Note 6.1: Função de produção: PMg, PMe e os três estágios de produção
Símbolo
Significado
\(Q\)
quantidade produzida (produto)
\(L\)
quantidade de trabalho (insumo)
\(K\)
quantidade de capital (insumo)
\(Q = f(L, K)\)
função de produção com dois insumos
\(PMg_L = \partial Q/\partial L\)
produto marginal do trabalho
\(PMg_K = \partial Q/\partial K\)
produto marginal do capital
\(PMe_L = Q/L\)
produto médio do trabalho
\(\partial^2 Q/\partial L^2 = 0\)
ponto de inflexão de \(Q\) (máximo de \(PMg\))
\(PMg = 0\)
máximo de \(Q\) (início do estágio III)
Desenvolvimento Teórico
Forma geral. A função de produção \(Q = f(L, K)\) descreve a quantidade máxima de produto obtida a partir de combinações de insumos. É um objeto tecnológico, não econômico, que reflete as possibilidades de transformação dado o estado da arte.
Produto marginal. Derivada parcial de \(Q\) em relação ao insumo variável, mantendo os demais fixos:
Os três estágios da produção. Em uma função típica em formato de S (convexa seguida de côncava, como uma cúbica), a relação entre \(Q\), \(PMg\) e \(PMe\) passa por três fases:
Estágio I (rendimentos marginais crescentes):\(PMg\) e \(PMe\) ambos crescentes. \(Q\) é convexa (acelera). Termina no máximo de \(PMg\), que coincide com o ponto de inflexão de \(Q\).
Estágio II (rendimentos marginais decrescentes):\(PMg\) decresce, ainda positivo. \(PMe\) continua crescendo até seu máximo (onde \(PMg = PMe\)) e depois cai. \(Q\) é côncava. Termina quando \(PMg = 0\), ou seja, no máximo de \(Q\).
Estágio III (rendimentos marginais negativos):\(PMg < 0\). O excesso de trabalho congestiona o capital fixo e reduz o produto total.
Lei dos rendimentos marginais decrescentes. Consequência do estágio II: mantendo \(K\) fixo, a partir de algum \(L^*\) o \(PMg_L\) eventualmente decresce (\(\partial^2 Q/\partial L^2 < 0\)). Fundamento empírico: o insumo fixo torna-se cada vez mais escasso por unidade do insumo variável.
Relação PMg × PMe. Análoga à relação \(CMg \times CMe\) do próximo capítulo:
\(PMg_L > PMe_L \Rightarrow PMe_L\) crescendo
\(PMg_L < PMe_L \Rightarrow PMe_L\) decrescendo
\(PMg_L = PMe_L \Rightarrow PMe_L\) em seu máximo
Região economicamente relevante. Uma firma em concorrência perfeita sempre opera no Estágio II. No Estágio I, \(PMg\) ainda cresce e vale a pena contratar mais trabalho. No Estágio III, \(PMg < 0\) e vale dispensar trabalho sem perda de produto.
Exercício Resolvido
Considere \(Q(L) = 6 L^2 - \dfrac{L^3}{3}\) no curto prazo, com \(K = 10\) fixo (valor implícito nos coeficientes 6 e \(1/3\)). Essa forma cúbica reproduz a figura 6.1 de Pindyck e Rubinfeld (2013), com os três estágios clássicos.
Passo 1: calcular o produto marginal do trabalho
\[\begin{aligned}
PMg_L &= \frac{dQ}{dL} = \frac{d}{dL}\left(6L^2 - \frac{L^3}{3}\right) & & \text{definição de } PMg_L \\[6pt]
&= 12 L - L^2 & & \text{regra da potência termo a termo} \\[6pt]
&= L(12 - L) & & \text{fatorando}
\end{aligned}\]
\[\boxed{PMg_L = 12 L - L^2}\]
Passo 2: calcular o produto médio do trabalho
\[\begin{aligned}
PMe_L &= \frac{Q}{L} = \frac{6L^2 - L^3/3}{L} & & \text{definição de } PMe_L \\[6pt]
&= 6 L - \frac{L^2}{3} & & \text{dividindo cada termo por } L
\end{aligned}\]
\[\boxed{PMe_L = 6 L - \frac{L^2}{3}}\]
Passo 3: encontrar o ponto de inflexão de \(Q\) (fim do estágio I)
No ponto de inflexão, \(\partial^2 Q/\partial L^2 = 0\) e \(PMg\) atinge seu máximo.
\[\boxed{Q \text{ máximo em } L = 12, \; Q(12) = 288}\]
Para \(L > 12\), \(PMg < 0\) e \(Q\) decresce: rendimentos marginais negativos.
Valores numéricos para \(L\) inteiros. Substituindo as fórmulas dos Passos 1 e 2 em \(L = 0, 1, 2, \ldots, 14\):
\(L\)
\(K\)
\(Q = 6L^2 - \frac{L^3}{3}\)
\(PMe_L = 6L - \frac{L^2}{3}\)
\(PMg_L = 12L - L^2\)
Estágio
0
10
0,00
—
0
1
10
5,67
5,67
11
I
2
10
21,33
10,67
20
I
3
10
45,00
15,00
27
I
4
10
74,67
18,67
32
I
5
10
108,33
21,67
35
I
6
10
144,00
24,00
36
I \(\to\) II (máx \(PMg\))
7
10
179,67
25,67
35
II
8
10
213,33
26,67
32
II
9
10
243,00
27,00
27
II (máx \(PMe\), \(PMg = PMe\))
10
10
266,67
26,67
20
II
11
10
282,33
25,67
11
II
12
10
288,00
24,00
0
II \(\to\) III (máx \(Q\))
13
10
281,67
21,67
\(-13\)
III
14
10
261,33
18,67
\(-28\)
III
Os três pontos em destaque (\(L = 6, 9, 12\)) correspondem às transições calculadas nos Passos 3, 4 e 5. Observação: \(PMg_L\) usa a fórmula contínua \(12L - L^2\) (derivada), não a variação discreta \(\Delta Q/\Delta L\) entre linhas adjacentes.
