Nota 3.1: Axiomas da escolha racional e o conceito de utilidade
Símbolo
Significado
\(A \succ B\)
\(A\) é estritamente preferido a \(B\)
\(A \sim B\)
\(A\) é indiferente a \(B\) (mesma satisfação)
\(A \succeq B\)
\(A\) é pelo menos tão bom quanto \(B\)
\(U: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}\)
função de utilidade, mapeia cestas de bens em números reais
\(U(x, y)\)
utilidade da cesta \((x, y)\) no caso de dois bens
\(\mathbb{R}^n_+\)
conjunto dos vetores com \(n\) componentes não-negativos
\(F(U)\), \(F' > 0\)
transformação monotônica (função crescente aplicada sobre \(U\))
Desenvolvimento Teórico
A teoria do consumidor parte de três axiomas que formalizam o que significa “escolher racionalmente”.
Axioma I: Completude
Para quaisquer duas cestas \(A\) e \(B\), o indivíduo pode sempre afirmar exatamente uma das três relações:
\[A \succ B, \quad B \succ A, \quad \text{ou} \quad A \sim B\]
O consumidor não fica “paralisado pela indecisão”: consegue sempre comparar duas alternativas.
Axioma II: Transitividade
Se \(A \succ B\) e \(B \succ C\), então \(A \succ C\). As escolhas são internamente consistentes. Sem transitividade, seria possível explorar o consumidor em ciclos de trocas infinitas: vendendo \(C\) por \(B\), depois \(B\) por \(A\), depois \(A\) por \(C\), e assim por diante, extraindo recursos indefinidamente.
Axioma III: Continuidade
Se \(A \succ B\), então cestas “suficientemente próximas” a \(A\) também são preferidas a \(B\). Este axioma técnico garante que pequenas mudanças em quantidades ou preços levam a pequenas mudanças nas escolhas, viabilizando a análise com funções contínuas.
Quando esses três axiomas são satisfeitos, é possível demonstrar que existe uma função de utilidade \(U(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) que representa as preferências do consumidor, no sentido de que:
\[A \succ B \iff U(A) > U(B), \qquad A \sim B \iff U(A) = U(B)\]
Uma função de utilidade é um mapeamento \(U: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}\) tal que, para quaisquer duas cestas \(A = (x_1^A, \ldots, x_n^A)\) e \(B = (x_1^B, \ldots, x_n^B)\):
A função de utilidade tem natureza ordinal: o que importa é a ordenação, não a magnitude dos números. Qualquer transformação monotônica \(F(U)\) com \(F'(U) > 0\) preserva a ordenação e representa as mesmas preferências.
Por exemplo, dado \(U(x,y) = xy\):
\(V(x,y) = \ln(xy) = \ln x + \ln y\) representa as mesmas preferências, pois \(\ln(\cdot)\) é estritamente crescente.
\(W(x,y) = (xy)^2 = x^2 y^2\) também representa as mesmas preferências para \(U > 0\), pois \((\cdot)^2\) é estritamente crescente no domínio positivo.
Isso significa que não há sentido em dizer que uma cesta “gera o dobro de utilidade” que outra: só podemos afirmar que é preferida, indiferente ou preterida.
Exercício Resolvido
Considere três cestas compostas por alimento (\(x\)) e vestuário (\(y\)). Verifique que as funções \(U\), \(V\) e \(W\) produzem a mesma ordenação.
Cesta
\(x\)
\(y\)
\(U = xy\)
\(V = \ln(xy)\)
\(W = (xy)^2\)
A
4
3
\(4 \times 3 = 12\)
\(\ln(12) = 2{,}48\)
\(12^2 = 144\)
B
2
6
\(2 \times 6 = 12\)
\(\ln(12) = 2{,}48\)
\(12^2 = 144\)
C
1
4
\(1 \times 4 = 4\)
\(\ln(4) = 1{,}39\)
\(4^2 = 16\)
Comparando os valores dentro de cada coluna (\(U\), \(V\) ou \(W\)), as três funções produzem a mesma ordenação: \(A \sim B \succ C\).
Passo 2: verificar a ordenação
Todas as três funções produzem a mesma ordenação: \(A \sim B \succ C\). As cestas A e B são indiferentes entre si e ambas são preferidas à cesta C.
Passo 3: verificar a monotonicidade das transformações
\(V = \ln(U)\): a derivada é \(dV/dU = 1/U > 0\) para \(U > 0\). Logo, \(V\) é estritamente crescente em \(U\).
\(W = U^2\): a derivada é \(dW/dU = 2U > 0\) para \(U > 0\). Logo, \(W\) é estritamente crescente em \(U\) no domínio relevante.
Ambas as transformações preservam a ordenação, confirmando que representam as mesmas preferências.
Implementação em R
Código
suppressPackageStartupMessages({library(ggplot2)library(dplyr)library(latex2exp)})# Ponto de referência: cesta A = (4, 3)x_star <-2.5y_star <-2# Triângulo "Preferido a (x*, y*)" no quadrante NEtri_df <-data.frame(x =c(x_star, x_star, 8),y =c(y_star, 6, y_star))ggplot2::ggplot() +# Triângulo sombreado: preferido ggplot2::geom_polygon(data = tri_df, ggplot2::aes(x = x, y = y),fill ="#b8cfe0", alpha =0.6 ) +# Linhas sólidas nos limites do ponto de referência ggplot2::geom_segment( ggplot2::aes(x = x_star, y = y_star, xend = x_star, yend =6),color ="gray30", linewidth =0.8 ) + ggplot2::geom_segment( ggplot2::aes(x = x_star, y = y_star, xend =8, yend = y_star),color ="gray30", linewidth =0.8 ) +# Linhas tracejadas até os eixos ggplot2::geom_segment( ggplot2::aes(x = x_star, y =0, xend = x_star, yend = y_star),linetype ="dashed", color ="gray50" ) + ggplot2::geom_segment( ggplot2::aes(x =0, y = y_star, xend = x_star, yend = y_star),linetype ="dashed", color ="gray50" ) +# Rótulos dos quadrantes ggplot2::annotate("text", x =6, y =4.5, label ="Preferido a\n(x*, y*)",size =4.5, color ="gray20", fontface ="bold") + ggplot2::annotate("text", x =1.5, y =1.2, label ="Pior que\n(x*, y*)",size =4.5, color ="gray20", fontface ="bold") + ggplot2::annotate("text", x =2, y =4.5, label ="?",size =7, color ="gray40") + ggplot2::annotate("text", x =6, y =1.5, label ="?",size =7, color ="gray40") +# Ponto de referência ggplot2::geom_point( ggplot2::aes(x = x_star, y = y_star),size =4, color ="black" ) +# Rótulos nos eixos ggplot2::annotate("text", x = x_star, y =-0.25, label ="x*", size =4.5) + ggplot2::annotate("text", x =-0.3, y = y_star, label ="y*", size =4.5) + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0),limits =c(-0.5, 8.5),breaks =NULL ) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0),limits =c(-0.5, 6.5),breaks =NULL ) + ggplot2::labs(x = latex2exp::TeX(r"(Quantidade de $x$)"),y = latex2exp::TeX(r"(Quantidade de $y$)") ) + ggplot2::theme_minimal() + ggplot2::theme(axis.line = ggplot2::element_line(color ="black", linewidth =0.8),panel.grid = ggplot2::element_blank(),axis.text = ggplot2::element_blank(),axis.ticks = ggplot2::element_blank() )
Interpretação
O gráfico ilustra o princípio de que “mais é melhor” (monotonicidade fraca): qualquer cesta com mais de ambos os bens é preferida ao ponto de referência \(A\), enquanto qualquer cesta com menos de ambos é pior. As regiões superior-esquerda e inferior-direita são ambíguas porque contêm mais de um bem e menos do outro, e a ordenação depende das preferências específicas do consumidor.
Utilidade ordinal versus cardinal: a função de utilidade informa apenas a ordenação das cestas, não a intensidade da preferência. Dizer que \(U(A) = 12\) e \(U(C) = 4\) não significa que A é “três vezes melhor” que C, mas apenas que A é preferido a C.
Limitações dos axiomas: preferências lexicográficas (por exemplo, sempre preferir mais \(x\), independentemente de \(y\)) satisfazem completude e transitividade, mas violam continuidade, e portanto não admitem representação por função de utilidade contínua. (Nicholson e Snyder, 2012)
Nota 3.2: Formalização avançada: relações de preferência
Este box apresenta as definições formais de preferências usadas em livros de nível avançado (mestrado/doutorado), seguindo a notação e estrutura de Jehle e Reny (2011). O objetivo é mostrar como os mesmos conceitos do Note 3.1 são expressos com maior rigor matemático.
Notação e ambiente
Símbolo
Significado
\(X = \mathbb{R}^n_+\)
conjunto de consumo: todas as cestas com \(n\) bens e quantidades não-negativas
\(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\)
uma cesta de consumo (vetor em \(\mathbb{R}^n_+\))
\(\succeq\)
relação de preferência fraca (“pelo menos tão bom quanto”)
\(\succ\)
preferência estrita (derivada de \(\succeq\))
\(\sim\)
indiferença (derivada de \(\succeq\))
\(\not\succeq\)
“não é pelo menos tão bom quanto” (negação de \(\succeq\))
\(\iff\)
“se e somente se” (equivalência lógica)
\(\in\)
“pertence a” (elemento de um conjunto)
\(\subseteq\)
“está contido em” (subconjunto)
\(\geq\), \(\gg\)
\(\geq\): cada componente pelo menos igual; \(\gg\): todos estritamente maiores
\(\forall\)
“para todo”
\(u: X \to \mathbb{R}\)
função que mapeia cestas (\(X\)) em números reais (\(\mathbb{R}\))
Conjunto de consumo
O ponto de partida é o conjunto de consumo \(X\), que representa todas as cestas concebíveis pelo consumidor. Formalmente (Jehle e Reny, 2011):
\(\mathbf{0} \in X\) (é possível não consumir nada)
Na prática, assumimos \(X = \mathbb{R}^n_+\) (o conjunto de todos os vetores com \(n\) componentes não-negativos, ou seja, todas as cestas possíveis com quantidades \(\geq 0\)).
Relação de preferência: a primitiva
A relação de preferência \(\succeq\) é uma relação binária sobre \(X\): para cada par de cestas \(\mathbf{x}^1, \mathbf{x}^2 \in X\), podemos perguntar se \(\mathbf{x}^1 \succeq \mathbf{x}^2\) (“\(\mathbf{x}^1\) é pelo menos tão bom quanto \(\mathbf{x}^2\)”).
A partir de \(\succeq\), derivamos duas relações auxiliares (Jehle e Reny, 2011):
Lê-se: “\(\mathbf{x}^1\) é indiferente a \(\mathbf{x}^2\)” (cada uma é pelo menos tão boa quanto a outra).
Axiomas de racionalidade
A relação \(\succeq\) é chamada de relação de preferência se satisfaz os dois axiomas seguintes (Jehle e Reny, 2011):
Axioma 1 (Completude): Para todo \(\mathbf{x}^1, \mathbf{x}^2 \in X\), vale \(\mathbf{x}^1 \succeq \mathbf{x}^2\) ou \(\mathbf{x}^2 \succeq \mathbf{x}^1\) (ou ambos).
