para que \(H_{\text{priv}}^\sigma = H^*\), basta calibrar \(\sigma = 1\):
\[\boxed{\sigma = 1}\]
Verificação: com \(\sigma = 1\), \(H_{\text{priv}}^\sigma = 50 \cdot 3 = 150 = H^*\). O apicultor, em isolamento, escolhe espontaneamente o nível socialmente eficiente.
Passo 4: comparação dos equilíbrios
Variável
Sem subsídio
Com \(\sigma = 1\)
Variação
Mel \(H\)
\(100\)
\(150\)
\(+50\) (\(+50\%\))
Maçã \(A\)
\(150\)
\(150\)
\(0\)
Lucro operacional apicultor \(\Pi_H\)
\(100\)
\(75\)
\(-25\)
Lucro pomar \(\Pi_A\)
\(325\)
\(375\)
\(+50\)
Bem-estar\(W = \Pi_H + \Pi_A\)
\(425\)
\(450\)
\(\mathbf{+25}\)
O apicultor isoladamente perde $25 em lucro operacional ao produzir mais mel (o custo \(H^2/100\) cresce mais rápido que a receita marginal \(P_H = 2\)). Mas o subsídio do governo (\(\sigma \cdot H^* = 150\)) o compensa folgadamente: lucro líquido com subsídio \(= 75 + 150 = 225 > 100\). O pomar ganha $50 sem fazer nada, beneficiando-se apenas da polinização adicional. O bem-estar agregado cresce em $25, vindo do realocamento (mais mel induz mais polinização e maior lucro do pomar), não do subsídio em si, que é apenas uma transferência.
A curva azul é o lucro privado do apicultor; a vermelha é o lucro com subsídio \(\sigma = 1\). O subsídio desloca o ótimo privado de \(H_{\text{ind}} = 100\) para \(H^* = 150\).
Interpretação
Mesma lógica do imposto, com sinal trocado. Aplicações reais: subsídios a P&D (transbordamentos tecnológicos), vacinas (imunidade de rebanho), educação básica (capital humano com retorno social). Premissa forte: o regulador conhece o benefício marginal externo. Conecta com Note 15.5 como caso simétrico.
Note 15.7: Cota agregada e mercado de licenças (cap-and-trade)
Símbolo
Significado
\(x_i\)
poluição da firma \(i\)
\(\bar X\)
teto agregado de poluição definido pelo regulador
\(CMR_i(x_i)\)
custo marginal de redução da firma \(i\)
\(p_L\)
preço de equilíbrio das licenças
Desenvolvimento Teórico
O contexto. O sistema de cota agregada com licenças negociáveis (cap-and-trade) é uma alternativa ao imposto pigouviano (Note 15.5) para tratar externalidades quando a fusão (Note 15.4) não é viável. A ideia foi formulada por John Dales em 1968 e implementada em larga escala no programa norte-americano de chuva ácida (1990, redução de SO₂), no EU ETS (2005, carbono) e em vários esquemas regionais (RGGI, California cap-and-trade). O regulador define um teto agregado \(\bar X\) e distribui \(\bar X\) licenças entre as firmas; cada licença permite emitir uma unidade. As licenças podem ser negociadas livremente.
A regra de equilíbrio e por que minimiza custo. Em equilíbrio competitivo de licenças, todas as firmas igualam o seu custo marginal de redução ao preço \(p_L\) de uma licença:
Por que isso é eficiente? Se duas firmas tivessem \(CMR_i \ne CMR_j\), a firma com \(CMR\) baixo poderia abater uma unidade extra (custo baixo) e vender a licença liberada para a firma com \(CMR\) alto (que evitaria abatimento caro); ambas saem ganhando, pelo preço entre os dois \(CMR\)s. O equilíbrio só estaciona quando essa diferença desaparece. Equalização de \(CMR\) ⟺ custo total de redução agregado mínimo dado \(\bar X\).