Três estágios visíveis no gráfico. A forma cúbica reproduz a figura 6.1 de Pindyck (2013):
Estágio I (\(0 < L < 6\)): \(Q\) acelera (convexa). \(PMg\) sobe, refletindo especialização e melhor aproveitamento do capital fixo. \(PMe\) também sobe.
Estágio II (\(6 < L < 12\)): \(Q\) continua crescendo mas desacelera (côncava). \(PMg\) cai, cruza \(PMe\) em \(L = 9\) (onde \(PMe\) é máximo) e chega a zero em \(L = 12\).
Estágio III (\(L > 12\)): o excesso de trabalho congestiona o capital fixo. \(PMg < 0\) e \(Q\) cai.
Ponto de inflexão de \(Q\) em \(L = 6\). É onde \(PMg\) é máximo e a concavidade de \(Q\) muda. A lei dos rendimentos marginais decrescentes passa a valer a partir deste ponto.
\(PMg = PMe\) no máximo de \(PMe\). Enquanto \(PMg > PMe\), o trabalhador marginal contribui mais que a média e puxa \(PMe\) para cima. Quando \(PMg < PMe\), o marginal contribui menos que a média e \(PMe\) cai. A interseção em \(L = 9\) marca exatamente essa transição.
Região economicamente relevante. É o Estágio II (\(6 \leq L \leq 12\)). No Estágio I, \(PMg\) ainda cresce, então contratar mais trabalho aumenta a produtividade marginal. No Estágio III, \(PMg < 0\) significa que reduzir trabalho aumenta o produto total. A escolha ótima dentro do Estágio II depende do salário e do preço do produto (ver custos e maximização de lucro).
Note 6.2: Segunda derivada de \(Q\) e a lei dos rendimentos decrescentes
Símbolo
Significado
\(f'(L) = PMg_L\)
primeira derivada de \(Q\): produto marginal
\(f''(L) = dPMg/dL\)
segunda derivada de \(Q\): inclinação do \(PMg\)
\(f'' > 0\)
rendimentos marginais crescentes (Estágio I)
\(f'' < 0\)
rendimentos marginais decrescentes (Estágios II e III)
\(f'' = 0\)
ponto de inflexão de \(Q\), máximo de \(PMg\)
Desenvolvimento Teórico
Hierarquia de informação. Cada derivada acrescenta um conteúdo econômico distinto:
\(f(L) = Q\): nível do produto.
\(f'(L) = PMg_L\): contribuição marginal do trabalho.
\(f''(L)\): como o \(PMg_L\) varia com \(L\). Sinaliza se os rendimentos marginais são crescentes, constantes ou decrescentes.
Enunciado formal da lei dos rendimentos decrescentes. O Callout 1 enunciou a lei em termos qualitativos. A leitura formal é uma afirmação sobre o sinal de \(f''\):
\[\exists\, L^* \text{ tal que } f''(L) < 0 \text{ para todo } L > L^*\]
No exercício do callout anterior (Note 6.1), esse \(L^*\) é o ponto de inflexão \(L = 6\). À esquerda dele, \(f'' > 0\) (Estágio I); à direita, \(f'' < 0\) (Estágios II e III). A condição \(f'' < 0\) coincide com o critério padrão de concavidade da função: \(Q\) é côncava em \(L\) exatamente nos Estágios II e III.
Esta é a articulação que Nicholson e Snyder (2012, cap. 9, §9.1) usa: diminishing marginal physical productivity é definido por \(f_{LL} < 0\), sem invocar a forma cúbica explícita.
Conexão com o \(PMe\). Da regra geométrica \(dPMe/dL = (PMg - PMe)/L\), segue que no máximo de \(PMe\) (onde \(PMg = PMe\)) o sinal da segunda derivada de \(PMe\) acompanha o sinal de \(f''\). Como \(f'' < 0\) no Estágio II, garante-se que aquele ponto crítico é de fato máximo (CSO satisfeita).
Exercício Resolvido
Continuando com \(Q(L) = 6L^2 - L^3/3\) do callout anterior.
\(L = 6\): \(f''(L) = 0\) (inflexão de \(Q\), máximo de \(PMg\)).
\(L > 6\): \(f''(L) < 0\) (rendimentos marginais decrescentes, Estágios II e III).
A transição I \(\to\) II coincide exatamente com a mudança de sinal de \(f''\). Em valores: \(f''(7) = -2\), \(f''(10) = -8\), \(f''(12) = -12\). A inclinação do \(PMg\) fica progressivamente mais negativa a partir do ponto de inflexão.
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"cor2 <-"firebrick"cor4 <-"darkorange"L <-seq(0, 14, by =0.05)df <-tibble(L = L,Q =6* L^2- L^3/3,PMgL =12* L - L^2,PMeL =ifelse(L ==0, NA, 6* L - L^2/3))Q_inflexao <-6*6^2-6^3/3p1 <-ggplot(df, aes(x = L, y = Q)) +annotate("rect", xmin =0, xmax =6, ymin =-Inf, ymax =Inf,fill = cor1, alpha =0.10) +annotate("rect", xmin =6, xmax =14, ymin =-Inf, ymax =Inf,fill = cor4, alpha =0.10) +geom_vline(xintercept =6, color ="gray50", linetype ="dashed", linewidth =0.6) +geom_line(color = cor1, linewidth =1.2) +geom_point(aes(x =6, y = Q_inflexao), color ="black", size =2.5) +annotate("text", x =3, y =300,label = latex2exp::TeX(r"($f'' > 0$ (convexo))"),size =4.2, color ="gray20") +annotate("text", x =10, y =300,label = latex2exp::TeX(r"($f'' < 0$ (côncavo))"),size =4.2, color ="gray20") +annotate("text", x =6.4, y = Q_inflexao -25,label ="inflexão (L = 6)", size =3.6, hjust =0) +scale_x_continuous(breaks =c(0, 3, 6, 9, 12), limits =c(0, 14),expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, 320), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title = latex2exp::TeX(r"(Concavidade de $Q$ e o ponto de inflexão $L = 6$)"),x =NULL, y ="Q" ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8))p2 <- df |>pivot_longer(cols =c(PMgL, PMeL), names_to ="serie", values_to ="valor") |>ggplot(aes(x = L, y = valor, color = serie)) +annotate("rect", xmin =0, xmax =6, ymin =-Inf, ymax =Inf,fill = cor1, alpha =0.10) +annotate("rect", xmin =6, xmax =14, ymin =-Inf, ymax =Inf,fill = cor4, alpha =0.10) +geom_hline(yintercept =0, color ="gray50", linewidth =0.4) +geom_vline(xintercept =c(6, 9, 12), color ="gray70", linetype ="dashed") +geom_line(linewidth =1.2, na.rm =TRUE) +geom_point(aes(x =6, y =36), color ="black", size =2.5, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x =6.4, y =39,label ="(6, 36) máx PMg", size =3.6, hjust =0) +scale_color_manual(values =c(PMgL = cor2, PMeL = cor1),labels =c(PMgL = latex2exp::TeX(r"($PMg_L$)"),PMeL = latex2exp::TeX(r"($PMe_L$)")) ) +scale_x_continuous(breaks =c(0, 3, 6, 9, 12), limits =c(0, 14),expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(expand =expansion(mult =c(0.05, 0.05))) +labs(title = latex2exp::TeX(r"(Produto marginal: máximo em $L = 6$ coincide com a inflexão de $Q$)"),x ="L", y =NULL, color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )p1 / p2
Interpretação
\(f''\) define os estágios. A passagem do Estágio I para o II é a passagem de \(f'' > 0\) para \(f'' < 0\). A lei dos rendimentos decrescentes é, formalmente, um enunciado sobre o sinal de \(f''\) a partir de algum nível de uso do insumo variável.
