Efeitos Renda e Substituição

Autor

Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Data de Publicação

2026-04-30

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Nota 5.1: Homogeneidade das funções de demanda

Símbolo	Significado
$x^*(p_x, p_y, I)$	função de demanda Marshalliana do bem $x$
$y^*(p_x, p_y, I)$	função de demanda Marshalliana do bem $y$
$t > 0$	fator de escala comum aplicado a preços e renda
grau 0	$f(t \cdot \text{args}) = t^0 f(\text{args}) = f(\text{args})$

Desenvolvimento Teórico

Uma propriedade central das funções de demanda Marshallianas é que elas são homogêneas de grau zero em preços e renda. Formalmente, para qualquer fator de escala $t > 0$:

\[x^*(t p_x, t p_y, t I) = x^*(p_x, p_y, I)\]

\[y^*(t p_x, t p_y, t I) = y^*(p_x, p_y, I)\]

A intuição é direta: se todos os preços e a renda do consumidor são multiplicados pelo mesmo fator, nem os preços relativos nem o poder de compra real mudam — portanto, a cesta ótima escolhida também não muda (Nicholson e Snyder, 2012).

A prova formal vem diretamente da restrição orçamentária. Considere o conjunto de cestas factíveis aos preços e renda originais:

\[\begin{aligned} p_x x + p_y y &= I & & \text{restrição orçamentária original} \end{aligned}\]

Agora multiplique todos os preços e a renda por $t > 0$ e escreva a nova restrição:

\[\begin{aligned} t p_x x + t p_y y &= t I & & \text{multiplicando tudo por } t \\[6pt] t (p_x x + p_y y) &= t I & & \text{fatorando } t \text{ no lado esquerdo} \\[6pt] p_x x + p_y y &= I & & \text{dividindo ambos os lados por } t \end{aligned}\]

A nova restrição é algebricamente idêntica à original. Como o conjunto factível não se altera e as preferências do consumidor também não dependem dos valores monetários dos preços, o problema de maximização é o mesmo — e, portanto, a cesta ótima é a mesma.

Geometricamente, a reta orçamentária não muda: nem a inclinação $-p_x/p_y$ (pois $-t p_x / t p_y = -p_x/p_y$) nem os interceptos $I/p_x$ e $I/p_y$ (pois $t I / t p_x = I / p_x$) são afetados pela escala comum. O consumidor vê exatamente a mesma fronteira de oportunidades (Nicholson e Snyder, 2012).

Exercício Resolvido

Considere a função utilidade Cobb-Douglas $U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}$, cujas demandas Marshallianas são:

\[x^*(p_x, p_y, I) = \frac{0{,}5 \, I}{p_x}, \qquad y^*(p_x, p_y, I) = \frac{0{,}5 \, I}{p_y}\]

Vamos verificar algebricamente que $x^*$ é homogênea de grau zero. Substituindo os argumentos escalados:

\[\begin{aligned} x^*(t p_x, t p_y, t I) &= \frac{0{,}5 \cdot (t I)}{t p_x} & & \text{aplicando a fórmula nos argumentos escalados} \\[6pt] &= \frac{t \cdot 0{,}5 \, I}{t \, p_x} & & \text{reorganizando o produto} \\[6pt] &= \frac{0{,}5 \, I}{p_x} & & \text{cancelando } t \text{ no numerador e denominador} \\[6pt] &= x^*(p_x, p_y, I) & & \text{igual ao caso original} \end{aligned}\]

O mesmo raciocínio vale para $y^*$. Portanto, escalar preços e renda pelo mesmo fator $t$ não altera as quantidades demandadas.

Verificação numérica. Tomemos o cenário base $p_x = 1$, $p_y = 4$, $I = 8$ e comparemos com a versão dobrada ($t = 2$):

Cenário	$t$	$p_x$	$p_y$	$I$	$x^* = 0{,}5 I / p_x$	$y^* = 0{,}5 I / p_y$	$U^* = \sqrt{x^* y^*}$
Original	1	1	4	8	4	1	2
Escalado	2	2	8	16	4	1	2

As quantidades ótimas são idênticas: $x^* = 4$ e $y^* = 1$ em ambos os cenários, confirmando a homogeneidade de grau zero.

Implementação em R

Código

# Painel (a): cenário original — p_x = 1, p_y = 4, I = 8
# Reta: x + 4y = 8 => intercepto horizontal x = 8, vertical y = 2
p1 <- ggplot() +
  geom_segment(
    aes(x = 0, y = 2, xend = 8, yend = 0),
    color = "blue", linewidth = 1.1
  ) +
  geom_point(
    aes(x = 4, y = 1),
    color = "red", size = 3.5
  ) +
  annotate("text", x = 4.5, y = 1.4,
           label = latex2exp::TeX(r"($(x^*, y^*) = (4, 1)$)"),
           size = 4, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 5.5, y = 1.9,
           label = latex2exp::TeX(r"($x + 4y = 8$)"),
           size = 4, color = "blue") +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 9),
    breaks = seq(0, 8, 2)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 3),
    breaks = seq(0, 3, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"($y$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"((a) Original: $p_x = 1$, $p_y = 4$, $I = 8$)")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

# Painel (b): cenário escalado (t = 2) — p_x = 2, p_y = 8, I = 16
# Reta: 2x + 8y = 16 => intercepto horizontal x = 8, vertical y = 2 (idêntica)
p2 <- ggplot() +
  geom_segment(
    aes(x = 0, y = 2, xend = 8, yend = 0),
    color = "darkgreen", linewidth = 1.1
  ) +
  geom_point(
    aes(x = 4, y = 1),
    color = "red", size = 3.5
  ) +
  annotate("text", x = 4.5, y = 1.4,
           label = latex2exp::TeX(r"($(x^*, y^*) = (4, 1)$)"),
           size = 4, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 5.5, y = 1.9,
           label = latex2exp::TeX(r"($2x + 8y = 16$)"),
           size = 4, color = "darkgreen") +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 9),
    breaks = seq(0, 8, 2)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 3),
    breaks = seq(0, 3, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"($y$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"((b) Escalado ($t = 2$): $p_x = 2$, $p_y = 8$, $I = 16$)")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

p1 + p2

Interpretação

A homogeneidade de grau zero tem uma implicação econômica direta: uma inflação “pura”, em que todos os preços e a renda nominal variam na mesma proporção, não altera as quantidades demandadas. A demanda depende dos preços relativos ($p_x/p_y$) e da renda real ($I/p_x$, $I/p_y$), nunca de valores monetários absolutos. Trocar reais por centavos multiplicando tudo por 100 resultaria na mesma cesta ótima.