O consumidor consegue comparar quaisquer duas cestas. Não existe “não sei decidir”.
Axioma 2 (Transitividade): Para todo \(\mathbf{x}^1, \mathbf{x}^2, \mathbf{x}^3 \in X\), se \(\mathbf{x}^1 \succeq \mathbf{x}^2\) e \(\mathbf{x}^2 \succeq \mathbf{x}^3\), então \(\mathbf{x}^1 \succeq \mathbf{x}^3\).
As escolhas são internamente consistentes. Sem transitividade, o consumidor poderia ser explorado em ciclos de trocas.
Propriedades derivadas: Se \(\succeq\) satisfaz os Axiomas 1 e 2, então:
\(\succ\) é irreflexiva (\(\mathbf{x} \succ \mathbf{x}\) nunca vale) e transitiva
\(\sim\) é reflexiva (\(\mathbf{x} \sim \mathbf{x}\) sempre vale), transitiva e simétrica
Se \(\mathbf{x}^1 \succ \mathbf{x}^2 \succeq \mathbf{x}^3\), então \(\mathbf{x}^1 \succ \mathbf{x}^3\)
Axiomas adicionais sobre preferências
Além de racionalidade, a teoria do consumidor impõe restrições sobre a “forma” das preferências (Jehle e Reny, 2011):
Axioma 3 (Continuidade): Para todo \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n_+\), os conjuntos “pelo menos tão bom quanto” \(\succeq(\mathbf{x}) = \{\mathbf{y} \in X : \mathbf{y} \succeq \mathbf{x}\}\) e “não melhor que” \(\preceq(\mathbf{x}) = \{\mathbf{y} \in X : \mathbf{x} \succeq \mathbf{y}\}\) são fechados em \(\mathbb{R}^n_+\).
Continuidade garante que pequenas mudanças nas cestas levam a pequenas mudanças nas preferências. Exclui “reversões súbitas” de preferência. É o axioma que permite a representação por uma função de utilidade contínua.
Axioma 4 (Monotonicidade estrita): Para todo \(\mathbf{x}^0, \mathbf{x}^1 \in \mathbb{R}^n_+\): se \(\mathbf{x}^0 \geq \mathbf{x}^1\) então \(\mathbf{x}^0 \succeq \mathbf{x}^1\); se \(\mathbf{x}^0 \gg \mathbf{x}^1\) então \(\mathbf{x}^0 \succ \mathbf{x}^1\).
Onde \(\mathbf{x}^0 \geq \mathbf{x}^1\) significa que cada componente de \(\mathbf{x}^0\) é pelo menos igual ao correspondente em \(\mathbf{x}^1\), e \(\gg\) significa estritamente maior em todos os componentes. Este é o “mais é melhor” formalizado.
Axioma 5 (Convexidade estrita): Se \(\mathbf{x}^1 \neq \mathbf{x}^0\) e \(\mathbf{x}^1 \succeq \mathbf{x}^0\), então \(t\mathbf{x}^1 + (1-t)\mathbf{x}^0 \succ \mathbf{x}^0\) para todo \(t \in (0, 1)\).
Combinações de cestas indiferentes são estritamente preferidas: cestas balanceadas são melhores que cestas extremas.
Conjuntos derivados da relação de preferência
Dada uma cesta de referência \(\mathbf{x}^0\), a relação \(\succeq\) divide o conjunto de consumo em regiões (Definição 1.4):
Conjunto
Definição
Leitura
Região no gráfico
\(\succeq(\mathbf{x}^0)\)
\(\{\mathbf{x} \in X : \mathbf{x} \succeq \mathbf{x}^0\}\)
cestas pelo menos tão boas quanto \(\mathbf{x}^0\)
acima da curva de indiferença
\(\preceq(\mathbf{x}^0)\)
\(\{\mathbf{x} \in X : \mathbf{x}^0 \succeq \mathbf{x}\}\)
cestas não melhores que \(\mathbf{x}^0\)
abaixo da curva de indiferença
\(\succ(\mathbf{x}^0)\)
\(\{\mathbf{x} \in X : \mathbf{x} \succ \mathbf{x}^0\}\)
cestas estritamente preferidas a \(\mathbf{x}^0\)
acima, sem a fronteira
\(\prec(\mathbf{x}^0)\)
\(\{\mathbf{x} \in X : \mathbf{x}^0 \succ \mathbf{x}\}\)
cestas estritamente piores que \(\mathbf{x}^0\)
abaixo, sem a fronteira
\(\sim(\mathbf{x}^0)\)
\(\{\mathbf{x} \in X : \mathbf{x} \sim \mathbf{x}^0\}\)
cestas indiferentes a \(\mathbf{x}^0\)
a própria curva de indiferença
Esses conjuntos formam uma partição de \(X\): toda cesta pertence a exatamente uma das três categorias (preferida, indiferente, ou pior que \(\mathbf{x}^0\)).
Representação por função de utilidade
Uma função \(u: X \to \mathbb{R}\) é uma função de utilidade representando \(\succeq\) se:
\(\succeq\) pode ser representada por uma função de utilidade somente se é racional (completa e transitiva). Com o acréscimo do Axioma 3 (continuidade), garante-se a existência de uma função de utilidade contínua(Jehle e Reny, 2011).
A representação não é única: para qualquer função estritamente crescente \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(v(\mathbf{x}) = f(u(\mathbf{x}))\) também representa \(\succeq\). Propriedades invariantes sob transformações crescentes são ordinais; propriedades que dependem dos valores numéricos são cardinais.
Nota 3.3: Utilidade e a taxa marginal de substituição
Símbolo
Significado
\(U(x,y) = k\)
curva de indiferença: cestas que fornecem utilidade \(k\)
\(TMS\)
taxa marginal de substituição
\(dy/dx\|_{U=k}\)
inclinação da curva de indiferença (derivada mantendo \(U\) constante)
\(U_x = \partial U/\partial x\)
utilidade marginal de \(x\) (ganho de utilidade por unidade adicional de \(x\))
\(U_y = \partial U/\partial y\)
utilidade marginal de \(y\)
\(dU\)
diferencial total da função de utilidade
Curvas de indiferença
Uma curva de indiferença é o conjunto de todas as cestas \((x, y)\) que fornecem o mesmo nível de utilidade: \(U(x,y) = k\), para alguma constante \(k\). Cada curva representa um nível de satisfação.
O plano \((x, y)\) é preenchido por infinitas curvas de indiferença, uma para cada nível \(k\). A utilidade cresce na direção superior-direita (mais de ambos os bens). Analogia com curvas de nível num mapa topográfico: cada curva conecta pontos de mesma “altitude” de utilidade.
Por que curvas de indiferença não se cruzam: suponha que as curvas \(U_1\) e \(U_2\) se cruzem no ponto \(E\). Tomemos \(A\) em \(U_1\) e \(B\) em \(U_2\) tal que \(A\) tenha mais de ambos os bens que \(B\) (logo \(A \succ B\)). Mas \(A \sim E\) (ambos em \(U_1\)) e \(E \sim B\) (ambos em \(U_2\)). Por transitividade, \(A \sim B\), contradição. (Nicholson e Snyder, 2018)
Taxa marginal de substituição (TMS)
A TMS no ponto \((x, y)\) é o valor absoluto da inclinação da curva de indiferença nesse ponto:
\[TMS = -\frac{dy}{dx}\bigg|_{U=k}\]
A TMS mede a disposição do consumidor a trocar \(y\) por \(x\) mantendo a utilidade constante. Se \(TMS = 4\), o consumidor está disposto a abrir mão de 4 unidades de \(y\) para obter 1 unidade adicional de \(x\).
A TMS é decrescente ao longo da curva: conforme o consumidor se move (mais \(x\), menos \(y\)), a disposição a trocar \(y\) por \(x\) diminui. Isso reflete a preferência por variedade.
Derivação da TMS via utilidades marginais
Ao longo da curva de indiferença, todas as cestas fornecem o mesmo nível de utilidade \(U(x,y) = k\). Se o consumidor troca um pouco de \(y\) por um pouco de \(x\) e permanece na mesma curva, a variação total da utilidade é zero (\(dU = 0\)):
O ganho de utilidade por aumentar \(x\) (parcela \(U_x\,dx\)) é exatamente compensado pela perda por reduzir \(y\) (parcela \(U_y\,dy\)). Isolando \(dy/dx\):
\[U_y\,dy = -U_x\,dx\]
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{U_x}{U_y}\]
\[\boxed{TMS = \frac{U_x}{U_y}}\]
A TMS é a razão das utilidades marginais. As unidades de “utilidade” se cancelam, restando apenas as unidades físicas dos bens.
Suponha que o ranking de uma pessoa sobre hambúrgueres (\(y\)) e refrigerantes (\(x\)) pudesse ser representado por uma função utilidade:
\[U(x,y) = \sqrt{xy} = (xy)^{1/2}\]
Encontra-se uma curva de indiferença para essa função, identificando o conjunto de combinações de \(x\) e \(y\) para o qual a utilidade atinge o mesmo valor. Suponto que definamos arbitrariamente um valor de utilidade que seja igual a 10.
Passo 1: encontrar a curva de indiferença para \(U = 10\):
O \(x^2\) está no denominador: conforme \(x\) cresce, \(x^2\) cresce quadraticamente e a fração diminui. Por exemplo: se \(x = 5\), \(TMS = 100/25 = 4\); se \(x = 10\), \(TMS = 100/100 = 1\); se \(x = 20\), \(TMS = 100/400 = 0{,}25\). Quanto mais refrigerantes (\(x\)) o consumidor já possui, menor sua disposição a trocar hambúrgueres (\(y\)) por mais refrigerantes. No Passo 3 veremos que \(y\) está presente implicitamente nessa fórmula.
Passo 3: calcular a TMS via utilidades marginais:
Antes de derivar, é preciso entender o conceito de utilidade marginal. A utilidade marginal de um bem é a utilidade extra que o consumidor obtém ao consumir a última unidade desse bem, mantendo o consumo dos demais bens fixo (Perloff, 2022):
No nosso exemplo, \(U_x\) mede quanta utilidade adicional o consumidor obtém ao consumir um refrigerante a mais, mantendo fixa a quantidade de hambúrgueres. Analogamente:
\(U_y\) mede a utilidade extra de um hambúrguer a mais, mantendo fixa a quantidade de refrigerantes. A utilidade marginal é tipicamente positiva (mais é melhor) e decrescente (o décimo refrigerante vale menos que o primeiro).
Agora, aplicando a regra da potência (\(\frac{d}{dz}z^n = n \cdot z^{n-1}\)) e a regra da cadeia ao nosso exemplo:
\(U_x\): derivar \((xy)^{1/2}\) em relação a \(x\), tratando \(y\) como constante.
Na terceira linha, dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso. Na quarta linha, o termo \(2(xy)^{1/2}\) aparece no numerador e no denominador, cancelando-se. O resultado \(TMS = y/x\) depende apenas da razão entre as quantidades dos dois bens.