Concavidade de \(Q\). A região onde \(f'' < 0\) é exatamente a região onde \(Q\) é côncava. Os Estágios II e III juntos correspondem ao trecho côncavo da função de produção; o Estágio I, ao trecho convexo.
Ligação com a função custo. No curto prazo, com \(w\) constante, \(CMg = w/PMg_L\). Logo:
O sinal de \(dCMg/dL\) é o oposto de \(f''\). No Estágio II (\(f'' < 0\)), \(CMg\) é crescente em \(L\) (e em \(q\)): a região decrescente do \(PMg\) é exatamente a região crescente do \(CMg\), e é nela que a firma decide produzir. Esse vínculo é desenvolvido no capítulo seguinte (ver custos).
Isoquanta. Curva no plano \((L, K)\) que conecta combinações de insumos produzindo exatamente \(\bar Q\). Propriedades análogas às curvas de indiferença: inclinação negativa, não se cruzam, convexas em relação à origem (sob a hipótese de TMST decrescente).
Derivação da TMST via diferencial total. Ao longo de uma isoquanta, \(dQ = 0\):
\[\begin{aligned}
dQ &= \frac{\partial f}{\partial L} dL + \frac{\partial f}{\partial K} dK = 0 & & \text{diferencial total de } f \\[6pt]
PMg_L \cdot dL + PMg_K \cdot dK &= 0 & & \text{usando a notação dos PMg's} \\[6pt]
\frac{dK}{dL} &= -\frac{PMg_L}{PMg_K} & & \text{isolando } dK/dL
\end{aligned}\]
Interpretação. Quantas unidades de capital precisam ser reduzidas para compensar o aumento de uma unidade de trabalho, mantendo \(Q\) constante. Se \(PMg_L\) é alto e \(PMg_K\) é baixo, uma pequena redução de \(K\) é suficiente para compensar o aumento de \(L\): TMST elevada.
Convexidade (TMST decrescente). Ao caminhar sobre a isoquanta aumentando \(L\) e reduzindo \(K\), \(PMg_L\) cai (retornos decrescentes em \(L\)) e \(PMg_K\) sobe (capital escasseando): razão \(PMg_L/PMg_K\) diminui. Isso torna a isoquanta convexa: a firma tem ganhos em diversificar insumos em vez de especializar em apenas um.
Exercício Resolvido
Dada \(Q = L^{1/2} K^{1/2}\) (Cobb-Douglas com \(\alpha = \beta = 1/2\)), encontrar a TMST em um ponto genérico e avaliá-la em \((L, K) = (4, 9)\).
Passo 1: calcular os produtos marginais
\[\begin{aligned}
PMg_L &= \frac{\partial}{\partial L}\left(L^{1/2} K^{1/2}\right) = \tfrac{1}{2} L^{-1/2} K^{1/2} & & \text{derivada parcial em } L \\[6pt]
PMg_K &= \frac{\partial}{\partial K}\left(L^{1/2} K^{1/2}\right) = \tfrac{1}{2} L^{1/2} K^{-1/2} & & \text{derivada parcial em } K
\end{aligned}\]
Para uma Cobb-Douglas \(Q = L^\alpha K^\beta\), a TMST tem forma geral \(TMST = \dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{K}{L}\). Como \(\alpha = \beta = 1/2\), \(\alpha/\beta = 1\) e a TMST reduz-se a \(K/L\).
Passo 3: avaliar em \((L, K) = (4, 9)\)
\[TMST(4, 9) = \frac{9}{4} = 2{,}25\]
No ponto \((4, 9)\) da isoquanta \(\bar Q = \sqrt{4 \cdot 9} = 6\), reduzir 1 unidade de \(L\) exige compensar com 2,25 unidades adicionais de \(K\) para manter \(Q = 6\).
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"# Três isoquantas de Q = sqrt(L*K): Q = 4, 6, 8# Isolando K: K = Q^2 / LL_grid <-seq(0.5, 20, by =0.1)df_iso <-bind_rows(tibble(L = L_grid, K =4^2/ L_grid, Q ="Q = 4"),tibble(L = L_grid, K =6^2/ L_grid, Q ="Q = 6"),tibble(L = L_grid, K =8^2/ L_grid, Q ="Q = 8"))ggplot(df_iso, aes(x = L, y = K, color = Q)) +geom_line(linewidth =1.1) +geom_point(data =tibble(L =4, K =9, Q ="Q = 6"),aes(x = L, y = K), size =3, color = cor1, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x =4.5, y =9.8, label ="(4, 9)", size =4) +scale_color_manual(values =c("gray70", cor1, "gray40")) +scale_x_continuous(limits =c(0, 20), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, 20), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title = latex2exp::TeX(r"(Isoquantas de $Q = \sqrt{LK}$)"),x ="L (trabalho)", y ="K (capital)", color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )
Interpretação
Convexidade visível. As três isoquantas são convexas em relação à origem, refletindo TMST decrescente: ao caminhar para a direita (aumentando \(L\)), a isoquanta se achata (TMST cai).