O contraste com uma inflação não-uniforme é essencial: quando apenas alguns preços sobem, ou sobem em proporções diferentes, os preços relativos mudam e a reta orçamentária gira, alterando a cesta ótima. Os próximos callouts (Note 5.2, Note 5.3) exploram esses casos, em que a homogeneidade não se aplica porque o choque não é uniforme.

Nota 5.2: Variações na renda: bens normais e inferiores

Símbolo	Significado
$I_1 < I_2 < I_3$	níveis crescentes de renda (preços fixos)
$\partial x^*/\partial I$	variação da demanda Marshalliana do bem $x$ em resposta à renda
$\partial x^*/\partial I \geq 0$	bem normal — consumo não diminui quando a renda sobe
$\partial x^*/\partial I < 0$	bem inferior — consumo cai quando a renda sobe
curva de Engel	relação $x^*(I)$ com $p_x$ e $p_y$ fixos

Desenvolvimento Teórico

Uma variação na renda nominal $I$, mantendo os preços $p_x$ e $p_y$ constantes, produz um deslocamento paralelo da reta orçamentária. A inclinação $-p_x/p_y$ permanece inalterada — afinal, os preços relativos não mudaram — mas os dois interceptos, $I/p_x$ no eixo horizontal e $I/p_y$ no eixo vertical, escalam proporcionalmente com $I$. Um aumento na renda empurra a reta orçamentária para fora (paralelamente a si mesma); uma queda na renda a empurra para dentro (Nicholson e Snyder, 2012).

Como o conjunto factível se expande (ou contrai) sem que os preços relativos se alterem, a nova cesta ótima é a tangência entre a nova reta orçamentária e uma curva de indiferença diferente. A Fig. 5.1 de Nicholson e Snyder (2012) ilustra esse movimento com três rendas crescentes $I_1 < I_2 < I_3$, gerando três retas paralelas e três pontos de tangência — um em cada curva de indiferença sucessivamente mais elevada. Unindo esses pontos ótimos no plano $(x, y)$, obtém-se a curva renda-consumo (income expansion path).

Formalmente, define-se:

\[\begin{aligned} \text{bem normal:} & \quad \frac{\partial x^*}{\partial I} \geq 0 \\[6pt] \text{bem inferior:} & \quad \frac{\partial x^*}{\partial I} < 0 \end{aligned}\]

Um bem é normal quando seu consumo aumenta (ou ao menos não diminui) com a renda; é inferior quando seu consumo efetivamente cai quando a renda sobe. Note que a classificação é local — um mesmo bem pode ser normal em certas faixas de renda e inferior em outras. A Fig. 5.2 de Nicholson e Snyder (2012) mostra o caso de um bem inferior: quando a renda passa de $I_2$ para $I_3$, a tangência se desloca para a esquerda no eixo $x$, indicando que $\partial x^*/\partial I < 0$. Esse padrão exige preferências não-homotéticas — curvas de indiferença cujas inclinações ao longo de um raio saído da origem não se repetem (Nicholson e Snyder, 2012).

Fixando $p_x$ e $p_y$, a função $x^*(I)$ — com $p_x, p_y$ como parâmetros — é chamada de curva de Engel do bem $x$. Ela é o análogo, no espaço renda-quantidade, da curva de demanda no espaço preço-quantidade: registra como a quantidade ótima de $x$ responde a variações exclusivas da renda. Curvas de Engel crescentes correspondem a bens normais; curvas decrescentes (em alguma faixa), a bens inferiores.

Exercício Resolvido

Considere a função utilidade Cobb-Douglas $U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}$, com preços $p_x = 1$ e $p_y = 4$.

Para a Cobb-Douglas $U = x^\alpha y^\beta$ com $\alpha + \beta = 1$, a derivação via Lagrangiano (ver Note 4.5) produz as demandas Marshallianas $x^* = \alpha I/p_x$ e $y^* = \beta I/p_y$. Com $\alpha = \beta = 0{,}5$ (fio-condutor deste capítulo):

\[x^*(p_x, p_y, I) = \frac{0{,}5 \, I}{p_x}, \qquad y^*(p_x, p_y, I) = \frac{0{,}5 \, I}{p_y}\]

Derivando $x^*$ em relação a $I$:

\[\begin{aligned} x^*(p_x, p_y, I) &= \frac{0{,}5 \, I}{p_x} & & \text{demanda Marshalliana Cobb-Douglas} \\[6pt] \frac{\partial x^*}{\partial I} &= \frac{0{,}5}{p_x} & & \text{derivada parcial em relação a } I \\[6pt] &= \frac{0{,}5}{1} = 0{,}5 > 0 & & \text{avaliada em } p_x = 1 \end{aligned}\]

Como $\partial x^*/\partial I = 0{,}5 > 0$ para qualquer $p_x > 0$, o bem $x$ é normal. O mesmo raciocínio aplicado a $y^*$ mostra que $y$ também é normal. Esse é um resultado geral: a forma funcional Cobb-Douglas sempre produz bens normais, pois as frações de gasto $\alpha = 0{,}5$ e $1 - \alpha = 0{,}5$ são positivas e constantes.