Mecanismo: descoberta descentralizada do preço. A vantagem central sobre Pigou é informacional. Para fixar o imposto \(t\) corretamente, o regulador precisa conhecer o dano marginal externo no ponto eficiente. No cap-and-trade, basta conhecer o nível agregado eficiente \(\bar X\), derivado do benchmark social (Note 15.2). O preço \(p_L\) emerge endogenamente do mercado de licenças, sem que o regulador precise calculá-lo.
Independência da distribuição inicial. Por uma lógica de Coase (Note 15.3), a alocação eficiente \((x_1^*, x_2^*, \ldots)\) e o custo total agregado não dependem de como as licenças são inicialmente distribuídas; só a distribuição de renda (quem paga quem) depende. Isso permite, na prática, distribuir licenças de forma politicamente conveniente (grandfathering para poluidores existentes, leilão para receita pública etc.) sem comprometer a eficiência.
Exercício Resolvido
Setup. Duas firmas têm custos marginais de redução lineares e decrescentes em \(x_i\) (mais poluição = menor custo marginal de evitar a próxima unidade):
A firma 1 abate “mais barato no início” (curva mais alta perto de \(x_1 = 0\)), mas seu \(CMR\) cai rapidamente. O regulador define um teto agregado \(\bar X = 30\) e distribui igualmente: \(15\) licenças para cada firma.
Objetivo: (i) computar a poluição livre (sem regulação); (ii) o custo total de redução sob a alocação 15/15 sem mercado; (iii) o equilíbrio do mercado de licenças e o ganho de eficiência sobre (ii).
Passo 1: poluição livre (sem regulação)
Sem regulação, cada firma polui até onde reduzir mais uma unidade não traria ganho, ou seja, \(CMR_i = 0\):
Como \(CMR_2 > CMR_1\), há ineficiência: a firma 2 paga \(50\) pela próxima unidade de redução, enquanto a firma 1 paga apenas \(40\). Existe ganho de troca não explorado. Os custos totais de redução (área sob \(CMR_i\) entre a quota e o livre) são triângulos:
A firma 1 abate mais que sob 15/15 (de 25 a 13,33 = 11,67 unidades), e vende \(15 - 13{,}33 = 1{,}67\) licenças à firma 2, que abate menos (de 40 a 16,67 = 23,33 unidades).
Passo 4: custo total sob mercado e ganho de eficiência
Os novos triângulos de custo (entre \(x_i^*\) e \(x_i^{\text{livre}}\), com altura \(p_L\)):
A redução é modesta neste exemplo porque a alocação \(15/15\) já estava perto do ótimo. Em distribuições mais assimétricas (ex.: \(25/5\)), o ganho seria bem maior. Importa que o cap-and-trade chega ao mesmo \(TC_{\text{tot}}^* \approx 816{,}67\) independentemente de como as licenças são inicialmente distribuídas.
Painel esquerdo: alocação igual 15/15 sem mercado. As áreas sombreadas sob \(CMR_1\) (azul) e \(CMR_2\) (vermelho) são os custos de redução de cada firma: triângulos com base \((x^{\text{livre}} - x^{\text{alocado}})\) e altura \(CMR(x^{\text{alocado}})\). A diferença de altura entre os dois pontos no eixo \(x = 15\) (\(40\) vs. \(50\)) indica que existe ganho de troca.
Painel direito: mercado de licenças equaliza os \(CMR\)s no preço \(p_L \approx 46{,}67\) (linha verde tracejada). A firma 1 abate mais (de \(25\) a \(\approx 13{,}33\)) e vende as licenças extras à firma 2, que abate menos (de \(40\) a \(\approx 16{,}67\)). O custo total agregado cai de \(825\) para \(\approx 817\), uma redução de \(\approx 8{,}33\) equivalente à área de ineficiência implicitamente eliminada pelo mercado.