Níveis mais altos, mais insumos. Isoquantas mais distantes da origem correspondem a \(Q\) maior: produzir mais exige mais de pelo menos um insumo.
Ponto \((4, 9)\). Na isoquanta \(Q = 6\), este ponto tem \(TMST = 9/4 = 2{,}25\). Geometricamente, a reta tangente à isoquanta em \((4, 9)\) tem inclinação \(-2{,}25\).
Definição formal. Uma função de produção tem rendimentos constantes de escala (RCE) se, ao multiplicar todos os insumos por \(t > 0\), o produto também é multiplicado por \(t\):
\[f(tL, tK) = t \cdot f(L, K)\]
Mais geralmente, \(f\) é homogênea de grau \(n\) se \(f(tL, tK) = t^n f(L, K)\):
\(n > 1\): rendimentos crescentes (dobrar insumos mais que dobra o produto)
\(n = 1\): rendimentos constantes
\(n < 1\): rendimentos decrescentes (dobrar insumos menos que dobra o produto)
Homogeneidade × rendimentos marginais. Não confundir: rendimentos marginais dizem respeito a variar um insumo mantendo outros fixos; rendimentos de escala dizem respeito a variar todos os insumos proporcionalmente. Uma Cobb-Douglas \(Q = L^\alpha K^\beta\) pode ter rendimentos marginais decrescentes em \(L\) (\(\alpha < 1\)) e ainda assim RCE (\(\alpha + \beta = 1\)).
Teste rápido de homogeneidade. Substituir \((L, K)\) por \((tL, tK)\) e verificar se \(t\) fatora:
\[\boxed{\text{grau de homogeneidade} = \alpha + \beta}\]
\(\alpha + \beta = 1\): RCE
\(\alpha + \beta > 1\): crescentes
\(\alpha + \beta < 1\): decrescentes
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"cor2 <-"firebrick"cor3 <-"forestgreen"# Normalização Q(t)/Q(1) isola a curvatura devida ao grau de homogeneidade:# para f homogênea de grau n, Q(t)/Q(1) = t^n, independente de A, L0 e K0.t_vals <-seq(0.5, 4, by =0.1)df <-bind_rows(tibble(t = t_vals, Q_rel = t_vals, tipo ="Linear: RCE (grau 1)"),tibble(t = t_vals, Q_rel = t_vals^0.7, tipo ="CD: decrescentes (grau 0,7)"),tibble(t = t_vals, Q_rel = t_vals^1.2, tipo ="CD: crescentes (grau 1,2)"))ggplot(df, aes(x = t, y = Q_rel, color = tipo)) +geom_line(linewidth =1.2) +geom_point(data =tibble(t =1, Q_rel =1),aes(x = t, y = Q_rel),color ="black", size =2.5, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x =1.15, y =0.82, label ="(1, 1)", size =3.8) +scale_color_manual(values =c("Linear: RCE (grau 1)"= cor1,"CD: decrescentes (grau 0,7)"= cor2,"CD: crescentes (grau 1,2)"= cor3 )) +scale_x_continuous(limits =c(0, NA), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, NA), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title = latex2exp::TeX(r"(Produto normalizado: $Q(tL,tK)/Q(L,K)$)"),x ="t (escalar)",y = latex2exp::TeX(r"($Q(t)/Q(1)$)"),color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )
Interpretação
Curva linear = linha reta, exatamente. A função \(Q = 3L + 2K\) tem rendimentos constantes: \(Q(t) = t \cdot Q(1)\) é uma reta passando pela origem.
Curva crescente = convexa. A CD com \(\alpha + \beta = 1{,}2\) cresce mais rápido que linear: dobrar insumos multiplica \(Q\) por \(2^{1{,}2} \approx 2{,}30\).
Curva decrescente = côncava. A CD com \(\alpha + \beta = 0{,}7\) cresce mais devagar: dobrar insumos multiplica \(Q\) por \(2^{0{,}7} \approx 1{,}62\).
Intuição econômica dos rendimentos crescentes. Podem surgir de: (i) especialização (divisão do trabalho), (ii) geometria de volume/superfície (tanques, canos), (iii) indivisibilidades tecnológicas. Os decrescentes, por sua vez, podem vir de: (i) coordenação mais complexa em escalas maiores, (ii) limites físicos do local de produção.
Trabalho e capital são substitutos perfeitos: uma unidade de capital equivale (em produto) a \(a/b\) unidades de trabalho, independentemente de quanto já se usa de cada insumo.
Elasticidade de substituição \(\sigma \to \infty\). A TMST é constante ao longo da isoquanta (\(\Delta TMST = 0\)), enquanto a razão \(K/L\) pode variar livremente. Pela definição \(\sigma = \%\Delta(K/L) / \%\Delta TMST\), o denominador nulo dá \(\sigma = \infty\). Interpretação: insumos perfeitamente intercambiáveis.
Exercício Resolvido
Considere \(Q = 3L + 2K\). Analisar PMg, TMST, rendimentos de escala, e calcular \(Q\) em \((L, K) = (4, 5)\).
Passo 1: calcular os produtos marginais
\[\begin{aligned}
PMg_L &= \frac{\partial (3L + 2K)}{\partial L} = 3 & & \text{derivada parcial em } L \\[6pt]
PMg_K &= \frac{\partial (3L + 2K)}{\partial K} = 2 & & \text{derivada parcial em } K
\end{aligned}\]
Partindo de \(\bar Q = 3L + 2K\) e isolando \(K\):
\[\begin{aligned}
\bar Q &= 3L + 2K & & \text{isoquanta: } Q \text{ fixo em } \bar Q \\[6pt]
2K &= \bar Q - 3L & & \text{isolando o termo em } K \\[6pt]
K &= \frac{\bar Q}{2} - \frac{3}{2} L & & \text{dividindo por 2}
\end{aligned}\]
\[\boxed{K = \frac{\bar Q}{2} - \frac{3}{2} L}\]
Cada isoquanta é uma reta de inclinação \(-3/2\) com intercepto \(\bar Q/2\) no eixo \(K\).