Tabela numérica. Variando a renda em $I \in \{4, 8, 12\}$ com $p_x = 1$ e $p_y = 4$:

$I$	$x^* = 0{,}5 I / p_x$	$y^* = 0{,}5 I / p_y$	$U^* = \sqrt{x^* y^*}$
4	2	0,5	1
8	4	1	2
12	6	1,5	3

Observe que, para Cobb-Douglas, a curva de Engel é linear e passa pela origem — a relação entre $x^*$ e $I$ é $x^* = 0{,}5 \, I$, com inclinação constante igual a $0{,}5/p_x$. Dobrar a renda dobra a quantidade demandada de cada bem; triplicar triplica. A elasticidade-renda é unitária.

Implementação em R

Código

# Painel (a): réplica da Fig 5.1 — mapa de indiferença com 3 tangências
# Curvas de indiferença Cobb-Douglas U = sqrt(x y)  =>  y = U^2 / x
#   U = 1 => y = 1/x ; U = 2 => y = 4/x ; U = 3 => y = 9/x
# Retas orçamentárias (p_x = 1, p_y = 4):
#   I = 4  => de (0, 1) a (4, 0)
#   I = 8  => de (0, 2) a (8, 0)
#   I = 12 => de (0, 3) a (12, 0)
# Tangências: (2, 0.5), (4, 1), (6, 1.5) — sobre a reta renda-consumo

p_a <- ggplot() +
  # Curvas de indiferença
  geom_function(fun = \(x) 1 / x, xlim = c(0.35, 13),
                color = "blue", linewidth = 0.8) +
  geom_function(fun = \(x) 4 / x, xlim = c(1.35, 13),
                color = "blue", linewidth = 0.8) +
  geom_function(fun = \(x) 9 / x, xlim = c(2.3,  13),
                color = "blue", linewidth = 0.8) +
  # Retas orçamentárias paralelas
  geom_segment(aes(x = 0, y = 1, xend = 4,  yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.9) +
  geom_segment(aes(x = 0, y = 2, xend = 8,  yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.9) +
  geom_segment(aes(x = 0, y = 3, xend = 12, yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.9) +
  # Curva renda-consumo (tracejada, passa pela origem)
  geom_segment(aes(x = 0, y = 0, xend = 6, yend = 1.5),
               color = "red", linewidth = 0.6, linetype = "dashed") +
  # Pontos ótimos
  geom_point(aes(x = c(2, 4, 6), y = c(0.5, 1, 1.5)),
             color = "red", size = 3.5) +
  # Rótulos dos níveis de renda e utilidade
  annotate("text", x = 2.2, y = 0.7,
           label = latex2exp::TeX(r"($I_1 = 4$)"),
           size = 3.8, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 4.2, y = 1.2,
           label = latex2exp::TeX(r"($I_2 = 8$)"),
           size = 3.8, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 6.2, y = 1.75,
           label = latex2exp::TeX(r"($I_3 = 12$)"),
           size = 3.8, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 9.5, y = 1.1,
           label = latex2exp::TeX(r"($U = 3$)"),
           size = 3.5, color = "blue", hjust = 0) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 13),
    breaks = seq(0, 12, 2)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 3.5),
    breaks = seq(0, 3, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"($y$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"((a) Deslocamento paralelo da reta orçamentária)")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

# Painel (b): curva de Engel no plano (x^*, I).
# Relação: x^* = 0,5 I / p_x  <=>  I = 2 p_x x^*  (com p_x = 1: I = 2 x^*).
# Pontos: (x^*, I) = (2, 4), (4, 8), (6, 12).
# Eixo horizontal alinhado ao painel (a): 0 a 13.
p_b <- ggplot() +
  geom_abline(slope = 2, intercept = 0,
              color = "red", linewidth = 1) +
  geom_point(aes(x = c(2, 4, 6), y = c(4, 8, 12)),
             color = "red", size = 3.5) +
  annotate("text", x = 2.3, y = 3.0,
           label = latex2exp::TeX(r"($(2, 4)$)"),
           size = 3.8, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 4.3, y = 7.0,
           label = latex2exp::TeX(r"($(4, 8)$)"),
           size = 3.8, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 6.3, y = 11.0,
           label = latex2exp::TeX(r"($(6, 12)$)"),
           size = 3.8, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 1, y = 13.5,
           label = latex2exp::TeX(r"($I = 2 \, p_x \, x^* \Leftrightarrow x^* = 0{,}5 \, I / p_x$)"),
           size = 4.2, color = "red", hjust = 0) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 13),
    breaks = seq(0, 12, 2)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 16),
    breaks = seq(0, 16, 4)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"(Quantidade $x^*$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"(Renda $I$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"((b) Curva de Engel (linear para Cobb-Douglas))")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

p_a + p_b

Interpretação

A Cobb-Douglas gera, por construção, apenas bens normais com elasticidade-renda unitária: as frações de gasto são constantes ($\alpha$ e $1-\alpha$), de modo que dobrar a renda dobra exatamente as quantidades demandadas. A curva de Engel resulta linear, passando pela origem. A existência de bens inferiores ($\partial x^*/\partial I < 0$) exige preferências não-homotéticas, nas quais a taxa marginal de substituição varia ao longo de um raio saído da origem. Exemplos clássicos: batata vs. carne, ônibus vs. carro, roupa usada vs. nova. À medida que a renda sobe, o consumidor migra para o substituto superior.

A análise de como o consumo responde à renda remonta ao estatístico Ernst Engel (1821–1896), cuja Lei de Engel documentou empiricamente que a fração do orçamento familiar destinada à alimentação diminui à medida que a renda aumenta, mesmo que o gasto absoluto com alimentação cresça. Alimentação tem, portanto, elasticidade-renda positiva mas menor que 1.

A Cobb-Douglas produz frações de gasto constantes, contradizendo frontalmente a Lei de Engel. Por isso, trabalhos aplicados (estimação de sistemas de demanda, análise de pobreza, tributação ótima) adotam formas funcionais mais flexíveis como Stone-Geary, CES generalizada, AIDS e QUAIDS, capazes de acomodar elasticidades-renda variáveis e a distinção empírica entre bens normais, inferiores e de luxo.