Interpretação
Vantagem central sobre Pigou: o regulador só precisa conhecer o nível agregado eficiente (o teto \(\bar X\), derivado de Note 15.2), não o \(CMR\) de cada firma individualmente. O mercado descobre o preço correto via barganha bilateral. Aplicações práticas: EU ETS (mercado europeu de carbono), RGGI (regional, EUA), créditos de SO₂ no Acid Rain Program. Em todos esses, o teto agregado vem da política, mas a alocação entre firmas é deixada ao mercado de licenças.
Antes de modelar a tragédia, vale situar que tipo de recurso está em jogo. A literatura institucional (Capelari, Calmon e Araújo, 2017) classifica os bens econômicos em uma matriz \(2 \times 2\) segundo dois atributos:
Subtração (rivalidade): o quanto o consumo de uma unidade reduz a disponibilidade para outros. Subtração alta = bem rival; baixa = bem não-rival.
Exclusão: o custo (técnico, jurídico, social) de impedir o acesso de quem não paga. Exclusão fácil = bem excludível; difícil = bem não-excludível.
A combinação dos dois atributos gera quatro tipos:
Os recursos comuns (alta rivalidade, baixa excludibilidade) combinam o “pior dos dois mundos”: cada usuário reduz o disponível para os outros, mas é caro impedir o acesso ou cobrar pelo uso. É nessa célula que emerge a tragédia modelada a seguir.
Desenvolvimento Teórico
Em um recurso comum (pasto coletivo, aquífero, banco pesqueiro, atmosfera), cada usuário, ao extrair mais, impõe um custo aos demais (menos pasto, menos água, menos peixes) que não internaliza. O resultado é sobreuso: cada um age individualmente racionalmente, mas o coletivo termina pior do que poderia. Sob livre acesso, esse comportamento leva a uma dissipação de renda: a entrada de novos usuários continua até que toda a renda disponível seja consumida pelos custos de operação, e o estoque do recurso é sobre-explorado (Hardin, 1968).
Exercício Resolvido
Setup. Considere uma pescaria aberta a \(B\) barcos. A pesca total sustentável (toneladas por período, dado o estoque que essa frota mantém em equilíbrio biológico) é
\[F(B) = 100 B - 0{,}5 B^2.\]
Cada barco custa \(c\) por período (tripulação, combustível, manutenção); o preço do peixe é normalizado a \(1\). Objetivo: comparar o número de barcos sob (i) livre acesso com (ii) o ótimo social, e identificar o limite a partir do qual a frota destrói o estoque.
Passo 1: pesca total, marginal e média
A função \(F(B)\) é uma parábola côncava: cresce com \(B\) até atingir o máximo em \(B = 100\), o Rendimento Máximo Sustentável, \(F(100) = 5000\). Para \(B > 100\), mais barcos reduzem a captura total porque sobre-pescam o estoque.
Os três conceitos relevantes:
\[\begin{aligned}
\text{Pesca total:} & \quad F(B) = 100 B - 0{,}5 B^2 \\[6pt]
\text{Pesca marginal:} & \quad F'(B) = 100 - B & & \text{(quanto um barco extra adiciona ao total)} \\[6pt]
\text{Pesca média:} & \quad F(B)/B = 100 - 0{,}5 B & & \text{(o que cada barco pega em média)}
\end{aligned}\]
A diferença entre a média e a marginal é a externalidade: para \(B > 0\), \(F(B)/B > F'(B)\). Quando um barco entra, cada um dos demais perde \(0{,}5\) unidade de captura, mas essa perda não entra na decisão privada do entrante.
Passo 2: ótimo social
O planejador maximiza a renda agregada \(\Pi(B) = F(B) - c B\), isto é, a receita total menos o custo total da frota:
\[\begin{aligned}
\partial \Pi / \partial B & = F'(B) - c = 0 & & \text{(CPO: marginal social = custo)} \\[6pt]
100 - B^* & = c & & \\[6pt]
B^* & = 100 - c & &
\end{aligned}\]
A regra é “entrar até que o benefício marginal social\(F'(B)\) iguale o custo \(c\)”.