Passo 4: avaliar em dois pontos e comparar os dois métodos:
Ponto
\(x\)
\(y\)
\(TMS = 100/x^2\)
\(TMS = y/x\)
Interpretação
A
5
20
\(100/25 = 4\)
\(20/5 = 4\)
Disposto a dar 4 hambúrgueres por 1 refrigerante
B
20
5
\(100/400 = 0{,}25\)
\(5/20 = 0{,}25\)
Disposto a dar apenas 0,25 hambúrguer por 1 refrigerante
Os dois métodos concordam (como esperado).
Passo 5: verificar a preferência por cestas balanceadas. O ponto médio \(C = (12{,}5;\ 12{,}5)\):
A cesta balanceada \(C\) proporciona utilidade \(12{,}5\), maior que \(U_1 = 10\) dos pontos \(A\) e \(B\). O ponto \(C\) está em uma curva de indiferença mais alta.
Implementação em R
Código
suppressPackageStartupMessages({library(ggplot2)library(latex2exp)})# Retas tangentes# Em A = (5, 20): inclinação = -4, y = 40 - 4x# y(3.5) = 40 - 14 = 26 -> acima do limite, usar x=4 -> y=24tangente_a <-data.frame(x =c(4, 7), y =40-4*c(4, 7))# Em B = (20, 5): inclinação = -0.25, y = 10 - 0.25xtangente_b <-data.frame(x =c(15, 25), y =10-0.25*c(15, 25))ggplot2::ggplot() +# Curva de indiferença U = 10: y = 100/x ggplot2::geom_function(fun = \(x) 100/ x,xlim =c(2, 25),color ="#2c7bb6",linewidth =1.1 ) +# Curva de indiferença U = 12.5: y = 156.25/x (tracejada) ggplot2::geom_function(fun = \(x) 156.25/ x,xlim =c(2, 25),color ="#2c7bb6",linewidth =1.1,linetype ="dashed" ) +# Reta tangente em A (inclinação = -TMS = -4) ggplot2::geom_line(data = tangente_a, ggplot2::aes(x = x, y = y),color ="#d7191c",linewidth =1.1 ) +# Anotação da tangente em A# ggplot2::annotate(# "text",# x = 6.8, y = 40 - 4 * 6.8 + 1.5,# label = "inclinação = -4",# color = "#d7191c", size = 3.5, fontface = "italic"# ) +# Reta tangente em B (inclinação = -TMS = -0.25) ggplot2::geom_line(data = tangente_b, ggplot2::aes(x = x, y = y),color ="#d7191c",linewidth =1.1 ) +# Anotação da tangente em B# ggplot2::annotate(# "text",# x = 24.5, y = 10 - 0.25 * 24.5 + 1.5,# label = "inclinação = -0,25",# color = "#d7191c", size = 3.5, fontface = "italic"# ) +# Pontos A, B, C ggplot2::geom_point(data =data.frame(x =c(5, 20, 12.5), y =c(20, 5, 12.5)), ggplot2::aes(x = x, y = y),size =4,color ="black" ) +# Rótulo do ponto A ggplot2::annotate("label",x =5, y =20,label ="A = (5, 20)\nTMS = 4",hjust =-0.1, vjust =0.5,fill ="white", size =3.5, label.size =0.3 ) +# Rótulo do ponto B ggplot2::annotate("label",x =20, y =5,label ="B = (20, 5)\nTMS = 0,25",hjust =0.5, vjust =1.3,fill ="white", size =3.5, label.size =0.3 ) +# Rótulo do ponto C ggplot2::annotate("label",x =12.5, y =12.5,label ="C = (12,5; 12,5)\nU = 12,5",hjust =-0.1, vjust =0.5,fill ="white", size =3.5, label.size =0.3 ) +# Rótulos das curvas de indiferença ggplot2::annotate("text",x =24, y =100/24+1.5,label = latex2exp::TeX(r"($U = \sqrt{xy} = 10$)"),color ="#2c7bb6", size =4, hjust =0.5 ) + ggplot2::annotate("text",x =24, y =156.25/24+1.5,label = latex2exp::TeX(r"($U = \sqrt{xy} = 12{,}5$)"),color ="#2c7bb6", size =4, hjust =0.5 ) + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0),limits =c(0, 28) ) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0),limits =c(0, 25) ) + ggplot2::labs(x = latex2exp::TeX(r"($x$ (refrigerantes))"),y = latex2exp::TeX(r"($y$ (hambúrgueres))") ) + ggplot2::theme_minimal() + ggplot2::theme(axis.line = ggplot2::element_line(color ="black", linewidth =0.5),panel.grid.major = ggplot2::element_line(color ="gray90"),panel.grid.minor = ggplot2::element_blank() )
Interpretação
A TMS decrescente reflete o princípio de que consumidores preferem variedade nas suas cestas de consumo. No exemplo, o consumidor aceita ceder 4 hambúrgueres por 1 refrigerante quando tem poucos refrigerantes (ponto A), mas está disposto a abrir mão de apenas \(0{,}25\) hambúrguer por 1 refrigerante quando já possui muitos (ponto B).
A TMS decrescente está relacionada, mas não é equivalente, à utilidade marginal decrescente. A utilidade marginal decrescente (\(U_{xx} < 0\)) não é suficiente para garantir TMS decrescente. A condição correta envolve a quase-concavidade da função de utilidade. (Nicholson e Snyder, 2018)
Exercício Resolvido
Baseado em Nicholson, Problem 3.10 (Nicholson e Snyder, 2012). Considere \(U(x,y) = x^{0{,}3}y^{0{,}7}\) (Cobb-Douglas com \(\alpha \neq \beta\)). Calcule a TMS e avalie nos pontos \((2, 8)\) e \((8, 2)\).
Passo 1: utilidades marginais. Aplicando a regra da potência a \(U = x^\alpha y^\beta\) com \(\alpha = 0{,}3\) e \(\beta = 0{,}7\):
\[\begin{aligned}
U_x &= \frac{\partial}{\partial x}(x^{0{,}3} y^{0{,}7}) & & \text{derivar em relação a } x \text{, } y \text{ constante} \\[6pt]
&= 0{,}3 \cdot x^{0{,}3 - 1} \cdot y^{0{,}7} & & \text{regra da potência} \\[6pt]
&= 0{,}3 \cdot x^{-0{,}7} \cdot y^{0{,}7} & & \text{simplificando o expoente}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
U_y &= \frac{\partial}{\partial y}(x^{0{,}3} y^{0{,}7}) & & \text{derivar em relação a } y \text{, } x \text{ constante} \\[6pt]
&= 0{,}7 \cdot x^{0{,}3} \cdot y^{0{,}7 - 1} & & \text{regra da potência} \\[6pt]
&= 0{,}7 \cdot x^{0{,}3} \cdot y^{-0{,}3} & & \text{simplificando o expoente}
\end{aligned}\]
Disposto a dar apenas 0,11 de \(y\) por 1 de \(x\)
Passo 4: interpretar.
A TMS cai de \(1{,}71\) para \(0{,}11\): à medida que \(x\) aumenta e \(y\) diminui, a disposição a trocar \(y\) por \(x\) diminui drasticamente (TMS decrescente).
No exemplo anterior (\(U = \sqrt{xy}\), com \(\alpha = \beta = 0{,}5\)), a TMS era simplesmente \(y/x\). Aqui, com \(\alpha = 0{,}3\) e \(\beta = 0{,}7\), a TMS é \(\frac{3}{7} \cdot \frac{y}{x}\). O fator \(\alpha/\beta = 3/7 < 1\) reduz a TMS em relação ao caso simétrico.
Por que isso acontece? Como \(\beta > \alpha\), o bem \(y\) contribui mais para a utilidade do consumidor. Ele valoriza relativamente mais cada unidade de \(y\), e portanto exige menos compensação em \(y\) para aceitar uma unidade adicional de \(x\). Na cesta \((2, 8)\), por exemplo, a TMS é \(1{,}71\) (em vez de \(8/2 = 4\) no caso simétrico): o consumidor tem bastante \(y\) e pouco \(x\), mas como \(y\) é o bem mais importante para ele, não está tão disposto a trocá-lo.
Nota 3.4: Convexidade das curvas de indiferença
Símbolo
Significado
\(U^*(x,y)\)
transformação monotônica de \(U\) (preserva a ordenação e simplifica o cálculo)
\(U_{xx} = \partial^2 U / \partial x^2\)
derivada segunda de \(U\) em relação a \(x\) (como a utilidade marginal varia)
\(U_{xy} = \partial^2 U / \partial x \partial y\)
derivada cruzada (como \(U_x\) muda quando \(y\) varia)
Desenvolvimento Teórico
A ideia intuitiva de que consumidores preferem cestas balanceadas pode ser formalizada usando o conceito matemático de convexidade.
Definição de conjunto convexo: um conjunto de pontos é convexo se, para quaisquer dois pontos pertencentes ao conjunto, o segmento de reta que os une está inteiramente contido no conjunto.
Equivalência fundamental: as seguintes condições são equivalentes:
TMS é decrescente ao longo da curva de indiferença
O conjunto “pelo menos tão bom quanto” \(\{(x,y) : U(x,y) \geq k\}\) é convexo
A função de utilidade é quase-côncava
Consequência econômica: cestas balanceadas são preferidas a cestas extremas. Se o consumidor é indiferente entre \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\), então a média \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) é estritamente preferida (no caso de convexidade estrita) (Nicholson e Snyder, 2018).
O papel da derivada segunda. A derivada segunda \(U_{xx} = \partial^2 U / \partial x^2\) mede como a utilidade marginal de \(x\) varia conforme o consumo de \(x\) aumenta:
Se \(U_{xx} < 0\): a utilidade marginal é decrescente. Cada unidade adicional de \(x\) acrescenta menos utilidade que a anterior. A função de utilidade cresce, mas cada vez mais devagar (é côncava em \(x\)).
Se \(U_{xx} > 0\): a utilidade marginal é crescente. Cada unidade adicional vale mais que a anterior (convexidade em \(x\), situação atípica para bens de consumo).
Exemplo visual: derivadas de primeira e segunda ordem
Considere duas funções de uma variável para ilustrar o papel das derivadas:
\(f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}\) (côncava)
\(g(x) = x^2\) (convexa)
Função
cresce, mas cada vez mais devagar
cresce, cada vez mais rápido
1ª derivada
\(f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}\): positiva e decrescente
No painel esquerdo (\(f'' < 0\)): a função \(\sqrt{x}\) cresce, mas a derivada primeira (verde) diminui, e a derivada segunda (vermelha) é sempre negativa. Isso é o padrão da utilidade marginal decrescente: como a água, os primeiros litros são valiosos, mas cada litro adicional acrescenta menos.
No painel direito (\(g'' > 0\)): a função \(x^2\) cresce cada vez mais rápido, a derivada primeira (verde) é crescente, e a derivada segunda (vermelha) é sempre positiva. Este padrão é atípico para bens de consumo.