Nota 5.3: Efeitos renda e substituição de uma variação de preço

Símbolo	Significado
ET	efeito total $= \Delta x$ entre cesta inicial ($A$) e final ($C$)
ES	efeito substituição — movimento ao longo de $U_1$ ($A \to B$)
ER	efeito renda — mudança de $U_1$ para $U_2$ ($B \to C$)
$U_1$	curva de indiferença original (antes da variação de preço)
$U_2$	curva de indiferença final (após a variação de preço)
$x_B$	cesta auxiliar — novos preços relativos com utilidade original $U_1$
ET = ES + ER	identidade de decomposição

Desenvolvimento Teórico

Diferentemente de uma variação na renda (que só desloca paralelamente a reta orçamentária) ou de uma variação proporcional em todos os preços (que não altera nada, pela homogeneidade), uma variação em um único preço $p_x$ altera simultaneamente a inclinação $-p_x/p_y$ e a posição da reta orçamentária. A nova cesta ótima pode diferir da anterior por duas razões distintas, que a análise de Hicks propõe separar conceitualmente (Nicholson e Snyder, 2012).

Para isso, a decomposição usa três cestas de referência, que aparecem marcadas nas Figs. 5.3 e 5.4 de Nicholson e Snyder (2012) e no gráfico em R ao final deste callout:

Ponto $A = (x^*_A, y^*_A)$: cesta inicial, escolhida aos preços antigos e com renda $I$. Situa-se sobre a reta orçamentária original e sobre a curva de indiferença $U_1$.
Ponto $B = (x_B, y_B)$: cesta auxiliar, construída por um exercício mental. Aos preços novos, mas com a renda ajustada (compensada) de forma que o consumidor ainda atinja a utilidade original $U_1$. Geometricamente, $B$ é o ponto de tangência entre $U_1$ e uma reta orçamentária com a nova inclinação $-p_x'/p_y$.
Ponto $C = (x^*_C, y^*_C)$: cesta final, efetivamente escolhida aos preços novos com a renda original $I$. Situa-se sobre a nova reta orçamentária e sobre uma nova curva de indiferença $U_2$.

O movimento observado no mundo é $A \to C$ (do antes ao depois da variação de preço). A análise de Hicks insere o ponto $B$ como um intermediário conceitual que permite decompor esse movimento em duas parcelas:

Efeito substituição (ES), $A \to B$: mesmo se a renda fosse ajustada (compensada) para manter a utilidade original $U_1$, o consumidor realocaria sua cesta porque os preços relativos mudaram. Graficamente, isso corresponde a uma reta orçamentária auxiliar paralela à nova reta mas tangente a $U_1$, cujo ponto de tangência é $B$. O movimento $A \to B$ ocorre sempre no sentido contrário à variação do preço: se $p_x$ sobe, $x_B < x^*_A$; se $p_x$ cai, $x_B > x^*_A$.
Efeito renda (ER), $B \to C$: removida a compensação hipotética, o consumidor dispõe apenas de sua renda original $I$ — que agora compra uma cesta menor (alta de preço) ou maior (queda). A reta orçamentária se move paralelamente à auxiliar até a nova reta orçamentária verdadeira, e a cesta ótima se desloca de $B$ para $C$, situando-se na nova curva de indiferença $U_2$. O sinal deste efeito depende de o bem ser normal ou inferior.

A Fig. 5.3 de Nicholson e Snyder (2012) ilustra o caso de uma queda de preço ($\Delta p_x < 0$): a reta orçamentária gira para fora no eixo $x$, o consumidor se move para uma curva de indiferença superior ($U_2 > U_1$), e a cesta ótima desloca-se para a direita. A Fig. 5.4 mostra o caso simétrico de alta de preço ($\Delta p_x > 0$): a reta gira para dentro, o consumidor se move para uma curva inferior ($U_2 < U_1$), e a cesta desloca-se para a esquerda. Em ambos, a reta auxiliar tangente a $U_1$ isola o efeito substituição.

O sinal de cada efeito segue uma lógica clara (Nicholson e Snyder, 2012):

ES tem sinal oposto ao da variação do preço — é uma consequência da curvatura (convexidade) das curvas de indiferença e não depende das preferências específicas.
ER tem sinal que depende do tipo de bem. Para bens normais, uma alta de preço reduz a renda real e reduz o consumo de $x$ (ER negativo) — reforça o ES. Para bens inferiores, uma alta de preço reduz a renda real e aumenta o consumo de $x$ (ER positivo) — antagoniza o ES. Em casos extremos (bens Giffen), o ER é tão forte que domina o ES, invertendo o sinal do efeito total: a demanda passa a ter inclinação positiva.

Tabela-resumo dos sinais (para queda de preço, $\Delta p_x < 0$):

Tipo de bem	ES	ER	ET
Normal	$+$	$+$	$+$
Inferior	$+$	$-$	indeterminado (em geral $+$)
Giffen	$+$	$-$ (forte)	$-$ (demanda sobe quando preço sobe)

Para um aumento de preço ($\Delta p_x > 0$), todos os sinais se invertem: ES é negativo para qualquer bem; ER é negativo para normais, positivo para inferiores; e ET é negativo para normais, indeterminado para inferiores, positivo para Giffen.

Exercício Resolvido

Cenário: Cobb-Douglas $U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}$, com $p_y = 4$ e $I = 8$. O preço $p_x$ sobe de $1$ para $4$.