Passo 3: equilíbrio de livre acesso
Sob livre acesso, cada pescador decide entrar comparando o que ele individualmente captura ao seu custo. Como ninguém detém direito exclusivo sobre o recurso, cada um observa apenas a pesca média\(F(B)/B\), não a externalidade que sua entrada impõe aos demais. A entrada continua enquanto \(F(B)/B > c\) e cessa em:
\[\begin{aligned}
F(B)/B & = c & & \text{(condição de livre acesso)} \\[6pt]
100 - 0{,}5 B & = c & & \\[6pt]
B_{\text{ind}} & = 2 (100 - c) = 2 B^* & & \text{(dobro do ótimo social)}
\end{aligned}\]
A renda total no equilíbrio de livre acesso é \(\Pi(B_{\text{ind}}) = F(B_{\text{ind}}) - c B_{\text{ind}}\). Pela condição de livre acesso \(F(B_{\text{ind}})/B_{\text{ind}} = c\), temos \(F(B_{\text{ind}}) = c B_{\text{ind}}\), e portanto
\[\boxed{\Pi(B_{\text{ind}}) = 0 \quad \text{(toda a renda é dissipada)}.}\]
Passo 4: comparação numérica (\(c = 30\))
Cenário
\(B\)
\(F(B)\)
\(\Pi = F - cB\)
Renda por barco
Ótimo social (\(B^* = 100 - c\))
\(70\)
\(4550\)
\(2450\)
\(35\)
Livre acesso (\(B_{\text{ind}} = 2 B^*\))
\(140\)
\(4200\)
\(0\)
\(0\)
Sob livre acesso há mais barcos (\(+100\%\)), menos peixe capturado (\(-7{,}7\%\), porque o estoque é sobre-explorado) e renda zero (toda a renda da pescaria foi consumida em custos de operação).
Passo 5: caso extremo (sem custo de operação, \(c = 0\))
Se a entrada não tem custo monetário relevante (pesca artesanal, recurso de fácil acesso):
Esse é o limite da tragédia: na ausência de custo de entrada, o livre acesso leva à extinção do estoque. \(B = 200\) é o ponto em que a frota inteira não consegue mais capturar nada; o recurso foi destruído. Por isso a tragédia dos comuns é tipicamente associada a recursos com custo de entrada baixo relativo ao seu valor (pescas costeiras artesanais, florestas de uso livre, pastos não-cercados).
Conexão com o jogo \(2 \times 2\). O caso contínuo acima tem a mesma estrutura de incentivo do dilema do prisioneiro: a estratégia dominante “entrar” leva ao equilíbrio de Nash \((B_{\text{ind}}, B_{\text{ind}}, \ldots)\), enquanto a coordenação cooperativa selecionaria \((B^*, B^*, \ldots)\). A diferença é que o modelo contínuo torna explícita a dissipação de renda, efeito quantitativo invisível em uma matriz \(2 \times 2\) binária.