No entanto, \(U_{xx} < 0\) sozinho não garante que as curvas de indiferença sejam convexas. A convexidade das curvas depende de como a TMS muda ao longo da curva, o que envolve a interação entre três derivadas segundas: \(U_{xx}\), \(U_{yy}\) e \(U_{xy}\). A derivada cruzada \(U_{xy}\) captura a complementaridade entre os bens: se ter mais \(y\) aumenta (\(U_{xy} > 0\)) ou diminui (\(U_{xy} < 0\)) o valor marginal de \(x\). A condição formal será apresentada na seção avançada mais adiante.
Formalização Matemática
Baseada em Nicholson Example 3.2 (Nicholson e Snyder, 2012). Verificar convexidade para 3 funções usando a TMS (\(TMS = U_x/U_y\)). A estratégia: se a TMS é decrescente ao longo da curva, as curvas são convexas.
Conforme \(x\) aumenta e \(y\) diminui ao longo da curva, a razão \(y/x\) diminui: TMS decrescente, curvas convexas ✓
Função 2:\(U(x,y) = x + xy + y\)
\[\begin{aligned}
U_x &= \frac{\partial}{\partial x}(x + xy + y) = 1 + y & & \text{derivada de } x \text{ é } 1\text{, de } xy \text{ é } y\text{, de } y \text{ é } 0 \\[6pt]
U_y &= \frac{\partial}{\partial y}(x + xy + y) = x + 1 & & \text{derivada de } x \text{ é } 0\text{, de } xy \text{ é } x\text{, de } y \text{ é } 1
\end{aligned}\]
\[TMS = \frac{U_x}{U_y} = \frac{1+y}{1+x}\]
Conforme \(x\) aumenta e \(y\) diminui ao longo da curva: o numerador \(1+y\) diminui, o denominador \(1+x\) aumenta, logo a fração diminui: TMS decrescente, curvas convexas ✓
Conforme \(x\) aumenta e \(y\) diminui: a razão \(x/y\)aumenta (TMS crescente): curvas côncavas, não convexas ✗
Sentido econômico: esta função representa um consumidor que prefere extremos, não variedade (ele prefere ter muito de um bem e nada do outro). Na prática, este tipo de preferência é raro para bens de consumo.
Condição formal de quase-concavidade (nota avançada)
Para \(U(x,y)\), a condição de quase-concavidade é:
\[U_{xx}U_y^2 - 2U_{xy}U_xU_y + U_{yy}U_x^2 < 0\]
Verificação para\(U^* = \frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{2}\ln y\):
Passo 1: derivadas primeiras (já calculadas acima):
Como o resultado é negativo para todo \((x, y) > 0\), a função é quase-côncava e as curvas de indiferença são convexas.
O paradoxo da água e do diamante. O conceito de utilidade marginal decrescente (\(U_{xx} < 0\)) tem raízes históricas no chamado paradoxo da água e do diamante (Nicholson e Snyder, 2018). A água é essencial para a vida: sua utilidade total é enorme. Mas, como é abundante, a utilidade marginal do último copo de água é baixa (o consumidor já está saciado). O diamante, por outro lado, tem utilidade total menor, mas como é escasso, sua utilidade marginal é alta. O preço reflete a utilidade marginal, não a total.
Em termos formais, \(U_{xx} < 0\) significa que a derivada segunda é negativa: a utilidade marginal \(U_x\) diminui conforme \(x\) aumenta. Graficamente, a função de utilidade cresce, mas cada vez mais devagar (côncava). Para a água: os primeiros litros diários são vitais (\(U_x\) alto), mas a partir de certo ponto cada litro adicional acrescenta muito pouco (\(U_x\) próximo de zero).
Nota importante: utilidade marginal decrescente (\(U_{xx} < 0\)) não é suficiente para garantir TMS decrescente. A condição de quase-concavidade envolve também a derivada cruzada \(U_{xy}\). A Função 3 acima tem \(U^*_{xx} = 2 > 0\) (utilidade marginal crescente), o que contribui para a TMS crescente e a concavidade.
Exercício Resolvido
Baseado em Nicholson, Problem 3.1 (Nicholson e Snyder, 2012). Verificar convexidade de \(U(x,y) = x^{0{,}6}y^{0{,}4}\) (Cobb-Douglas com \(\alpha \neq \beta\)).
Passo 1: calcular as utilidades marginais.
\[\begin{aligned}
U_x &= \frac{\partial}{\partial x}(x^{0{,}6} y^{0{,}4}) & & \text{derivar em relação a } x \\[6pt]
&= 0{,}6 \cdot x^{0{,}6-1} \cdot y^{0{,}4} & & \text{regra da potência} \\[6pt]
&= 0{,}6 \cdot x^{-0{,}4} \cdot y^{0{,}4}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
U_y &= \frac{\partial}{\partial y}(x^{0{,}6} y^{0{,}4}) & & \text{derivar em relação a } y \\[6pt]
&= 0{,}4 \cdot x^{0{,}6} \cdot y^{0{,}4-1} & & \text{regra da potência} \\[6pt]
&= 0{,}4 \cdot x^{0{,}6} \cdot y^{-0{,}6}
\end{aligned}\]
Ao longo da curva de indiferença, a utilidade é constante (\(U = k\)). Se \(x\) aumenta, \(y\) deve diminuir para compensar (inclinação negativa da curva). O que acontece com \(TMS = 1{,}5 \cdot (y/x)\)?
\(x\) aumenta: o denominador \(x\) cresce
\(y\) diminui: o numerador \(y\) cai
Efeito combinado: a razão \(y/x\) diminui por dois motivos simultâneos (numerador cai e denominador cresce)
Como \(1{,}5\) é uma constante positiva, \(TMS = 1{,}5 \cdot (y/x)\) também diminui ✓
A TMS é decrescente, confirmando que as curvas de indiferença são convexas.
Passo 4: verificar com exemplo numérico.
Se as curvas são convexas, o ponto médio entre duas cestas indiferentes deve ter utilidade maior. Vamos verificar.
Como \(U(x,y) = x^{0{,}6}y^{0{,}4}\), a curva de indiferença \(U = 5\) é o conjunto de cestas que satisfazem:
\[x^{0{,}6} \cdot y^{0{,}4} = 5\]
Precisamos encontrar duas cestas sobre essa curva (ambas com utilidade 5) e verificar se o ponto médio entre elas tem utilidade maior que 5.
4a) Confirmar que \((5, 5)\) está na curva \(U = 5\):
A cesta balanceada \((7{,}5;\; 3{,}385)\) proporciona utilidade \(5{,}30\), maior que \(U = 5\) das cestas originais. Convexidade confirmada: o consumidor prefere a combinação intermediária às cestas extremas.
A convexidade é empiricamente plausível para a grande maioria dos bens de consumo: consumidores preferem cestas diversificadas. Exceções podem ocorrer em situações de especialização (por exemplo, um trabalhador que se beneficia mais de investir todo o seu tempo em uma única habilidade), mas são raras no contexto de consumo.
A condição matemática de quase-concavidade é menos restritiva do que a concavidade: permite que a função de utilidade tenha utilidade marginal crescente, desde que a TMS seja decrescente. (Nicholson e Snyder, 2018)
Nota 3.5: Funções de utilidade para preferências específicas
Parte 1: Cobb-Douglas
Desenvolvimento Teórico
A função Cobb-Douglas foi proposta por Charles Cobb e Paul Douglas em 1928 originalmente para modelar funções de produção, e posteriormente adotada na teoria do consumidor. A forma geral é:
Como a utilidade é ordinal, podemos aplicar transformações monotônicas sem alterar as preferências. Uma simplificação útil é normalizar os expoentes para que somem 1. Considere \(U = x^3 y^2\) (\(\alpha = 3\), \(\beta = 2\)). Elevando \(U\) à potência \(1/(\alpha + \beta) = 1/(2+3) = 1/5\):
O parâmetro \(\delta\) é o peso relativo do bem \(x\) na função de utilidade, e \(1-\delta\) é o peso de \(y\):
\(\delta\)
\(1-\delta\)
Interpretação
\(0{,}5\)
\(0{,}5\)
Bens igualmente importantes (caso simétrico)
\(0{,}6\)
\(0{,}4\)
Bem \(x\) é mais valorizado que \(y\)
\(0{,}9\)
\(0{,}1\)
Bem \(x\) é muito mais importante que \(y\)
A forma normalizada \(V = x^\delta y^{1-\delta}\) representa as mesmas preferências que \(U = x^\alpha y^\beta\), com a vantagem de que os expoentes somam 1 e têm interpretação direta: no capítulo de maximização de utilidade, será demonstrado que o consumidor dedica uma fração \(\delta\) do seu gasto ao bem \(x\) e uma fração \(1-\delta\) ao bem \(y\)(Nicholson e Snyder, 2018).
Formalização Matemática
Utilidades marginais (derivar \(U = x^\alpha y^\beta\) tratando o outro bem como constante):
\[\begin{aligned}
U_x &= \frac{\partial}{\partial x}(x^\alpha y^\beta) & & \text{derivar em relação a } x\text{, } y \text{ constante} \\[6pt]
&= \alpha x^{\alpha-1} \cdot y^\beta & & \text{regra da potência: } \frac{d}{dx}x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
U_y &= \frac{\partial}{\partial y}(x^\alpha y^\beta) & & \text{derivar em relação a } y\text{, } x \text{ constante} \\[6pt]
&= \beta x^\alpha \cdot y^{\beta-1} & & \text{regra da potência}
\end{aligned}\]
Note que a TMS não é simplesmente \(y/x\): o fator \(\alpha/\beta = 1/4\) reflete que o consumidor valoriza \(y\) quatro vezes mais que \(x\) (\(\beta/\alpha = 0{,}8/0{,}2 = 4\)). Isso reduz sua disposição a trocar \(y\) por \(x\).
Avaliando em dois pontos sobre a curva de indiferença \(U \approx 8\) (ou seja, \(x^{0{,}2} y^{0{,}8} \approx 8\)):
Ponto
\(x\)
\(y\)
\(y/x\)
\(TMS = y/(4x)\)
Interpretação
A
5
9
\(9/5 = 1{,}8\)
\(9/20 = 0{,}45\)
Disposto a dar 0,45 de \(y\) por 1 de \(x\)
B
25
6
\(6/25 = 0{,}24\)
\(6/100 = 0{,}06\)
Disposto a dar apenas 0,06 de \(y\) por 1 de \(x\)
Comparação: se fosse \(\alpha = \beta = 0{,}5\) (caso simétrico), a TMS nos mesmos pontos seria \(y/x = 1{,}8\) e \(0{,}24\). Com \(\alpha < \beta\), a TMS é reduzida pelo fator \(1/4\): o consumidor valoriza mais o bem \(y\) e reluta em trocá-lo.
A TMS cai de 0,45 para 0,06: decrescente ao longo da curva, confirmando convexidade.