Passo 1 — cesta inicial (ponto $A$). Com $p_x = 1$, $p_y = 4$, $I = 8$, aplicamos as demandas Marshallianas Cobb-Douglas $x^* = 0{,}5 \, I / p_x$ e $y^* = 0{,}5 \, I / p_y$ (derivadas em Note 5.2):

\[\begin{aligned} x^*_A &= \frac{0{,}5 \, I}{p_x} = \frac{0{,}5 \cdot 8}{1} = 4 & & \text{demanda Marshalliana de } x \text{ aos preços antigos} \\[6pt] y^*_A &= \frac{0{,}5 \, I}{p_y} = \frac{0{,}5 \cdot 8}{4} = 1 & & \text{demanda Marshalliana de } y \\[6pt] U_1 &= \sqrt{x^*_A \cdot y^*_A} = \sqrt{4 \cdot 1} = 2 & & \text{utilidade no ótimo inicial} \end{aligned}\]

Portanto $A = (4, 1)$ está sobre a curva de indiferença $U_1 = 2$, dada por $y = 4/x$.

Passo 2 — cesta auxiliar (ponto $B$). Denote por $(x_B, y_B)$ as quantidades consumidas de $x$ e $y$ no ponto $B$. Este ponto é definido geometricamente como a tangência entre a curva de indiferença original $U_1 = 2$ e uma reta orçamentária com a nova inclinação $-p_x'/p_y$. Para localizá-lo, impomos duas condições simultâneas:

tangência aos novos preços: $TMS = p_x'/p_y$, onde $p_x' = 4$ é o novo preço;
utilidade constante em $U_1$: $U(x_B, y_B) = U_1$.

Para a Cobb-Douglas $U = x^{0{,}5} y^{0{,}5}$, a taxa marginal de substituição em um par genérico $(x, y)$ é $TMS = U_x/U_y = y/x$ (derivada em Note 5.2). Avaliando em $B$, temos $TMS = y_B/x_B$. O sistema fica:

\[\begin{aligned} \frac{y_B}{x_B} &= \frac{p_x'}{p_y} = \frac{4}{4} = 1 & & \text{(i) tangência em } B \text{ aos novos preços} \\[6pt] \sqrt{x_B \cdot y_B} &= U_1 = 2 & & \text{(ii) } B \text{ sobre a mesma curva de indiferença que } A \end{aligned}\]

Da condição (i): $y_B/x_B = 1 \Rightarrow y_B = x_B$ (as quantidades de $x$ e $y$ em $B$ são iguais). Substituindo esse resultado na condição (ii) e resolvendo passo a passo:

\[\begin{aligned} \sqrt{x_B \cdot y_B} &= 2 & & \text{condição (ii): utilidade constante em } U_1 \\[6pt] \left(\sqrt{x_B \cdot y_B}\right)^2 &= 2^2 & & \text{elevando ambos os lados ao quadrado} \\[6pt] x_B \cdot y_B &= 4 & & \text{pois } \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \text{ e } 2^2 = 4 \\[6pt] x_B \cdot x_B &= 4 & & \text{substituindo } y_B = x_B \text{ da condição (i)} \\[6pt] x_B^2 &= 4 & & \text{pois } x_B \cdot x_B = x_B^2 \\[6pt] x_B &= \sqrt{4} = 2 & & \text{extraindo a raiz quadrada positiva (} x_B > 0 \text{)} \\[6pt] y_B &= x_B = 2 & & \text{pois } y_B = x_B \text{ (tangência) e } x_B = 2 \end{aligned}\]

Portanto $B = (2, 2)$, sobre $U_1 = 2$ (verificação: $\sqrt{2 \cdot 2} = 2$ ✓). A reta orçamentária auxiliar é a que passa por $B$ com inclinação $-p_x'/p_y = -1$. Aos novos preços, o gasto em $B$ é $4 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 16$, de modo que a reta auxiliar é $4x + 4y = 16$ — correspondente a uma renda compensada hipotética $I_{aux} = 16$ (comparada à renda original $I = 8$).

Passo 3 — cesta final (ponto $C$). Aos novos preços e com a renda original $I = 8$, aplicamos novamente as demandas Marshallianas $x^*$ e $y^*$:

\[\begin{aligned} x^*_C &= \frac{0{,}5 \, I}{p_x} = \frac{0{,}5 \cdot 8}{4} = 1 & & \text{demanda Marshalliana de } x \text{ aos preços novos} \\[6pt] y^*_C &= \frac{0{,}5 \, I}{p_y} = \frac{0{,}5 \cdot 8}{4} = 1 & & \text{demanda Marshalliana de } y \\[6pt] U_2 &= \sqrt{x^*_C \cdot y^*_C} = \sqrt{1 \cdot 1} = 1 & & \text{utilidade no ótimo final (inferior a } U_1\text{)} \end{aligned}\]

Portanto $C = (1, 1)$ está sobre a curva de indiferença $U_2 = 1$, dada por $y = 1/x$. Como esperado para uma alta de preço, $U_2 < U_1$: o consumidor fica em pior situação.

Passo 4 — decomposição do efeito sobre $x$:

\[\begin{aligned} \text{ES} &= x_B - x^*_A = 2 - 4 = -2 & & \text{efeito substituição } (A \to B) \\[6pt] \text{ER} &= x^*_C - x_B = 1 - 2 = -1 & & \text{efeito renda } (B \to C) \\[6pt] \text{ET} &= x^*_C - x^*_A = 1 - 4 = -3 & & \text{efeito total } (A \to C) \end{aligned}\]

Verificação numérica: $\text{ES} + \text{ER} = -2 + (-1) = -3 = \text{ET}$ ✓.

Ambos os efeitos são negativos, confirmando que $x$ é um bem normal na Cobb-Douglas: a alta de preço reduz o consumo de $x$ tanto pelo canal da substituição (fica relativamente mais caro que $y$) quanto pelo canal da renda (a renda real cai, e por ser normal, menos $x$ é demandado). Os dois efeitos se reforçam, produzindo uma variação total grande ($-3$ em uma cesta inicial de $4$, ou seja, uma queda de 75%).