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"cor2 <-"firebrick"cor3 <-"forestgreen"# Parâmetrosa <-3b <-2# Painel (a): produto total variando L, com K = 5 fixoK_fixo <-5df_Q <-tibble(L =seq(0, 10, by =0.1),Q = a * L + b * K_fixo)p1 <-ggplot(df_Q, aes(x = L, y = Q)) +geom_line(color = cor1, linewidth =1.2) +scale_x_continuous(limits =c(0, NA), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, NA), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title = latex2exp::TeX(r"(Produto total: $Q = 3L + 2K$, $K = 5$)"),x ="L", y ="Q" ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8))# Painel (b): isoquantas Q = 12, 22, 32L_grid <-seq(0, 12, by =0.1)df_iso <-bind_rows(tibble(L = L_grid, K = (12- a * L_grid) / b, Q ="Q = 12"),tibble(L = L_grid, K = (22- a * L_grid) / b, Q ="Q = 22"),tibble(L = L_grid, K = (32- a * L_grid) / b, Q ="Q = 32")) |>filter(K >=0)p2 <-ggplot(df_iso, aes(x = L, y = K, color = Q)) +geom_line(linewidth =1.1) +geom_point(data =tibble(L =4, K =5, Q ="Q = 22"),aes(x = L, y = K), size =3, color = cor1, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x =4.5, y =5.5, label ="(4, 5)", size =4) +scale_color_manual(values =c(cor2, cor1, cor3)) +scale_x_continuous(limits =c(0, 12), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, 18), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title ="Isoquantas: retas paralelas",x ="L", y ="K", color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )p1 + p2
Interpretação
Produto total linear. Com \(K\) fixo em 5, \(Q = 3L + 10\), reta ascendente sem curvatura. Cada unidade adicional de \(L\) entrega exatamente 3 unidades de \(Q\).
Isoquantas paralelas. Como a TMST é constante (\(3/2\)), todas as isoquantas têm a mesma inclinação. Produzir mais \(\bar Q\) desloca a reta para cima sem rotacioná-la.
Implicação econômica dos substitutos perfeitos. Na solução de canto (que será vista em custos), a firma escolhe usar só o insumo mais barato por unidade de produto marginal. Não há ganho em diversificar: basta comparar \(w/a\) com \(r/b\).
Casos realistas. Aproximadamente: energia elétrica comprada de 2 geradoras (substitutos quase perfeitos); funcionários full-time e pares de meio-período (substituição 1:2); milho e trigo como calorias de ração (substituição em proporção calórica).
Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 9, §9.6, caso 1).
Note 6.6: Leontief: proporções fixas
Símbolo
Significado
\(Q = \min\{aL, bK\}\)
proporções fixas
\(a, b > 0\)
coeficientes técnicos
\(K/L = a/b\)
linha de expansão (canto das isoquantas em L)
\(\sigma = 0\)
elasticidade de substituição nula
Desenvolvimento Teórico
Forma geral. A função de Leontief (ou de proporções fixas) é:
\[Q = \min\{aL, bK\}\]
Produção é igual ao menor dos dois termos: o insumo que estiver em falta determina o produto. Analogia: uma receita que exige exatamente 1 mão-de-obra e 2 máquinas; qualquer mão-de-obra acima desse proporção ou qualquer máquina além é desperdício.
Isoquantas em forma de “L”. Cada isoquanta tem um canto em \((L^*, K^*) = (\bar Q/a, \bar Q/b)\). Os ramos horizontal e vertical correspondem a excesso de um dos insumos.
Produtos marginais. Fora do canto, o insumo em excesso tem \(PMg = 0\): aumentá-lo não altera \(Q\). No canto, \(PMg\) é descontínuo.
TMST. Não está definida no canto (descontinuidade). Convenção: \(TMST = 0\) no ramo horizontal (onde aumentar \(L\) não ajuda) e \(TMST \to \infty\) no ramo vertical.
Rendimentos de escala. Escalando por \(t\):
\[\min\{a(tL), b(tK)\} = t \cdot \min\{aL, bK\} = t \cdot Q\]
RCE sempre (grau 1).
Elasticidade de substituição \(\sigma = 0\). Na linha de expansão (onde os dois insumos estão em proporção exata), \(K/L = a/b\) é fixo. Qualquer variação de TMST não altera \(K/L\): \(\Delta(K/L) = 0\), logo \(\sigma = 0\). Insumos não-substituíveis.
Exercício Resolvido
Considere \(Q = \min\{2L, 3K\}\). Calcular \(Q\) em três pontos e desenhar a isoquanta \(\bar Q = 6\).
Ramo vertical (à esquerda do canto): \(L = 3\) (fixo), \(K \geq 2\). Excesso de capital.
Ramo horizontal (acima do canto): \(K = 2\) (fixo), \(L \geq 3\). Excesso de trabalho.
Canto: \((L, K) = (3, 2)\).
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"cor2 <-"firebrick"cor3 <-"forestgreen"# Isoquantas Leontief Q = min{2L, 3K} para Q = 4, 6, 8# Canto: L* = Q/2, K* = Q/3df_leontief <-function(Q, L_max =8) { Lstar <- Q /2 Kstar <- Q /3# Ramo vertical: L = Lstar, K varia de Kstar para cima vert <-tibble(L = Lstar, K =seq(Kstar, 6, by =0.05), Q =paste0("Q = ", Q))# Ramo horizontal: K = Kstar, L varia de Lstar para a direita horiz <-tibble(L =seq(Lstar, L_max, by =0.05), K = Kstar, Q =paste0("Q = ", Q))bind_rows(vert, horiz)}df_iso <-bind_rows(df_leontief(4), df_leontief(6), df_leontief(8))pontos <-tibble(L =c(4, 3, 5),K =c(3, 2, 1),rotulo =c("(4,3): L gargalo", "(3,2): canto", "(5,1): K gargalo"))ggplot(df_iso, aes(x = L, y = K, color = Q)) +geom_line(linewidth =1.1) +geom_point(data = pontos, aes(x = L, y = K), size =3, color = cor2, inherit.aes =FALSE) +geom_text(data = pontos, aes(x = L +0.3, y = K +0.4, label = rotulo),size =3.5, hjust =0, color = cor2, inherit.aes =FALSE) +scale_color_manual(values =c("Q = 4"="gray70", "Q = 6"= cor1, "Q = 8"="gray40")) +scale_x_continuous(limits =c(0, 8), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, 6), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title ="Isoquantas Leontief: Q = min{2L, 3K}",x ="L", y ="K", color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )
Interpretação
Forma de L visível. Cada isoquanta tem um canto nítido; adicionar insumo excedente não eleva \(Q\).