Código
suppressPackageStartupMessages({library(ggplot2)library(latex2exp)})# Curvas de indiferença Cobb-Douglas: U = x^0.2 * y^0.8 = k# y = (k / x^0.2)^(1/0.8) = k^1.25 * x^(-0.25)alpha <-0.2beta <-0.8cores_cd <-c("#2c7bb6", "#1a9641", "#d7191c")niveis <-c(2, 4, 6)# Função para calcular y dado kci <-function(x, k) (k / x^alpha)^(1/beta)ggplot2::ggplot() + ggplot2::geom_function(fun = \(x) ci(x, niveis[1]),xlim =c(0.1, 28),color = cores_cd[1], linewidth =1.1 ) + ggplot2::geom_function(fun = \(x) ci(x, niveis[2]),xlim =c(0.1, 28),color = cores_cd[2], linewidth =1.1 ) + ggplot2::geom_function(fun = \(x) ci(x, niveis[3]),xlim =c(0.1, 28),color = cores_cd[3], linewidth =1.1 ) + ggplot2::annotate("text", x =27, y =ci(27, niveis[1]) +0.3,label = latex2exp::TeX(r"($U = 2$)"),color = cores_cd[1], size =4, hjust =0.5 ) + ggplot2::annotate("text", x =27, y =ci(27, niveis[2]) +0.3,label = latex2exp::TeX(r"($U = 4$)"),color = cores_cd[2], size =4, hjust =0.5 ) + ggplot2::annotate("text", x =27, y =ci(27, niveis[3]) +0.3,label = latex2exp::TeX(r"($U = 6$)"),color = cores_cd[3], size =4, hjust =0.5 ) +# Curva U = 8 (onde estão os pontos do exemplo) ggplot2::geom_function(fun = \(x) ci(x, 8),xlim =c(0.1, 28),color ="gray40", linewidth =1.1, linetype ="dashed" ) + ggplot2::annotate("text", x =27, y =ci(27, 8) +0.3,label = latex2exp::TeX(r"($U = 8$)"),color ="gray40", size =4, hjust =0.5 ) +# Pontos do exemplo numérico na curva U ≈ 8# Ponto A: (5, 9), TMS = 9/20 = 0.45# Ponto B: (25, 6), TMS = 6/100 = 0.06 ggplot2::geom_point(data =data.frame(x =c(5, 25), y =c(9, 6)), ggplot2::aes(x = x, y = y),size =3, color ="black" ) + ggplot2::annotate("label", x =5, y =9,label ="A = (5, 9)\nTMS = 0,45",fill ="white", size =3.5, hjust =-0.1) + ggplot2::annotate("label", x =25, y =6,label ="B = (25, 6)\nTMS = 0,06",fill ="white", size =3.5, vjust =-0.5) + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 30)) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 14)) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"(Curvas de indiferença: Cobb-Douglas ($U = x^{0{,}2} y^{0{,}8}$))"),x = latex2exp::TeX(r"(Quantidade de $x$)"),y = latex2exp::TeX(r"(Quantidade de $y$)") ) + ggplot2::theme_minimal() + ggplot2::theme(axis.line = ggplot2::element_line(color ="black", linewidth =0.5),panel.grid.major = ggplot2::element_line(color ="gray90"),panel.grid.minor = ggplot2::element_blank(),plot.title = ggplot2::element_text(size =13, margin = ggplot2::margin(b =10)) )
Parte 2: Substitutos perfeitos e complementos perfeitos
Substitutos perfeitos
Definição: \(U(x,y) = \alpha x + \beta y\), com \(\alpha, \beta > 0\).
Derivação da TMS:
\[\begin{aligned}
U_x &= \frac{\partial}{\partial x}(\alpha x + \beta y) = \alpha & & \text{constante} \\[6pt]
U_y &= \frac{\partial}{\partial y}(\alpha x + \beta y) = \beta & & \text{constante} \\[6pt]
TMS &= \frac{U_x}{U_y} = \frac{\alpha}{\beta} & & \text{não depende de } x \text{ nem de } y
\end{aligned}\]
A TMS é constante: o consumidor sempre está disposto a trocar na mesma proporção, independentemente da composição da cesta. As curvas de indiferença são retas paralelas com inclinação \(-\alpha/\beta\). Quando \(\alpha = \beta\), os bens são idênticos e \(TMS = 1\). Exemplos: gasolina de marcas diferentes, canetas azuis de fabricantes distintos.
A função \(\min\) não é diferenciável no vértice (onde \(\alpha x = \beta y\)), portanto a TMS não é definida nesse ponto. Fora do vértice:
Na parte vertical (\(\alpha x < \beta y\)): aumentar \(y\) não muda \(U\) (o mínimo é \(\alpha x\)), logo \(U_y = 0\) e \(TMS = \infty\)
Na parte horizontal (\(\alpha x > \beta y\)): aumentar \(x\) não muda \(U\) (o mínimo é \(\beta y\)), logo \(U_x = 0\) e \(TMS = 0\)
Os bens são consumidos em proporção fixa \(y/x = \alpha/\beta\): unidades excedentes de qualquer bem não geram utilidade adicional sem o aumento correspondente do outro (Nicholson e Snyder, 2018).
Exemplo: sapatos esquerdo e direito. Seja \(x\) = sapatos esquerdos e \(y\) = sapatos direitos, com \(U(x,y) = \min(x, y)\) (\(\alpha = \beta = 1\), proporção 1:1).
Cesta
\(x\) (esquerdo)
\(y\) (direito)
\(U = \min(x, y)\)
Pares utilizáveis
A
3
3
\(\min(3, 3) = 3\)
3 pares
B
5
3
\(\min(5, 3) = 3\)
3 pares (2 esquerdos sobrando)
C
3
1
\(\min(3, 1) = 1\)
1 par (2 esquerdos sobrando)
D
4
4
\(\min(4, 4) = 4\)
4 pares
As cestas A e B têm a mesma utilidade (\(U = 3\)): os 2 sapatos esquerdos extras da cesta B são inúteis sem os direitos correspondentes. Apenas a cesta D, com mais de ambos, é preferida.
Exemplo: café e creme.\(U(x,y) = \min(x, 8y)\), onde \(x\) = doses de café e \(y\) = unidades de creme. Proporção fixa: 8 cafés para cada 1 creme. Ter 16 cafés e 1 creme dá \(U = \min(16, 8) = 8\), a mesma utilidade que 8 cafés e 1 creme (\(U = \min(8, 8) = 8\)). Os 8 cafés extras não servem sem creme adicional (Perloff, 2022).
Tabela comparativa
Propriedade
Substitutos perfeitos
Complementos perfeitos
Função
\(U = \alpha x + \beta y\)
\(U = \min(\alpha x, \beta y)\)
TMS
Constante: \(\alpha/\beta\)
Indefinida no vértice
Curva de indiferença
Reta
Formato L
Escolha típica
Solução de canto
Vértice: \(y/x = \alpha/\beta\)
Exemplo
Gasolina de marcas diferentes
Café e creme
Código
suppressPackageStartupMessages({library(ggplot2)library(latex2exp)library(patchwork)})cores_sc <-c("#2c7bb6", "#1a9641", "#d7191c")tema_sc <-theme_minimal(base_size =16) +theme(axis.line =element_line(color ="black", linewidth =0.5),panel.grid.major =element_line(color ="gray90"),panel.grid.minor =element_blank(),plot.title =element_text(size =16, face ="bold"),axis.title =element_text(size =14),axis.text =element_text(size =12) )# Painel 1: Substitutos perfeitos (alpha = beta = 1): y = k - xp_subs <- ggplot2::ggplot() + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 4- x, xlim =c(0, 4),color = cores_sc[1], linewidth =1.1 ) + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 8- x, xlim =c(0, 8),color = cores_sc[2], linewidth =1.1 ) + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 12- x, xlim =c(0, 12),color = cores_sc[3], linewidth =1.1 ) + ggplot2::annotate("text", x =2, y =4.5-2+0.6,label = latex2exp::TeX(r"($U = 4$)"),color = cores_sc[1], size =5 ) + ggplot2::annotate("text", x =4, y =8.5-4+0.6,label = latex2exp::TeX(r"($U = 8$)"),color = cores_sc[2], size =5 ) + ggplot2::annotate("text", x =6, y =12.5-6+0.6,label = latex2exp::TeX(r"($U = 12$)"),color = cores_sc[3], size =5 ) + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 14)) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 14)) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"(Substitutos perfeitos: $U = \alpha x + \beta y$)"),x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),y = latex2exp::TeX(r"($y$)") ) + tema_sc# Painel 2: Complementos perfeitos (alpha = beta = 1): vértice em (k, k)# Segmento horizontal: y = k, x de k até 14 (para a direita do vértice)# Segmento vertical: x = k, y de k até 14 (para cima do vértice)niveis_cp <-c(2, 4, 6)p_comp <- ggplot2::ggplot()for (i inseq_along(niveis_cp)) { k <- niveis_cp[i] seg_h <-data.frame(x =c(k, 14), y =c(k, k)) seg_v <-data.frame(x =c(k, k), y =c(k, 14)) p_comp <- p_comp + ggplot2::geom_line(data = seg_h, ggplot2::aes(x = x, y = y),color = cores_sc[i], linewidth =1.1 ) + ggplot2::geom_line(data = seg_v, ggplot2::aes(x = x, y = y),color = cores_sc[i], linewidth =1.1 ) + ggplot2::geom_point(data =data.frame(x = k, y = k), ggplot2::aes(x = x, y = y),color = cores_sc[i], size =2.5 ) + ggplot2::annotate("text", x = k +0.4, y = k -0.8,label = latex2exp::TeX(paste0(r"($U = )", k, r"($)")),color = cores_sc[i], size =5, hjust =0 )}p_comp <- p_comp + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 14)) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 14)) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"(Complementos perfeitos: $U = \min\left(\alpha x, \beta y\right)$)"),x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),y = latex2exp::TeX(r"($y$)") ) + tema_scp_subs + p_comp
Parte 3: Função CES e a elasticidade de substituição
Desenvolvimento Teórico
As funções de utilidade apresentadas até aqui (Cobb-Douglas hipérboles, substitutos perfeitos retas, complementos perfeitos L) têm formatos predefinidos para suas curvas de indiferença. Uma função que permite representar várias formas é a função de Elasticidade de Substituição Constante, ou CES (Constant Elasticity of Substitution). Variando um único parâmetro (\(\delta\)), a CES gera desde retas (substitutos perfeitos) até curvas em L (complementos perfeitos), passando pela hipérbole da Cobb-Douglas (Nicholson e Snyder, 2018). A forma geral é:
O parâmetro \(\delta\) determina o grau de substituibilidade entre os bens. Para entender a fórmula, vejamos o que acontece ao substituir diferentes valores de \(\delta\):
Caso \(\delta = 1\) (substitutos perfeitos):
\[\begin{aligned}
U &= \frac{x^1}{1} + \frac{y^1}{1} & & \text{substituindo } \delta = 1 \\[6pt]
&= x + y & & \text{substitutos perfeitos com } \alpha = \beta = 1
\end{aligned}\]
Utilidades marginais e TMS. Para \(U = x + y\):
\[\begin{aligned}
U_x &= \frac{\partial}{\partial x}(x + y) = 1 & & \text{derivada de } x \text{ é } 1\text{, } y \text{ é constante} \\[6pt]
U_y &= \frac{\partial}{\partial y}(x + y) = 1 & & \text{derivada de } y \text{ é } 1\text{, } x \text{ é constante}
\end{aligned}\]
Ambas as utilidades marginais são constantes e iguais a 1. Isso significa que \(x\) e \(y\) são substitutos perfeitos — o consumidor sempre obtém a mesma utilidade marginal de qualquer um dos bens, independentemente da quantidade consumida.