Implementação em R

Código

# Réplica da Fig 5.4 de Nicholson — aumento de preço p_x: 1 -> 4
# Curvas de indiferença Cobb-Douglas U = sqrt(xy) => y = U^2/x
#   U_1 = 2 => y = 4/x (curva original, passa por A = (4,1) e B = (2,2))
#   U_2 = 1 => y = 1/x (curva final,    passa por C = (1,1))
# Retas orçamentárias:
#   Original (p_x=1, p_y=4, I=8):  x + 4y = 8   -> de (0,2) a (8,0)
#   Nova     (p_x=4, p_y=4, I=8):  4x + 4y = 8  -> de (0,2) a (2,0)
#   Auxiliar (novos preços, renda compensada I_aux = 16, tangente a U_1 em B):
#              4x + 4y = 16 -> de (0,4) a (4,0)

ggplot() +
  # Eixos explícitos em x = 0 e y = 0 (retas orçamentárias terminam em y = 0,
  # enquanto o painel se estende até y = -0,8 para acomodar os colchetes ES/ER)
  geom_hline(yintercept = 0, color = "black", linewidth = 0.8) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "black", linewidth = 0.8) +
  # Curvas de indiferença
  geom_function(fun = \(x) 4 / x, xlim = c(0.35, 8.5),
                color = "blue", linewidth = 0.9) +
  geom_function(fun = \(x) 1 / x, xlim = c(0.15, 8.5),
                color = "blue", linewidth = 0.9) +
  # Reta orçamentária original: x + 4y = 8
  geom_segment(aes(x = 0, y = 2, xend = 8, yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.9) +
  # Nova reta orçamentária: 4x + 4y = 8 (mais íngreme)
  geom_segment(aes(x = 0, y = 2, xend = 2, yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.9) +
  # Reta auxiliar (renda compensada): 4x + 4y = 16, tangente a U_1 em B
  geom_segment(aes(x = 0, y = 4, xend = 4, yend = 0),
               color = "gray40", linewidth = 0.7, linetype = "dashed") +
  # Pontos A, B, C
  geom_point(aes(x = 4, y = 1), color = "red",       size = 3.5) +
  geom_point(aes(x = 2, y = 2), color = "darkgreen", size = 3.5) +
  geom_point(aes(x = 1, y = 1), color = "purple",    size = 3.5) +
  # Rótulos dos pontos
  annotate("text", x = 4.35, y = 1.25, label = "A = (4, 1)",
           color = "red",       size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 2.25, y = 2.30, label = "B = (2, 2)",
           color = "darkgreen", size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 1.25, y = 1.30, label = "C = (1, 1)",
           color = "purple",    size = 4, hjust = 0) +
  # Rótulos das curvas de indiferença
  annotate("text", x = 7.6, y = 4 / 7.6 + 0.25,
           label = latex2exp::TeX(r"($U_1 = 2$)"),
           color = "blue", size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 7.6, y = 1 / 7.6 + 0.25,
           label = latex2exp::TeX(r"($U_2 = 1$)"),
           color = "blue", size = 4, hjust = 0) +
  # Caixa com parâmetros do exercício no canto superior direito
  annotate("rect", xmin = 5.15, xmax = 8.95,
           ymin = 2.25, ymax = 4.92,
           fill = "grey97", color = "grey60",
           linewidth = 0.3, alpha = 0.9) +
  annotate("text", x = 5.35, y = 4.70,
           label = "Parâmetros:",
           hjust = 0, size = 3.8, fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 5.35, y = 4.37,
           label = latex2exp::TeX(r"($U(x, y) = \sqrt{x \, y}$)"),
           hjust = 0, size = 3.6) +
  annotate("text", x = 5.35, y = 4.07,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_y = 4, \; I = 8$)"),
           hjust = 0, size = 3.6) +
  annotate("text", x = 5.35, y = 3.77,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x: 1 \rightarrow 4$ \ (\it{aumento}))"),
           hjust = 0, size = 3.6) +
  annotate("text", x = 5.35, y = 3.35,
           label = "Retas orçamentárias:",
           hjust = 0, size = 3.8, fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 5.35, y = 3.05,
           label = latex2exp::TeX(r"(Original: $1x + 4y = 8$)"),
           hjust = 0, size = 3.4) +
  annotate("text", x = 5.35, y = 2.75,
           label = latex2exp::TeX(r"(Nova: $4x + 4y = 8$)"),
           hjust = 0, size = 3.4) +
  annotate("text", x = 5.35, y = 2.45,
           label = latex2exp::TeX(r"(Auxiliar: $4x + 4y = 16$ \ (\it{pontilhada}))"),
           hjust = 0, size = 3.4) +
  # Projeções tracejadas dos pontos até o eixo x
  geom_segment(aes(x = 1, y = 0, xend = 1, yend = 1),
               color = "purple",    linewidth = 0.4, linetype = "dotted") +
  geom_segment(aes(x = 2, y = 0, xend = 2, yend = 2),
               color = "darkgreen", linewidth = 0.4, linetype = "dotted") +
  geom_segment(aes(x = 4, y = 0, xend = 4, yend = 1),
               color = "red",       linewidth = 0.4, linetype = "dotted") +
  # Colchete ES: de x_B = 2 a x*_A = 4 (efeito substituição)
  annotate("segment", x = 2, xend = 4, y = -0.35, yend = -0.35,
           color = "darkgreen", linewidth = 0.8,
           arrow = arrow(ends = "both", length = unit(0.15, "cm"))) +
  annotate("text", x = 3, y = -0.60,
           label = latex2exp::TeX(r"(ES $= -2$)"),
           color = "darkgreen", size = 3.8) +
  # Colchete ER: de x*_C = 1 a x_B = 2 (efeito renda)
  annotate("segment", x = 1, xend = 2, y = -0.35, yend = -0.35,
           color = "purple", linewidth = 0.8,
           arrow = arrow(ends = "both", length = unit(0.15, "cm"))) +
  annotate("text", x = 1.5, y = -0.60,
           label = latex2exp::TeX(r"(ER $= -1$)"),
           color = "purple", size = 3.8) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 9),
    breaks = seq(0, 8, 1)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(-0.8, 5),
    breaks = seq(0, 5, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"($y$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"(Decomposição: aumento de preço $p_x$: $1 \to 4$)")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_blank(),
    panel.grid = element_blank()
  )

Interpretação

No Cobb-Douglas acima, ES e ER têm o mesmo sinal (ambos negativos), resultado típico de bens normais: os dois canais se reforçam e a demanda Marshalliana fica descendente. Para bens inferiores, o ER inverte de sinal e atenua parcialmente o ES, mas o efeito total permanece quase sempre negativo; a demanda simplesmente responde menos a preços.