Proporção fixa \(K/L = a/b = 2/3\). No canto, \(K/L = 2/3\): a tecnologia exige capital e trabalho nesta razão. Qualquer outra combinação é ineficiente.
Comparação com substitutos perfeitos. Na linear, insumos são perfeitamente intercambiáveis (\(\sigma = \infty\)); na Leontief, estritamente complementares (\(\sigma = 0\)). Cobb-Douglas (\(\sigma = 1\)) e CES (qualquer \(\sigma\)) estão no meio.
Exemplo clássico. Receita com proporções rígidas: 1 motorista por 1 caminhão; 2 cartuchos de impressora por 1 impressora. Excesso é desperdício imediato.
Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 9, §9.6, caso 3).
Note 6.7: Produção Cobb-Douglas
Símbolo
Significado
\(Q = A L^\alpha K^\beta\)
Cobb-Douglas com parâmetros \(A, \alpha, \beta > 0\)
\(A\)
escala/eficiência técnica
\(\alpha, \beta\)
elasticidades parciais do produto em relação a \(L, K\)
\(\alpha + \beta\)
grau de homogeneidade (rendimentos de escala)
\(TMST = (\alpha/\beta)(K/L)\)
TMST em CD
\(\sigma = 1\)
elasticidade de substituição unitária
Desenvolvimento Teórico
Forma geral.\(Q = A L^\alpha K^\beta\) com \(\alpha, \beta > 0\).
Cresce linearmente com \(K/L\): isoquantas convexas e continuamente inclinadas.
Rendimentos de escala. Como visto no callout 3, \(\alpha + \beta\) é o grau de homogeneidade:
\(\alpha + \beta = 1\): RCE (caso canônico)
\(\alpha + \beta > 1\): crescentes
\(\alpha + \beta < 1\): decrescentes
Elasticidade de substituição \(\sigma = 1\). Prova: a partir de \(TMST = (\alpha/\beta)(K/L)\), tomar log e diferenciar mostra que \(\%\Delta(K/L) = \%\Delta TMST\) exatamente, logo \(\sigma = 1\). O caso Cobb-Douglas é o ponto de fronteira entre “mais fácil substituir” (CES com \(\sigma > 1\)) e “mais difícil” (\(\sigma < 1\)).
Relação com fração da renda. Em problemas de custo e lucro (próximos capítulos), \(\alpha\) será a fração da despesa total gasta com trabalho (e \(\beta\) com capital), propriedade característica da CD.
Exercício Resolvido
Considere \(Q = 10 L^{0{,}5} K^{0{,}5}\). Calcular PMg’s, TMST, classificar rendimentos de escala e calcular \(Q\) em \((L, K) = (4, 9)\).
cor1 <-"dodgerblue"cor2 <-"firebrick"cor3 <-"forestgreen"# Painel (a): produto total em função de L, para 3 níveis de KL_grid <-seq(0, 15, by =0.1)df_Q <-bind_rows(tibble(L = L_grid, Q =10*sqrt(L_grid *4), K ="K = 4"),tibble(L = L_grid, Q =10*sqrt(L_grid *9), K ="K = 9"),tibble(L = L_grid, Q =10*sqrt(L_grid *16), K ="K = 16"))p1 <-ggplot(df_Q, aes(x = L, y = Q, color = K)) +geom_line(linewidth =1.2) +scale_color_manual(values =c("K = 4"= cor3, "K = 9"= cor1, "K = 16"= cor2)) +scale_x_continuous(limits =c(0, NA), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, NA), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title = latex2exp::TeX(r"($Q = 10\sqrt{LK}$ com $K$ fixo)"),x ="L", y ="Q", color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )# Painel (b): isoquantas Q = 30, 60, 90# Isolando K: K = (Q / (10 * sqrt(L)))^2 = Q^2 / (100 * L)L_iso <-seq(1, 20, by =0.1)df_iso <-bind_rows(tibble(L = L_iso, K =30^2/ (100* L_iso), Q ="Q = 30"),tibble(L = L_iso, K =60^2/ (100* L_iso), Q ="Q = 60"),tibble(L = L_iso, K =90^2/ (100* L_iso), Q ="Q = 90"))p2 <-ggplot(df_iso, aes(x = L, y = K, color = Q)) +geom_line(linewidth =1.1) +geom_point(data =tibble(L =4, K =9, Q ="Q = 60"),aes(x = L, y = K), size =3, color = cor1, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x =4.8, y =10, label ="(4, 9)", size =4) +scale_color_manual(values =c(cor3, cor1, cor2)) +scale_x_continuous(limits =c(0, 20), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, 20), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title ="Isoquantas Cobb-Douglas",x ="L", y ="K", color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )p1 + p2
Interpretação
Produto total côncavo. Com \(K\) fixo e \(\alpha < 1\), \(Q(L)\) é côncava (rendimentos marginais decrescentes em \(L\)). Aumentar \(K\) desloca a curva para cima.
Isoquantas hiperbólicas. Na CD, \(K = Q^2/(100 L)\), ou seja, hipérboles retangulares, continuamente convexas.
Ponto \((4, 9)\). Na isoquanta \(Q = 60\), \(TMST = K/L = 9/4 = 2{,}25\) (consistente com o callout 2). Substituir 1 trabalhador exige 2,25 unidades extras de capital.