As curvas de indiferença são retas com inclinação \(-1\). Na forma geral \(U = \alpha x + \beta y\), a TMS seria \(\alpha/\beta\), podendo ser diferente de 1:1 (por exemplo, se \(\alpha = 2\) e \(\beta = 1\), o consumidor troca 2 unidades de \(y\) por 1 de \(x\)).
Note que \(U\) é sempre negativo (soma de dois termos negativos), mas isso não é problema: a utilidade é ordinal, o que importa é a ordenação. Se \(x\) e \(y\) aumentam, \(1/x\) e \(1/y\) diminuem, logo \(-1/x - 1/y\) se aproxima de zero (aumenta), confirmando que mais é melhor.
Passo 1: utilidades marginais. Para \(U = -x^{-1} - y^{-1}\), aplicar a regra da potência:
\[\begin{aligned}
U_x &= \frac{\partial}{\partial x}\left(-x^{-1} - y^{-1}\right) & & \text{derivar em relação a } x\text{, } y \text{ constante} \\[6pt]
&= -(-1) \cdot x^{-1-1} & & \text{regra da potência: } \frac{d}{dx}x^n = n \cdot x^{n-1} \\[6pt]
&= x^{-2} = \frac{1}{x^2} & & \text{simplificando o expoente}
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
U_y &= \frac{\partial}{\partial y}\left(-x^{-1} - y^{-1}\right) & & \text{derivar em relação a } y\text{, } x \text{ constante} \\[6pt]
&= -(-1) \cdot y^{-1-1} & & \text{mesma lógica} \\[6pt]
&= y^{-2} = \frac{1}{y^2} & & \text{simplificando o expoente}
\end{aligned}\]
Note que na Cobb-Douglas (\(U = \ln x + \ln y\)) a TMS seria \(y/x\). No caso com \(\delta = -1\), a TMS é \((y/x)^2\) — o expoente 2 é justamente o que torna as curvas mais curvadas, refletindo a menor elasticidade de substituição (\(\sigma = 1/2\)).
Conexão com a fórmula geral. A TMS da CES tem a forma geral:
\[TMS = \left(\frac{y}{x}\right)^{1-\delta}\]
O expoente \(1 - \delta\) controla a curvatura das curvas de indiferença. Substituindo \(\delta = -1\), obtemos \(TMS = (y/x)^{1-(-1)} = (y/x)^2\), que é exatamente o resultado do passo 2. Na Cobb-Douglas (\(\delta \to 0\)), o expoente seria \(1 - 0 = 1\), e a TMS seria simplesmente \(y/x\). O expoente 2 faz com que a TMS varie mais rapidamente ao longo da curva de indiferença — as curvas são mais curvadas, e o consumidor é mais rígido na composição da cesta. A lógica é geral: quanto menor \(\delta\), maior o expoente \(1 - \delta\), mais curvada a indiferença, mais rígido o consumidor.
Passo 3: elasticidade de substituição \(\sigma\). Já sabemos que a TMS mede a disposição do consumidor a trocar \(y\) por \(x\). Mas quão sensível é essa disposição à composição da cesta? A elasticidade de substituição\(\sigma\) responde a essa pergunta: ela mede a variação percentual na razão \(y/x\) quando a TMS varia 1%.
Em microeconomia, toda elasticidade tem a mesma estrutura — variação percentual de uma variável dividida pela variação percentual de outra. Como \(\ln\) transforma variações proporcionais em diferenças (\(\Delta\% \approx \Delta\ln\)), a fórmula da elasticidade de substituição é:
\[\sigma = \frac{\ln(y/x)}{\ln(TMS)}\]
Partimos do resultado do passo 2 e aplicamos logaritmo natural:
\[\begin{aligned}
TMS &= \left(\frac{y}{x}\right)^2 & & \text{resultado do passo 2} \\[6pt]
\ln(TMS) &= 2 \cdot \ln\left(\frac{y}{x}\right) & & \text{propriedade: } \ln a^n = n \ln a
\end{aligned}\]
Agora basta substituir na fórmula de \(\sigma\). Como \(\ln(TMS) = 2 \cdot \ln(y/x)\), podemos trocar o \(\ln(TMS)\) no denominador:
Intuição: como \(TMS = (y/x)^2\), o expoente 2 indica que, para cada 1% de variação na proporção \(y/x\), a TMS varia 2%. A elasticidade \(\sigma\) é o inverso: para cada 1% de variação na TMS, a razão \(y/x\) varia apenas 0,5%. De forma geral, para a CES com \(TMS = (y/x)^{1-\delta}\):
\[\sigma = \frac{1}{1-\delta}\]
É simplesmente o inverso do expoente da TMS.
As curvas de indiferença são mais acentuadas que as da Cobb-Douglas (curvam-se mais perto da origem), refletindo que o consumidor é mais rígido na composição da cesta. Para valores negativos ainda maiores de \(\delta\) (como \(\delta = -5\), \(\sigma = 1/6\)), as curvas se aproximam cada vez mais do formato L dos complementos perfeitos.
Passo 4: comparação numérica. Para ver o efeito de \(\delta\) na prática, comparemos a TMS do caso \(\delta = -1\) (\(\sigma = 1/2\)) com a Cobb-Douglas (\(\delta \to 0\), \(\sigma = 1\)) nos pontos \((2, 4)\) e \((4, 2)\):
Cesta \((x, y)\)
Razão \(y/x\)
Cobb-Douglas (\(\sigma = 1\)): \(TMS = y/x\)
CES com \(\delta = -1\) (\(\sigma = 1/2\)): \(TMS = (y/x)^2\)
\((2, 4)\)
\(4/2 = 2\)
\(2\)
\(2^2 = 4\)
\((4, 2)\)
\(2/4 = 0{,}5\)
\(0{,}5\)
\(0{,}5^2 = 0{,}25\)
Com \(\delta \to 0\) (\(\sigma = 1\)), a TMS varia de 2 para 0,5: uma queda de 4 vezes. Com \(\delta = -1\) (\(\sigma = 1/2\)), a TMS varia de 4 para 0,25: uma queda de 16 vezes. Menor \(\delta\) (menor \(\sigma\)) torna a TMS mais sensível à composição da cesta, refletindo um consumidor mais rígido que resiste a substituir entre os bens.
Verificação rápida: \(\delta = 1\) (substitutos perfeitos). Aplicando as fórmulas gerais ao caso \(U = x + y\):
\[\begin{aligned}
TMS &= \left(\frac{y}{x}\right)^{1-\delta} = \left(\frac{y}{x}\right)^{1-1} = \left(\frac{y}{x}\right)^0 = 1 & & \text{qualquer número elevado a 0 é 1}
\end{aligned}\]
A TMS constante confirma que as curvas de indiferença são retas. A elasticidade infinita indica que qualquer variação mínima de preço relativo leva o consumidor a substituir completamente um bem pelo outro.
Caso \(\delta \to 0\) (Cobb-Douglas):
Quando \(\delta = 0\), a fórmula \(U(x,y) = \frac{x^\delta}{\delta} + \frac{y^\delta}{\delta}\) não está definida (divisão por zero). Mas conforme \(\delta\) se aproxima de zero, a CES se comporta cada vez mais como a Cobb-Douglas \(U = \ln x + \ln y\).
Para ver isso, note que podemos reescrever a CES separando uma constante:
O termo \(1/\delta\) não depende de \(x\) nem de \(y\) — é uma constante aditiva que não altera a ordenação das cestas (a utilidade é ordinal). Portanto, a parte relevante da CES é:
Podemos verificar numericamente para a cesta \((x, y) = (3, 5)\):
Bem \(x = 3\)
Bem \(y = 5\)
Utilidade total
\(\delta\)
CES: \(\frac{3^\delta - 1}{\delta}\)
Limite: \(\ln 3\)
CES: \(\frac{5^\delta - 1}{\delta}\)
Limite: \(\ln 5\)
CES: \(U^*\)
Limite: \(\ln 3 + \ln 5\)
\(0{,}5\)
\(1{,}464\)
\(1{,}099\)
\(2{,}472\)
\(1{,}609\)
\(3{,}936\)
\(2{,}708\)
\(0{,}1\)
\(1{,}161\)
\(1{,}099\)
\(1{,}749\)
\(1{,}609\)
\(2{,}910\)
\(2{,}708\)
\(0{,}01\)
\(1{,}105\)
\(1{,}099\)
\(1{,}614\)
\(1{,}609\)
\(2{,}719\)
\(2{,}708\)
Conforme \(\delta\) diminui, cada coluna converge para o respectivo \(\ln\), e \(U^*\) converge para \(\ln 3 + \ln 5 = 2{,}708\). Essa convergência significa que, para qualquer par de cestas, a CES com \(\delta\) próximo de zero ordena as cestas da mesma forma que a Cobb-Douglas — a Cobb-Douglas não é uma função separada, mas um caso particular da família CES. No limite:
\[U^* \to \ln x + \ln y \qquad \text{(Cobb-Douglas simétrica, } \sigma = 1\text{)}\]
O parâmetro de substituição \(\sigma\) sintetiza a relação entre \(\delta\) e o grau de substituibilidade:
\[\sigma = \frac{1}{1-\delta}\]
Tabela de unificação
\(\delta\) (substituição)
\(\sigma\) (elasticidade)
Função
Formato da curva
\(1\)
\(\infty\)
Substitutos perfeitos (\(U = x + y\))
Reta
\(\to 0\)
\(1\)
Cobb-Douglas (\(U = \ln x + \ln y\))
Hipérbole
\(-1\)
\(1/2\)
CES (\(U = -1/x - 1/y\))
Curva acentuada
\(\to -\infty\)
\(0\)
Complementos perfeitos
Formato L
Quanto maior \(\sigma\), mais facilmente o consumidor troca um bem pelo outro. Quanto menor \(\sigma\), mais rígida é a composição da cesta (Nicholson e Snyder, 2012).
Não confundir: a elasticidade de substituição (\(\sigma\)) e a elasticidade-preço da demanda (\(\varepsilon\)) medem coisas distintas.
Elasticidade de substituição (\(\sigma\))
Elasticidade-preço da demanda (\(\varepsilon\))
O que mede
Facilidade de trocar \(y\) por \(x\) ao longo da curva de indiferença
Sensibilidade da quantidade demandada ao preço de mercado
Contexto
Preferências (antes de considerar preços)
Mercado (preços e quantidades observadas)
Varia ao longo da curva?
Na CES, não — constante por construção (daí o nome)
Geralmente sim — varia ao longo da curva de demanda
Exemplo
Na Cobb-Douglas, \(\sigma = 1\) em qualquer ponto
Na demanda linear \(Q = a - bP\), \(\varepsilon\) vai de \(-\infty\) (preço alto) a \(0\) (preço baixo)
A elasticidade de substituição é uma propriedade da função de utilidade; a elasticidade-preço da demanda é uma propriedade da curva de demanda no mercado.