O caso extremo é o bem Giffen, que exige três condições simultâneas: (i) inferioridade, (ii) participação alta no orçamento e (iii) ER maior que ES em magnitude. A atribuição clássica (Robert Giffen, 1837–1910) associa esse padrão ao consumo de batata na Irlanda durante a fome de 1845–1849, mas reanálises modernas consideram a evidência empírica frágil. O caso mais sólido documentado é o de Jensen e Miller (2008), sobre arroz e trigo em regiões rurais da China.

A análise gráfica deste callout trata de variações discretas de preço. Para variações infinitesimais, a mesma lógica se formaliza na equação de Slutsky (Note 5.6), que expressa $\partial x/\partial p_x$ como soma dos componentes de substituição e renda sem recorrer à cesta auxiliar. A decomposição também motiva a distinção entre as duas formas de demanda: a Marshalliana (Note 5.4), que mantém a renda fixa e incorpora ambos os efeitos, e a Hicksiana (Note 5.5), que mantém a utilidade fixa e isola o efeito substituição.

Nota 5.4: Curva de demanda individual (Marshalliana)

Símbolo	Significado
$x^*(p_x; \bar{p}_y, \bar{I})$	curva de demanda individual (com $p_y$ e $I$ fixos)
Marshalliana / ordinária	demanda obtida do problema primal de maximização de utilidade
$\partial x^*/\partial p_x$	inclinação da curva; $< 0$ para bens normais (e inferiores comuns)
movimento ao longo	apenas $p_x$ varia — consumidor desliza sobre a mesma curva
deslocamento	mudança em $\bar{p}_y$, $\bar{I}$ ou preferências — a curva toda se move

Desenvolvimento Teórico

A curva de demanda individual do bem $x$ relaciona o preço $p_x$ à quantidade ótima $x^*$, mantendo constantes $\bar{p}_y$, $\bar{I}$ e as preferências. Formalmente, é a função $x^*(p_x; \bar{p}_y, \bar{I})$, uma seção da demanda Marshalliana completa $x^*(p_x, p_y, I)$ em que apenas o primeiro argumento varia (Nicholson e Snyder, 2012).

Operacionalmente, constrói-se a curva repetindo a maximização para diferentes valores de $p_x$: cada preço produz uma nova reta orçamentária (intercepto vertical fixo $\bar{I}/\bar{p}_y$ e horizontal variável $\bar{I}/p_x$), uma nova tangência e, portanto, uma nova cesta ótima. Projetando cada par $(p_x, x^*)$ no plano preço-quantidade obtém-se a curva. A Fig. 5.5 de Nicholson e Snyder (2012) ilustra a construção em dois painéis: mapa de indiferença acima, curva de demanda abaixo.

Exercício Resolvido

Cenário: Cobb-Douglas $U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}$, com $p_y = 4$ e $I = 8$ fixos. Queremos obter a curva de demanda $x^*(p_x)$ variando apenas $p_x$.

Partindo da demanda Marshalliana Cobb-Douglas:

\[\begin{aligned} x^*(p_x, p_y, I) &= \frac{0{,}5 \, I}{p_x} & & \text{forma geral Cobb-Douglas} \\[6pt] x^*(p_x; \bar{p}_y = 4, \bar{I} = 8) &= \frac{0{,}5 \cdot 8}{p_x} & & \text{substituindo } I = 8 \\[6pt] &= \frac{4}{p_x} & & \text{curva de demanda individual} \end{aligned}\]

A curva $x^*(p_x) = 4/p_x$ é uma hipérbole retangular no plano preço-quantidade. Observe, além disso, uma característica peculiar da Cobb-Douglas: o gasto com $x$ é constante, independentemente do preço:

\[p_x \cdot x^*(p_x) = p_x \cdot \frac{0{,}5 \, I}{p_x} = 0{,}5 \, I = 4\]

Ou seja, o consumidor sempre destina metade de sua renda ao bem $x$ — seja $p_x$ alto ou baixo. Dito de outro modo: a elasticidade-preço da demanda é unitária em toda a curva. Quando $p_x$ dobra, $x^*$ cai pela metade; quando $p_x$ cai pela metade, $x^*$ dobra — e o produto $p_x x^*$ permanece em $4$.

O mesmo raciocínio aplicado a $y$ mostra que $y^* = 0{,}5 \cdot 8 / 4 = 1$ não depende de $p_x$ — a demanda por $y$ é invariante ao preço de $x$. Esse é outro reflexo da Cobb-Douglas: os dois bens não são substitutos nem complementos (as elasticidades-preço cruzadas são nulas).

Tabela de pares $(p_x, x^*, y^*,$ gasto$)$:

$p_x$	$x^* = 4/p_x$	$y^*$	Gasto em $x$: $p_x x^*$	Gasto em $y$: $p_y y^*$
0,5	8	1	4	4
1	4	1	4	4
2	2	1	4	4
4	1	1	4	4

Em todos os cenários o consumidor destina $4$ unidades monetárias a cada bem — é exatamente a fração de gasto constante ($\alpha = 1 - \alpha = 0{,}5$) que caracteriza a Cobb-Douglas.