CD no centro do espectro. Substitutos perfeitos (\(\sigma = \infty\)) → CD (\(\sigma = 1\)) → Leontief (\(\sigma = 0\)). A CD é o benchmark da maioria dos modelos aplicados: fica entre os extremos e tem propriedades algébricas convenientes.
Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 9, §9.6, caso 2).
Note 6.8: Produção CES: elasticidade de substituição constante
Observação sobre \(\rho \to -\infty\). O enunciado formal pede \(\rho \leq 1, \rho \neq 0\). O caso Leontief (\(\sigma = 0\)) é o limite da família quando \(\rho \to -\infty\); valores arbitrariamente negativos aproximam-se desse limite mas o caso exato é tratado separadamente (callout 5).
Exercício Resolvido
Considere três versões CES com \(\gamma = 1\):
\(\rho = 0{,}5\) ⇒ \(\sigma = 2\)
\(\rho = -1\) ⇒ \(\sigma = 0{,}5\)
\(\rho \to 0\) ⇒ \(\sigma = 1\) (Cobb-Douglas)
Passo 1: calcular TMST em \((L, K) = (4, 9)\) para o caso (a), \(\rho = 0{,}5\)
Quanto maior \(\sigma\) (insumos mais substituíveis), menor a TMST em um mesmo ponto: a isoquanta é mais plana.
Implementação em R
Código
cor1 <-"dodgerblue"cor2 <-"firebrick"cor3 <-"forestgreen"# CES simétrica com gamma = 1: Q = (L^rho + K^rho)^(1/rho)# Isolando K: K = (Q^rho - L^rho)^(1/rho)## Para que todas as isoquantas passem pelo ponto (3,3), usamos Q diferente por curva.# No ponto simétrico L = K = 3: Q = (2 * 3^rho)^(1/rho) = 2^(1/rho) * 3# rho = 0.5 => Q = 2^2 * 3 = 12# rho -> 0 => Q = 2 * sqrt(LK) = 6 (limite CD)# rho = -1 => Q = 2^(-1) * 3 = 1.5# Limite rho -> 0 (CD simétrica): Q = 2 * sqrt(LK), logo K = Q^2 / (4L).ces_iso <-function(L, Q, rho) { Krho <- Q^rho - L^rhoifelse(Krho >0, Krho^(1/rho), NA)}L_grid <-seq(1, 15, by =0.05)df_iso <-bind_rows(tibble(L = L_grid, K =ces_iso(L_grid, 12, 0.5),caso ="rho = 0,5 (sigma = 2)"),tibble(L = L_grid, K =6^2/ (4* L_grid),caso ="rho -> 0 (CD, sigma = 1)"),tibble(L = L_grid, K =ces_iso(L_grid, 1.5, -1),caso ="rho = -1 (sigma = 0,5)")) |>filter(!is.na(K), K >0, K <15)ggplot(df_iso, aes(x = L, y = K, color = caso)) +geom_line(linewidth =1.2) +geom_point(aes(x =3, y =3), color ="black", size =3, inherit.aes =FALSE) +annotate("text", x =3.3, y =3.3, label ="(3,3)", size =4) +scale_color_manual(values =c("rho = 0,5 (sigma = 2)"= cor1,"rho -> 0 (CD, sigma = 1)"= cor3,"rho = -1 (sigma = 0,5)"= cor2 )) +scale_x_continuous(limits =c(0, 15), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, 15), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title ="Isoquantas CES: curvas normalizadas para passar por (3, 3)",x ="L", y ="K", color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )
Interpretação
\(\sigma\) determina a curvatura. Isoquantas com \(\sigma\) alto (mais substituíveis) são quase retas; com \(\sigma\) baixo (mais complementares) são quase-L. A CD fica no meio.
Unificação. A CES engloba os três casos estudados (linear, CD, Leontief) como casos-limite. Útil para calibração empírica: estimar \(\rho\) a partir de dados e deixar que o próprio parâmetro decida a curvatura.
Aplicações. Modelos macroeconômicos de crescimento, modelos de equilíbrio geral computável (EGC), análise de substituição energia–capital em modelos climáticos. A CES é o padrão quando se quer flexibilidade sem abandonar homogeneidade.
Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 9, §9.6, caso 4).
Note 6.9: Progresso técnico e contabilidade do crescimento
Símbolo
Significado
\(A(t)\)
fator multiplicativo de progresso técnico
\(q = A(t) f(k, l)\)
função de produção com progresso técnico (Eq 9.52)
\(\theta = G_A\)
taxa constante de crescimento de \(A\) no caso exponencial
\(G_x = (dx/dt)/x\)
taxa proporcional de crescimento de \(x\)
\(e_{q,k} = (\partial q/\partial k)(k/q)\)
elasticidade do produto em relação ao capital
\(e_{q,l} = (\partial q/\partial l)(l/q)\)
elasticidade do produto em relação ao trabalho
PTF (ctfp)
Produtividade Total dos Fatores (PWT, ajustada por capital humano)
Desenvolvimento Teórico
Progresso técnico como deslocamento da isoquanta. A função de produção evolui ao longo do tempo: melhorias tecnológicas, organização e qualidade dos insumos fazem com que a mesma quantidade \(q_0\) passe a ser produzida com menos trabalho e capital. Geometricamente, a isoquanta de \(q_0\) se desloca em direção à origem (Fig 9.5 do Nicholson). Formalmente:
O crescimento do produto é a soma de três componentes: (i) progresso técnico \(G_A\), (ii) acúmulo de capital \(G_k\) ponderado pela elasticidade \(e_{q,k}\), (iii) crescimento do trabalho \(G_l\) ponderado por \(e_{q,l}\). \(G_A\) é o resíduo: o que não é explicado pelo acúmulo de fatores.
Caso Cobb-Douglas com progresso exponencial. Se \(A(t) = A_0 e^{\theta t}\) e \(q = A(t) k^\alpha l^{1-\alpha}\), então via diferenciação logarítmica:
\[\ln q = \ln A_0 + \theta t + \alpha \ln k + (1-\alpha) \ln l\]
Em CD, \(e_{q,k} = \alpha\) e \(e_{q,l} = 1-\alpha\) por RCE, e o resíduo \(G_A\) é exatamente \(\theta\).