Implementação em R
Código
suppressPackageStartupMessages({library(ggplot2)library(latex2exp)library(patchwork)})cores_ces <-c("#2c7bb6", "#1a9641", "#d7191c")tema_ces <- ggplot2::theme_minimal(base_size =14) + ggplot2::theme(axis.line = ggplot2::element_line(color ="black", linewidth =0.5),panel.grid.major = ggplot2::element_line(color ="gray90"),panel.grid.minor = ggplot2::element_blank(),plot.title = ggplot2::element_text(size =13, face ="bold", margin = ggplot2::margin(b =8)),axis.title = ggplot2::element_text(size =13),axis.text = ggplot2::element_text(size =11) )# (a) Cobb-Douglas: y = k^2 / xp_cd <- ggplot2::ggplot() + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 2^2/ x, xlim =c(0.5, 8),color = cores_ces[1], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 3^2/ x, xlim =c(0.5, 8),color = cores_ces[2], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 4^2/ x, xlim =c(0.5, 8),color = cores_ces[3], linewidth =1.0 ) + ggplot2::annotate("text", x =7.5, y =4/7.5+0.4,label = latex2exp::TeX(r"($k=2$)"), color = cores_ces[1], size =4.5) + ggplot2::annotate("text", x =7.5, y =9/7.5+0.4,label = latex2exp::TeX(r"($k=3$)"), color = cores_ces[2], size =4.5) + ggplot2::annotate("text", x =7.5, y =16/7.5+0.4,label = latex2exp::TeX(r"($k=4$)"), color = cores_ces[3], size =4.5) + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 8.5)) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 8)) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"((a) $U = x^{\delta}/\delta + y^{\delta}/\delta \rightarrow \ln x + \ln y$ ($\delta \rightarrow 0$, $\sigma = 1$))"),x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),y = latex2exp::TeX(r"($y$)") ) + tema_ces# (b) Substitutos perfeitos: y = k - xp_sp <- ggplot2::ggplot() + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 4- x, xlim =c(0, 4),color = cores_ces[1], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 6- x, xlim =c(0, 6),color = cores_ces[2], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_function(fun = \(x) 8- x, xlim =c(0, 8),color = cores_ces[3], linewidth =1.0 ) + ggplot2::annotate("text", x =2, y =4-2+0.5,label = latex2exp::TeX(r"($k=4$)"), color = cores_ces[1], size =4.5) + ggplot2::annotate("text", x =3, y =6-3+0.5,label = latex2exp::TeX(r"($k=6$)"), color = cores_ces[2], size =4.5) + ggplot2::annotate("text", x =4, y =8-4+0.5,label = latex2exp::TeX(r"($k=8$)"), color = cores_ces[3], size =4.5) + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 8.5)) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 8)) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"((b) $U = x^{\delta}/\delta + y^{\delta}/\delta = x + y$ ($\delta = 1$, $\sigma = \infty$))"),x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),y = latex2exp::TeX(r"($y$)") ) + tema_ces# (c) Complementos perfeitos: L-shapes com vértice em (k, k)# Construir data frame com todos os segmentosdf_cp_segs <-do.call(rbind, lapply(seq_along(c(2, 3, 4)), function(i) { k <-c(2, 3, 4)[i]rbind(data.frame(x = k, y = k, xend =8, yend = k, grupo =paste0("k=", k)),data.frame(x = k, y = k, xend = k, yend =8, grupo =paste0("k=", k)) )}))df_cp_pts <-data.frame(x =c(2, 3, 4), y =c(2, 3, 4),cor = cores_ces)p_cp <- ggplot2::ggplot() + ggplot2::geom_segment(data = df_cp_segs[df_cp_segs$grupo =="k=2", ], ggplot2::aes(x = x, y = y, xend = xend, yend = yend),color = cores_ces[1], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_segment(data = df_cp_segs[df_cp_segs$grupo =="k=3", ], ggplot2::aes(x = x, y = y, xend = xend, yend = yend),color = cores_ces[2], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_segment(data = df_cp_segs[df_cp_segs$grupo =="k=4", ], ggplot2::aes(x = x, y = y, xend = xend, yend = yend),color = cores_ces[3], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_point(data = df_cp_pts, ggplot2::aes(x = x, y = y),color = cores_ces, size =2.5) + ggplot2::annotate("text", x =2.2, y =1.5,label = latex2exp::TeX(r"($k=2$)"), color = cores_ces[1], size =4.5, hjust =0) + ggplot2::annotate("text", x =3.2, y =2.5,label = latex2exp::TeX(r"($k=3$)"), color = cores_ces[2], size =4.5, hjust =0) + ggplot2::annotate("text", x =4.2, y =3.5,label = latex2exp::TeX(r"($k=4$)"), color = cores_ces[3], size =4.5, hjust =0) + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 8.5)) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 8)) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"((c) $U = x^{\delta}/\delta + y^{\delta}/\delta \rightarrow$ min$(x, y)$ ($\delta \rightarrow -\infty$, $\sigma = 0$))"),x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),y = latex2exp::TeX(r"($y$)") ) + tema_ces# (d) CES delta = -1: U = -1/x - 1/y# Isolando y para cada nível de utilidade U:# U = -1: y = x / (x - 1), x > 1# U = -0.75: y = x / (0.75x - 1), x > 4/3# U = -0.5: y = x / (0.5x - 1), x > 2# Pré-computar data frames para evitar singularidadesx_d1 <-seq(1.05, 8, length.out =500)y_d1 <- x_d1 / (x_d1 -1)x_d075 <-seq(1.34, 8, length.out =500)y_d075 <- x_d075 / (0.75* x_d075 -1)x_d05 <-seq(2.05, 8, length.out =500)y_d05 <- x_d05 / (0.5* x_d05 -1)df_ces1 <-data.frame(x = x_d1, y =pmin(y_d1, 8))df_ces075 <-data.frame(x = x_d075, y =pmin(y_d075, 8))df_ces05 <-data.frame(x = x_d05, y =pmin(y_d05, 8))p_ces <- ggplot2::ggplot() + ggplot2::geom_line(data = df_ces1, ggplot2::aes(x = x, y = y),color = cores_ces[1], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_line(data = df_ces075, ggplot2::aes(x = x, y = y),color = cores_ces[2], linewidth =1.0 ) + ggplot2::geom_line(data = df_ces05, ggplot2::aes(x = x, y = y),color = cores_ces[3], linewidth =1.0 ) + ggplot2::annotate("text", x =7, y =7/ (7-1) +0.3,label = latex2exp::TeX(r"($U=-1$)"),color = cores_ces[1], size =4.5 ) + ggplot2::annotate("text", x =6, y =6/ (0.75*6-1) +0.4,label = latex2exp::TeX(r"($U=-0{,}75$)"),color = cores_ces[2], size =4.5 ) + ggplot2::annotate("text", x =5, y =5/ (0.5*5-1) +0.5,label = latex2exp::TeX(r"($U=-0{,}5$)"),color = cores_ces[3], size =4.5 ) + ggplot2::scale_x_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 8.5)) + ggplot2::scale_y_continuous(expand =c(0, 0), limits =c(0, 8)) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"((d) $U = x^{\delta}/\delta + y^{\delta}/\delta = -1/x - 1/y$ ($\delta = -1$, $\sigma = 1/2$))"),x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),y = latex2exp::TeX(r"($y$)") ) + tema_ces(p_cd + p_sp) / (p_cp + p_ces)
Interpretação
A família CES unifica os casos extremos da teoria do consumidor: substituição perfeita (\(\sigma = \infty\), curvas retas), Cobb-Douglas (\(\sigma = 1\), hipérboles), CES com \(\delta = -1\) (\(\sigma = 1/2\), curvas mais fechadas) e complementaridade perfeita (\(\sigma = 0\), formato L). O parâmetro \(\delta\) controla o grau de curvatura das isoquantas.
Na prática empírica, estimar a elasticidade\(\sigma\) é fundamental: revela o grau de substituibilidade entre bens de consumo, entre insumos de produção, ou entre fatores de investimento. Quando \(\sigma\) é alto, pequenas mudanças de preços relativos induzem grandes substituições. Quando \(\sigma\) é próximo de zero, as proporções de consumo são rígidas independentemente dos preços (Nicholson e Snyder, 2018).
Nota 3.6: Preferências homotéticas e não-homotéticas
Preferências são homotéticas quando a TMS depende apenas da razão \(y/x\), não das quantidades absolutas. Isso implica que as curvas de indiferença são “cópias escaladas” umas das outras, e que o consumidor mantém as mesmas proporções de consumo independentemente do nível de renda. Todas as funções estudadas até aqui (Cobb-Douglas, substitutos, complementos, CES) são homotéticas. A função quase-linear, apresentada ao final, é o principal contra-exemplo.
Essa distinção será fundamental no Capítulo 5 (Efeito Renda e Efeito Substituição) (Nicholson e Snyder, 2018): com preferências homotéticas, o efeito renda é proporcional e previsível (as curvas de Engel são retas pela origem). Com preferências não homotéticas (como a quase-linear), o efeito renda pode ser zero para um dos bens, simplificando a análise de bem-estar.
Preferências homotéticas
Baseado no Exemplo 3.3 de Nicholson e Snyder (2012).
Definição: Preferências são homotéticas quando a TMS depende apenas da razão\(y/x\), e não das quantidades absolutas de \(x\) e \(y\).
Consequência geométrica: Ao longo de qualquer raio pela origem (onde \(y/x\) é constante), a TMS é a mesma em todos os pontos. As curvas de indiferença são “cópias escaladas” umas das outras: se escalarmos uma curva por um fator \(t > 0\) (multiplicando ambas as coordenadas por \(t\)), obtemos outra curva de indiferença.
Definição formal:\(U\) é homotética se pode ser escrita como \(U(x,y) = F[f(x,y)]\), onde \(f\) é homogênea de grau \(k\) e \(F\) é uma transformação monotônica crescente.
Verificação para Cobb-Douglas (\(U = x^\alpha y^\beta\)):
Logo \(U\) é homogênea de grau \(\alpha + \beta\).
Passo 2: TMS: \(TMS = \dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{y}{x}\) depende apenas de \(y/x\).
Verificação: Todas as funções estudadas anteriormente são homotéticas:
Cobb-Douglas: \(TMS = (\alpha/\beta)(y/x)\)
Substitutos perfeitos: \(TMS = \alpha/\beta\) (constante, caso especial)
Complementos perfeitos: consumo sempre no vértice \(y/x = \alpha/\beta\)
CES: \(TMS = (y/x)^{1-\delta}\)
Implicação econômica: Se a renda dobra (com preços fixos), o consumidor mantém as mesmas proporções de consumo. As curvas de Engel (quantidade consumida em função da renda) são retas passando pela origem.
Preferências não-homotéticas
Baseado no Exemplo 3.4 de Nicholson e Snyder (2012).
Função quase-linear:\(U(x,y) = x + \ln y\)
Utilidades marginais:
\[U_x = 1, \quad U_y = \frac{1}{y}\]
\[TMS = \frac{U_x}{U_y} = \frac{1}{1/y} = y\]
A TMS depende apenas de \(y\), não de \(x\). Isso significa que a disposição a trocar \(y\) por \(x\) depende apenas da quantidade de \(y\) que o consumidor possui, independentemente de quanta \(x\) tem.