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# F(B) total / pesca marginalcor2 <-"firebrick"# pesca médiacor3 <-"forestgreen"# ótimo social B*cor4 <-"darkorange"# livre acesso B_indc_unit <-30B_otimo <-100- c_unitB_ind <-2* (100- c_unit)B_msy <-100F_otimo <-100* B_otimo -0.5* B_otimo^2F_ind <-100* B_ind -0.5* B_ind^2F_msy <-100* B_msy -0.5* B_msy^2fmt_br <-function(x, n =2) gsub("\\.", ",", sprintf(paste0("%.", n, "f"), x))x_seq <-seq(0, 200, length.out =250)df_total <-data.frame(B = x_seq, F_total =100* x_seq -0.5* x_seq^2)tema_padrao <-theme_minimal(base_size =16) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom")# === Painel 1: pesca total F(B) ===p1 <-ggplot(df_total, aes(x = B, y = F_total)) +geom_line(color = cor1, linewidth =1.4) +geom_segment(aes(x = B_otimo, y =0, xend = B_otimo, yend = F_otimo),linetype ="dashed", color = cor3) +geom_segment(aes(x = B_msy, y =0, xend = B_msy, yend = F_msy),linetype ="dashed", color ="gray50") +geom_segment(aes(x = B_ind, y =0, xend = B_ind, yend = F_ind),linetype ="dashed", color = cor4) +geom_point(aes(x = B_otimo, y = F_otimo), color = cor3, size =4) +geom_point(aes(x = B_msy, y = F_msy), color ="black", size =4) +geom_point(aes(x = B_ind, y = F_ind), color = cor4, size =4) +annotate("text", x = B_otimo -5, y = F_otimo +350,label =TeX(sprintf(r"($F(B^*) = %s$)", fmt_br(F_otimo, 0))),color = cor3, fontface ="bold", size =5, hjust =0.5) +annotate("text", x = B_msy , y = F_msy +350,label =TeX(sprintf(r"(Rend. máx. sust. $= %s$)", fmt_br(F_msy, 0))),fontface ="bold", size =5, hjust =0.5) +annotate("text", x = B_ind +8, y = F_ind +350,label =TeX(sprintf(r"($F(B_{ind}) = %s$)", fmt_br(F_ind, 0))),color = cor4, fontface ="bold", size =5, hjust =0.5) +scale_x_continuous(limits =c(0, 200), expand =c(0, 0),breaks =c(0, B_otimo, B_msy, B_ind, 200),labels =c("0",TeX(r"($B^*=70$)"),TeX(r"($B_{rms}=100$)"),TeX(r"($B_{ind}=140$)"),"200") ) +scale_y_continuous(limits =c(0, 5800), expand =c(0, 0)) +labs(x ="número de barcos (B)", y ="pesca total",title =TeX(r"(Pesca total: $F(B) = 100 B - 0{,}5 B^2$)")) + tema_padrao# === Painel 2: pesca marginal vs. média (vs. custo) ===df_long <-data.frame(B =rep(x_seq, 2),valor =c(100- x_seq, 100-0.5* x_seq),curva =factor(rep(c("marginal", "media"), each =length(x_seq)),levels =c("marginal", "media")))p2 <-ggplot(df_long, aes(x = B, y = valor, color = curva)) +geom_line(linewidth =1.4) +geom_hline(yintercept = c_unit, linetype ="dashed", color ="black", linewidth =0.8) +geom_point(aes(x = B_otimo, y = c_unit), color = cor3, size =4, inherit.aes =FALSE) +geom_point(aes(x = B_ind, y = c_unit), color = cor4, size =4, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x =198, y = c_unit +4,label =TeX(sprintf(r"(custo $c = %d$)", c_unit)),hjust =1, size =5, fontface ="bold") +annotate("text", x = B_otimo, y = c_unit +12,label =TeX(r"($B^* = 70$)"),color = cor3, fontface ="bold", hjust =0.5, size =5.5) +annotate("text", x = B_ind, y = c_unit +12,label =TeX(r"($B_{ind} = 140$)"),color = cor4, fontface ="bold", hjust =0.5, size =5.5) +scale_color_manual(values =c("marginal"= cor1, "media"= cor2),labels =c(TeX(r"($F'(B) = 100 - B$ — marginal)"),TeX(r"($F(B)/B = 100 - 0{,}5 B$ — média)")) ) +scale_x_continuous(limits =c(0, 200), expand =c(0, 0),breaks =c(0, B_otimo, B_ind, 200) ) +coord_cartesian(ylim =c(0, 110)) +labs(x ="número de barcos (B)", y ="valor por barco",title =TeX(r"(Marginal vs. média: livre acesso entra até $F(B)/B = c$)"),color =NULL) + tema_padraop1 + p2
Painel esquerdo: a pesca total \(F(B)\) é parábola côncava; máximo no Rendimento Máximo Sustentável (\(B = 100\), \(F = 5000\)). Em \(B^* = 70\) (ótimo social com \(c = 30\)), a pesca já está perto do máximo. Em \(B_{\text{ind}} = 140\) (livre acesso), a frota ultrapassa o Rendimento Máximo Sustentável e captura menos que em \(B^*\).