Progresso aumentador-de-fator e a não-identificação em CD. Uma forma mais flexível distingue progresso específico de capital (\(\varphi\)) e de trabalho (\(\varepsilon\)):
Mas em Cobb-Douglas isso colapsa pelas propriedades de exponencial:
\[q = A e^{[\alpha\varphi + (1-\alpha)\varepsilon] t} k^\alpha l^{1-\alpha} = A e^{\theta t} k^\alpha l^{1-\alpha}\]
com \(\theta = \alpha\varphi + (1-\alpha)\varepsilon\) (Eq 9.67). A consequência é forte: a partir apenas dos dados de \(q, k, l\), não é possível separar progresso técnico em capital (\(\varphi\)) de progresso técnico em trabalho (\(\varepsilon\)). Para identificá-los, é necessário ou medir qualidade dos insumos diretamente (capital humano, idade do capital), ou abandonar a forma CD.
Exercício Resolvido
Passo 1: aplicação de Solow (1957) ao crescimento dos EUA, 1909-1949 (Eqs 9.60-9.61)
Dados estimados por Solow:
Variável
Valor
\(G_q\)
\(2{,}75\%\) ao ano
\(G_l\)
\(1{,}00\%\) ao ano
\(G_k\)
\(1{,}75\%\) ao ano
\(e_{q,l}\)
\(0{,}65\)
\(e_{q,k}\)
\(0{,}35\)
A partir da Eq 9.59, isolando \(G_A\) e substituindo os dados:
A fração do crescimento atribuída ao progresso técnico é \(G_A / G_q \approx 1{,}50/2{,}75 \approx 54{,}5\%\). Mais da metade do crescimento dos EUA no período veio de mudança tecnológica, não de acúmulo de fatores.
Passo 2: avaliar a Cobb-Douglas em \(t = 0\) e \(t = 20\) (Example 9.4)
Setup: \(q = A_0 e^{\theta t} k^\alpha l^{1-\alpha}\) com \(A_0 = 10\), \(\theta = 0{,}03\), \(\alpha = 0{,}5\). A firma mantém \(k = l = 4\) ao longo do tempo.
Em horizonte longo: \(q(40)/q(0) = e^{G_q \cdot 40} = e^{1{,}10} \approx 3{,}00\). Ou seja, o produto dos EUA cresceu cerca de 200% entre 1909 e 1949, com 54% dessa expansão atribuída ao progresso técnico.
Implementação em R
Parte A. Recriação da Figura 9.5 (deslocamento da isoquanta).
Considere \(q = A \sqrt{kl}\) (CD com \(\alpha = 1/2\)). A isoquanta de nível \(q_0\) é \(kl = (q_0/A)^2\), ou \(k = (q_0/A)^2 / l\). Aumentar \(A\) desloca a isoquanta em direção à origem.
Código
cor1 <-"dodgerblue"cor2 <-"firebrick"q0 <-4A_antes <-1.0A_depois <-1.5isoq <-function(l, A, q) (q / A)^2/ ll <-seq(0.5, 10, by =0.05)df_iso <-bind_rows(tibble(l = l, k =isoq(l, A_antes, q0), tecnologia ="antes (A = 1,0)"),tibble(l = l, k =isoq(l, A_depois, q0), tecnologia ="depois (A = 1,5)"))ggplot(df_iso, aes(x = l, y = k, color = tecnologia)) +geom_line(linewidth =1.2) +scale_color_manual(values =c("antes (A = 1,0)"= cor2,"depois (A = 1,5)"= cor1 )) +scale_x_continuous(limits =c(0, 10), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +scale_y_continuous(limits =c(0, 10), expand =expansion(mult =c(0, 0.05))) +labs(title = latex2exp::TeX(r"(Deslocamento da isoquanta $q_0 = 4$: progresso técnico de $A$)"),x ="L", y ="K", color =NULL ) +theme_minimal(base_size =13) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.8),legend.position ="bottom" )
A curva azul (depois) está mais próxima da origem: o mesmo \(q_0 = 4\) requer menos insumos.
Parte B. Trajetória Cobb-Douglas com \(\theta = 0{,}03\), insumos constantes (Example 9.4).
Insumos constantes (\(k = l = 4\)) ao longo de 20 anos: o produto sai de \(q(0) = 40\) para \(q(20) \approx 72{,}9\). Todo o crescimento é progresso técnico, \(G_q = \theta = 3\%\) ao ano.
Solow 1957 e o status do progresso técnico. O resíduo \(G_A\) não é uma curiosidade contábil. Solow mostrou que ele responde por mais da metade do crescimento dos EUA entre 1909 e 1949. Estudos posteriores confirmaram a magnitude do papel da PTF, embora as causas precisas continuem em aberto: organização, instituições, qualidade dos fatores, P&D.
O que a PTF não é.\(G_A\) é construído como resíduo: tudo o que sobra após contabilizar \(K\) e \(L\). Mede a ignorância tanto quanto a tecnologia. Erros de medida em \(K\) ou \(L\) (por exemplo, ignorar capital humano) inflam ou deflacionam \(G_A\) artificialmente. A série ctfp da PWT já incorpora ajuste por capital humano, atenuando parte desse problema.
Não-identificação em CD. A Eq 9.67 mostra que, em Cobb-Douglas, é impossível separar empiricamente o progresso técnico em capital (\(\varphi\)) do progresso em trabalho (\(\varepsilon\)): ambos somam-se em \(\theta = \alpha\varphi + (1-\alpha)\varepsilon\). Modelos que pretendem separar essas componentes precisam abandonar a CD ou incorporar dados externos sobre qualidade dos insumos.
China e Coreia do Sul. Ganhos expressivos em PTF desde os anos 1980 refletem abertura comercial, ingresso em cadeias globais de valor, aumento da escolaridade, reformas institucionais.
Brasil. Estagnação ou queda da PTF desde aproximadamente 2010 sinaliza dificuldades de inovação, alocação ineficiente de fatores e fragilidades institucionais. Atribuir o problema a falta de capital ou falta de trabalho seria incorreto: os números mostram que o resíduo é o que está pesando.