Por que isso viola homoteticidade: Se dobrarmos ambas as quantidades (de \((x, y)\) para \((2x, 2y)\)), a TMS passa de \(y\) para \(2y\), ou seja, dobra. Em preferências homotéticas, a TMS permaneceria constante ao longo do raio.
Curva de indiferença:\(x + \ln y = k \Rightarrow x = k - \ln y\)
Para diferentes valores de \(k\), as curvas são translações horizontais (deslocadas na direção de \(x\) por uma constante \(k_2 - k_1\)).
Implicação econômica:
O bem \(x\) tem utilidade marginal constante (\(U_x = 1\)): funciona como “dinheiro” ou “todos os outros bens”
Aumentos de renda são gastos inteiramente no bem \(x\) (a quantidade ótima de \(y\) não muda com a renda)
Útil para modelar situações em que o interesse é em um bem específico (\(y\)) e o resto do consumo (\(x\)) é tratado como agregado
Passo 2: Verificar não-homoteticidade. A TMS depende apenas de \(y\), não da razão \(y/x\). Se dobrarmos ambas as quantidades: \(TMS\) passa de \(\sqrt{y}\) para \(\sqrt{2y} = \sqrt{2}\sqrt{y}\), ou seja, aumenta por um fator \(\sqrt{2}\). Em preferências homotéticas, permaneceria inalterada. Logo, as preferências são não-homotéticas.
Passo 3: Curva de indiferença para \(U = 4\): \(x + 2\sqrt{y} = 4 \Rightarrow x = 4 - 2\sqrt{y}\). Para \(U = 6\): \(x = 6 - 2\sqrt{y}\). As curvas são deslocamentos horizontais (distância \(= 6 - 4 = 2\)).
Implementação em R
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suppressPackageStartupMessages({library(ggplot2)library(patchwork)library(latex2exp)})# --- Painel (a): Cobb-Douglas (homotética) ---# U = x^0.5 * y^0.5 = k => y = k^2 / xniveis_cd <-c(2, 3, 4)cores_cd <-c("#2c7bb6", "#1a9641", "#d7191c")# Raio y = 2x: pontos de interseção com cada IC# y = k^2 / x e y = 2x => 2x = k^2/x => x^2 = k^2/2 => x = k/sqrt(2)intersecoes_cd <-data.frame(k = niveis_cd,x = niveis_cd /sqrt(2),y = niveis_cd *sqrt(2))# TMS em cada ponto: TMS = y/x = 2 (constante ao longo do raio y = 2x)# Segmento tangente: inclinação = -TMS = -2# Comprimento do segmento: delta_x = 0.4delta_x <-0.4tangentes_cd <- intersecoes_cd |> dplyr::mutate(x0 = x - delta_x,x1 = x + delta_x,y0 = y +2* delta_x,y1 = y -2* delta_x )p1 <- ggplot2::ggplot() + purrr::map(seq_along(niveis_cd), \(i) ggplot2::geom_function(fun = \(x) niveis_cd[i]^2/ x,xlim =c(0.5, 10),color = cores_cd[i],linewidth =0.8 ) ) + ggplot2::geom_abline(slope =2,intercept =0,linetype ="dashed",color ="grey40",linewidth =0.6 ) + ggplot2::geom_point(data = intersecoes_cd,mapping = ggplot2::aes(x = x, y = y),size =2.5,color ="black" ) + purrr::map(seq_len(nrow(tangentes_cd)), \(i) ggplot2::geom_segment(data = tangentes_cd[i, ],mapping = ggplot2::aes(x = x0, xend = x1, y = y0, yend = y1),color = cores_cd[i],linewidth =1.1 ) ) + ggplot2::annotate("text",x =5.8,y =11.5,label ="TMS constante ao longo do raio",size =4.5,color ="grey30",hjust =0.5 ) + ggplot2::scale_x_continuous(limits =c(0, 10),expand =c(0, 0) ) + ggplot2::scale_y_continuous(limits =c(0, 12),expand =c(0, 0) ) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"((a) Cobb-Douglas (homotética): $U = x^{0{,}5}y^{0{,}5}$)"),x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),y = latex2exp::TeX(r"($y$)") ) + ggplot2::theme_minimal(base_size =14) + ggplot2::theme(axis.line = ggplot2::element_line(color ="black", linewidth =0.5),panel.grid.major = ggplot2::element_line(color ="gray90"),panel.grid.minor = ggplot2::element_blank(),plot.title = ggplot2::element_text(size =13, face ="bold", margin = ggplot2::margin(b =8)),axis.title = ggplot2::element_text(size =13),axis.text = ggplot2::element_text(size =11) )# --- Painel (b): Quase-linear (não-homotética) ---# U = x + ln(y) = k => x = k - ln(y)niveis_ql <-c(2, 3, 4)cores_ql <-c("#2c7bb6", "#1a9641", "#d7191c")seq_y <-seq(0.3, 10, length.out =300)curvas_ql <- purrr::map(seq_along(niveis_ql), \(i) data.frame(y = seq_y,x = niveis_ql[i] -log(seq_y),k = niveis_ql[i] )) |> dplyr::bind_rows() |> dplyr::filter(x >=0, x <=6)# Seta horizontal entre k=2 e k=3, em y=1seta <-data.frame(x0 =2, x1 =3, y =1)p2 <- ggplot2::ggplot(curvas_ql, ggplot2::aes(x = x, y = y, color =factor(k))) + ggplot2::geom_line(linewidth =0.8) + ggplot2::geom_segment(data = seta,mapping = ggplot2::aes(x = x0, xend = x1, y = y, yend = y),arrow = ggplot2::arrow(length = ggplot2::unit(0.2, "cm"), ends ="both"),color ="grey30",linewidth =0.6,inherit.aes =FALSE ) + ggplot2::annotate("text",x =2.08,y =1.55,label = latex2exp::TeX(r"($\Delta x = k_2 - k_1$)"),size =4.5,color ="grey30",hjust =0.5 ) + ggplot2::scale_color_manual(values = cores_ql,labels = latex2exp::TeX(c(r"($k=2$)", r"($k=3$)", r"($k=4$)")) ) + ggplot2::scale_x_continuous(limits =c(0, 6),expand =c(0, 0) ) + ggplot2::scale_y_continuous(limits =c(0, 10),expand =c(0, 0) ) + ggplot2::labs(title = latex2exp::TeX(r"((b) Quase-linear (não-homotética): $U = x + \ln y$)"),x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),y = latex2exp::TeX(r"($y$)"),color =NULL ) + ggplot2::theme_minimal(base_size =14) + ggplot2::theme(axis.line = ggplot2::element_line(color ="black", linewidth =0.5),panel.grid.major = ggplot2::element_line(color ="gray90"),panel.grid.minor = ggplot2::element_blank(),plot.title = ggplot2::element_text(size =13, face ="bold", margin = ggplot2::margin(b =8)),axis.title = ggplot2::element_text(size =13),axis.text = ggplot2::element_text(size =11),legend.position ="inside",legend.position.inside =c(0.88, 0.75),legend.text = ggplot2::element_text(size =11) )p1 + p2
Interpretação
Homoteticidade é uma simplificação forte: implica que ricos e pobres consomem na mesma proporção. Na realidade, isso raramente se verifica.
Lei de Engel: à medida que a renda aumenta, a proporção gasta com alimentos diminui. Isso sugere que preferências por alimentos são não-homotéticas (a elasticidade-renda de alimentos é positiva, mas menor que 1; ver Note 2.4 no capítulo anterior).
Funções quase-lineares eliminam o efeito renda para o bem \(y\), simplificando a análise de bem-estar. São frequentemente usadas em modelos de equilíbrio parcial.
Nota 3.7: Aplicação: substituição entre gasolina e etanol
Contexto
O Brasil oferece um caso único para estudar substituição entre combustíveis. Com a introdução dos veículos flex-fuel a partir de 2003, o consumidor brasileiro pode escolher entre gasolina e etanol a cada abastecimento. Essa escolha depende fundamentalmente dos preços relativos e da eficiência energética de cada combustível.
O etanol hidratado tem rendimento energético de aproximadamente 70% em relação à gasolina: um litro de etanol equivale a cerca de 0,7 litros de gasolina em quilômetros percorridos. Isso gera a conhecida regra dos 70%: se o preço do etanol for inferior a 70% do preço da gasolina, compensa abastecer com etanol.
Desenvolvimento Teórico
Modelar a escolha entre gasolina (\(x\)) e etanol (\(y\)) como um problema de preferências.
Se considerarmos os combustíveis como substitutos perfeitos (ajustados pela eficiência), a função de utilidade é:
\[U(x, y) = x + 0{,}7y\]
onde 1 litro de gasolina fornece 1 unidade de “serviço de combustível” e 1 litro de etanol fornece 0,7 unidades.
O consumidor está disposto a trocar 1 litro de gasolina por 1,43 litros de etanol (pois \(1{,}43 \times 0{,}7 \approx 1\)).
Na prática, a substituição não é perfeitamente linear: diferenças de desempenho (arranque a frio), disponibilidade de postos, e preferências por conveniência tornam a substituição imperfeita. Um modelo CES com \(\sigma\) alto (mas finito) seria mais realista (Vedenov, Duffield e Wetzstein, 2006).
Interpretação
Este exemplo conecta com a Note 3.5 (Parte 2): o modelo de substitutos perfeitos é o caso extremo onde o consumidor sempre escolhe o bem com melhor relação preço/rendimento
No Brasil, com a frota flex-fuel, a elasticidade de substituição \(\sigma\) entre gasolina e etanol é muito alta (próxima de substitutos perfeitos). Nos EUA, onde a frota é majoritariamente a gasolina, \(\sigma\) é significativamente menor (Vedenov, Duffield e Wetzstein, 2006)
A “regra dos 70%” é a condição \(p_e/p_g < TMS^{-1} = 0{,}7\), derivada diretamente da função de utilidade \(U = x + 0{,}7y\)
Este modelo pode ser conectado com a elasticidade-preço cruzada discutida no capítulo anterior
Referências
JEHLE, G. A.; RENY, P. J. Advanced Microeconomic Theory. 3. ed. [s.l.] Pearson Education, 2011.
MAS-COLELL, A.; WHINSTON, M. D.; GREEN, J. R. Microeconomic Theory. [s.l.] Oxford University Press, 1995.
NICHOLSON, W.; SNYDER, C. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 11. ed. [s.l.] South-Western, Cengage Learning, 2012.
___. Teoria microeconômica: princı́pios básicos e aplicações. [s.l.] Cengage Learning Edições, 2018.
PERLOFF, J. M. Microeconomics with Calculus, Global Edition. 5. ed. [s.l.] Pearson, 2022.
VEDENOV, D. V.; DUFFIELD, J. A.; WETZSTEIN, M. E. Entry of Alternative Fuels in a Volatile U.S. Gasoline Market. Journal of Agricultural and Resource Economics, v. 31, n. 1, p. 1–13, 2006.