Painel direito: a tragédia em uma figura. A pesca marginal\(F'(B)\) é o que cada barco contribui ao agregado; a pesca média\(F(B)/B\) é o que cada barco efetivamente pega. Sob livre acesso, cada pescador entra olhando para a média (sua captura), e a entrada cessa em \(B_{\text{ind}}\). O planejador entraria olhando para a marginal, em \(B^*\). A diferença (\(B_{\text{ind}} - B^* = 70\) barcos a mais) é a dissipação de renda.
Interpretação
A tragédia dos comuns é uma falha de coordenação decorrente da ausência de direitos exclusivos sobre o recurso. As soluções discutidas no capítulo aparecem aqui:
Privatização (Coase, Note 15.3): atribuir direitos de pesca individuais (cotas individuais transferíveis, ITQs). Funciona bem quando o recurso pode ser delimitado e monitorado.
Regulação pública (Pigou ou cap-and-trade, Note 15.5 e Note 15.7): taxar barcos ou instituir um teto agregado de captura (TAC) com licenças negociáveis.
Autogovernança (Ostrom, Note 15.9): instituições locais (cooperativas pesqueiras, regras costumeiras de uso) que internalizam a externalidade via monitoramento e sanções entre os próprios usuários.
Os recursos comuns caracterizados em Note 15.8 são o foco aqui. A pergunta é: dado que a tragédia previa colapso inevitável, como tantas comunidades de fato gerenciam comuns por séculos sem privatização nem Estado central forte?
A “tese da contribuição zero”. A teoria padrão da ação coletiva, formalizada por Olson (1965), dizia que indivíduos racionais e auto-interessados não contribuem para bens públicos a menos que sejam coagidos. O dilema do prisioneiro do callout Note 15.8 é a representação canônica dessa tese.
A contradição empírica. Décadas de trabalho de campo e experimentos de laboratório mostram que a tese contradiz a realidade (Ostrom, 1990, 2000). Em comunidades reais, monitorar e sancionar são investimentos voluntários. Em laboratório, contribuições iniciais para bens públicos ficam tipicamente entre 40% e 60% da dotação, não zero. Comunicação face-a-face produz aumentos substanciais e duradouros de cooperação, e sujeitos gastam recursos próprios para punir contribuintes abaixo da média, mesmo sem ganho material direto. A teoria precisava ser reformulada.
Tipos de agentes em ação coletiva
Ostrom (2000) propõe que a explicação está em uma população heterogênea de tipos comportamentais:
Egoístas racionais: agentes da teoria clássica; sempre defectam (contribuição zero).
Cooperadores condicionais: cooperam se esperam que os demais cooperem; reduzem sua contribuição quando observam free-riders.
Punidores dispostos: gastam recursos próprios para sancionar quem não coopera, mesmo sem ganho material direto.
A interação entre esses tipos, mais a informação sobre quem é quem, determina se a cooperação se sustenta. Em arranjos locais com comunicação rica e repetição, cooperadores condicionais e punidores prosperam; em ambientes anônimos e de interação única, a população converge para o equilíbrio de egoístas racionais.
Os 8 princípios de design (Ostrom 1990)
A partir de centenas de estudos de caso de comunidades reais, Ostrom (1990) identificou 8 princípios que aparecem repetidamente em arranjos bem-sucedidos:
#
Princípio
1
Limites bem definidos: quem pode usar o recurso e quais são as fronteiras físicas.
2
Regras adaptadas às condições locais (tempo, espaço, tecnologia, quantidade).
3
Decisões coletivas com participação dos usuários afetados pelas regras.
4
Monitoramento por usuários ou por agentes responsáveis perante eles.
5
Sanções graduais: punições proporcionais à gravidade e reincidência.
6
Mecanismos de resolução de conflitos baratos e rápidos.
7
Reconhecimento mínimo do direito de auto-organização pelas autoridades externas.
8
Empresas aninhadas: governança em camadas para recursos extensos (locais, regionais etc.).
A presença simultânea dos 8 princípios não garante sucesso, mas a ausência de vários deles correlaciona-se com colapso do recurso.
Fatores que reforçam vs. fatores que minam a cooperação local
Os 8 princípios e a evidência experimental convergem para dois conjuntos opostos de fatores. Arranjos locais sobrevivem onde os primeiros prevalecem; tendem ao colapso onde os segundos dominam.
Reforçam a cooperação local
Minam a cooperação local
Comunicação face-a-face entre usuários
Interações anônimas, sem comunicação
Repetição e horizonte longo de interação
Interações únicas (one-shot)
Grupo pequeno; conhecimento mútuo
Grupos grandes; rotatividade alta
Capacidade de sancionar (graduada e barata)
Ausência de mecanismos de sanção
Informação sobre o tipo de cada participante
Anonimato sobre comportamento passado
Direitos de uso reconhecidos pelas autoridades
Imposição externa que solapa a autoridade local
Heterogeneidade com cooperadores condicionais e punidores
População dominada por egoístas racionais
A intuição econômica é direta: arranjos locais sobrevivem onde (i) há informação suficiente para identificar quem desvia, (ii) existe expectativa de que a interação se repetirá, e (iii) há mecanismos baratos de punição. Quebrar qualquer um desses pilares (anonimato, transação única, impossibilidade de sancionar) empurra o equilíbrio de volta para a tragédia.
Interpretação
O contraste com Hardin é metodológico: ele tratou o commons como um cenário abstrato sem instituições; Ostrom partiu de comunidades reais com regras locais explícitas. A lição é que o problema discutido em Note 15.8 admite três classes de solução, não duas:
Autogovernança: instituições locais bem desenhadas, conforme os 8 princípios.
A escolha depende das características do recurso (granularidade, observabilidade), da escala (local × global) e do contexto institucional. A literatura reconhece que combinações são frequentes; manejo florestal comunitário com reconhecimento estatal é um exemplo típico. Regulação externa pode tanto complementar a autogovernança (princípio 7: reconhecimento) quanto destruí-la (quando substitui regras locais legítimas por regras importadas que os usuários não internalizam). Síntese da agenda Ostrom em Capelari, Calmon e Araújo (2017). Ostrom recebeu o Nobel de Economia em 2009 por este programa de pesquisa.
CAPELARI, M. G.; CALMON, P. C. D. P.; ARAÚJO, S. Vincent e Elinor Ostrom: duas confluentes trajetórias para a governança de recursos de propriedade comum. Ambiente & Sociedade, v. 20, n. 1, p. 203–222, 2017.
COASE, R. H. The Problem of Social Cost. Journal of Law and Economics, v. 3, p. 1–44, 1960.
HARDIN, G. The Tragedy of the Commons. Science, v. 162, n. 3859, p. 1243–1248, 1968.
OSTROM, E. Governing the Commons: The Evolution of Institutions for Collective Action. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.
___. Collective action and the evolution of social norms. Journal of economic perspectives, v. 14, n. 3, p. 137–158, 2000.
PERLOFF, J. M. Microeconomics with Calculus, Global Edition. 5. ed. [s.l.] Pearson, 2022.
PIGOU, A. C. The Economics of Welfare. London: Macmillan, 1920.
VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. [s.l.] Elsevier, 2012.
___. Intermediate Microeconomics with Calculus. 1. ed. New York: W. W. Norton & Company, 2014.