Implementação em R

Código

# Réplica da Fig 5.5 de Nicholson — derivação da curva de demanda Marshalliana.
# Cobb-Douglas U = sqrt(xy), com p_y = 4, I = 8 fixos; p_x varia em {0,5; 1; 2}.
# Demandas:  x* = 0,5*I/p_x = 4/p_x ;  y* = 0,5*I/p_y = 1  (constante!)
#
# Pontos ótimos no mapa (x, y):
#   p_x = 0,5 => (x*, y*) = (8, 1) ; U = sqrt(8) ≈ 2,83 => curva y = 8/x
#   p_x = 1   => (x*, y*) = (4, 1) ; U = 2            => curva y = 4/x
#   p_x = 2   => (x*, y*) = (2, 1) ; U = sqrt(2) ≈ 1,41 => curva y = 2/x
#
# Retas orçamentárias (rotacionando em torno de (0, I/p_y) = (0, 2)):
#   p_x = 0,5 => de (0, 2) a (16, 0)
#   p_x = 1   => de (0, 2) a (8,  0)
#   p_x = 2   => de (0, 2) a (4,  0)

# Painel (a): mapa de indiferença com 3 retas orçamentárias e 3 tangências
p_a <- ggplot() +
  # Curvas de indiferença (uma para cada nível de utilidade ótima)
  geom_function(fun = \(x) 8 / x, xlim = c(2.8, 14),
                color = "blue", linewidth = 0.8) +
  geom_function(fun = \(x) 4 / x, xlim = c(1.5, 14),
                color = "blue", linewidth = 0.8) +
  geom_function(fun = \(x) 2 / x, xlim = c(0.75, 14),
                color = "blue", linewidth = 0.8) +
  # Retas orçamentárias (rotação em torno de (0, 2))
  geom_segment(aes(x = 0, y = 2, xend = 16, yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.8) +
  geom_segment(aes(x = 0, y = 2, xend = 8,  yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.8) +
  geom_segment(aes(x = 0, y = 2, xend = 4,  yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.8) +
  # Pontos ótimos (todos com y* = 1)
  geom_point(aes(x = c(8, 4, 2), y = c(1, 1, 1)),
             color = "red", size = 3.5) +
  # Projeções verticais dos pontos ótimos até o eixo x
  geom_segment(aes(x = 8, y = 0, xend = 8, yend = 1),
               color = "red", linewidth = 0.4, linetype = "dotted") +
  geom_segment(aes(x = 4, y = 0, xend = 4, yend = 1),
               color = "red", linewidth = 0.4, linetype = "dotted") +
  geom_segment(aes(x = 2, y = 0, xend = 2, yend = 1),
               color = "red", linewidth = 0.4, linetype = "dotted") +
  # Rótulos dos pontos ótimos
  annotate("text", x = 8.3, y = 1.35,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x = 0{,}5$: $(8, 1)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 4.3, y = 1.55,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x = 1$: $(4, 1)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 2.3, y = 1.75,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x = 2$: $(2, 1)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  # Rótulo do intercepto vertical comum
  annotate("text", x = 0.25, y = 2.25,
           label = latex2exp::TeX(r"($I/p_y = 2$)"),
           size = 3.5, hjust = 0) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 17),
    breaks = c(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 3),
    breaks = seq(0, 3, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"($y$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"((a) Mapa de indiferença ($p_y = 4$, $I = 8$))")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

# Painel (b): curva de demanda Marshalliana no plano (x, p_x).
# x*(p_x) = 4/p_x   <=>   p_x = 4/x  no plano com p_x no eixo vertical.
# Três pontos: (x, p_x) = (8; 0,5), (4; 1), (2; 2).
# Eixo x alinhado ao painel (a): 0 a 17, breaks a cada 2.
p_b <- ggplot() +
  geom_function(fun = \(x) 4 / x, xlim = c(0.4, 16.5),
                color = "red", linewidth = 1.1) +
  geom_point(aes(x = c(8, 4, 2), y = c(0.5, 1, 2)),
             color = "red", size = 3.5) +
  # Rótulos dos pontos
  annotate("text", x = 8.3, y = 0.75,
           label = latex2exp::TeX(r"($(8;\ 0{,}5)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 4.3, y = 1.25,
           label = latex2exp::TeX(r"($(4;\ 1)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 2.3, y = 2.30,
           label = latex2exp::TeX(r"($(2;\ 2)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  # Equação da curva
  annotate("text", x = 8, y = 3.2,
           label = latex2exp::TeX(r"($x^*(p_x) = 4/p_x$)"),
           size = 4.5, color = "red", hjust = 0) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 17),
    breaks = c(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 4),
    breaks = seq(0, 4, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"(Quantidade $x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"(Preço $p_x$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"((b) Curva de demanda Marshalliana)")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

# Empilhar verticalmente (p_a em cima, p_b embaixo)
p_a / p_b

Interpretação

A inclinação descendente da curva de demanda é consequência direta da maximização de utilidade sob preferências convexas, não um postulado adicional da teoria. Para bens normais, efeito substituição e efeito renda (Note 5.3) têm o mesmo sinal e se reforçam. Para bens inferiores comuns, o ES ainda domina o ER invertido, e a demanda segue descendente. Apenas no caso Giffen a inclinação se inverte, situação empiricamente rara.

A curva Cobb-Douglas é uma hipérbole retangular ($p_x x^* = 4$), consequência direta da fração de gasto constante ($\alpha/(\alpha+\beta) = 0{,}5$); equivale a dizer que a elasticidade-preço é unitária em todo ponto. Formas como CES ou Stone-Geary produzem elasticidades variáveis ao longo da curva. Vale também distinguir variação da quantidade demandada (movimento ao longo da curva, só $p_x$ muda) de variação da demanda (deslocamento provocado por mudanças em $\bar{I}$, $\bar{p}_y$ ou preferências). Pela homogeneidade de grau zero (Note 5.1), uma variação proporcional em $\bar{I}$ e $\bar{p}_y$ não desloca a curva.

A Marshalliana incorpora ambos os efeitos, substituição e renda. A Hicksiana (Note 5.5), objeto do próximo callout, isola apenas a substituição, respondendo “quanto de $x$ o consumidor demandaria a cada preço se fosse compensado para manter a mesma utilidade?”. A diferença vertical entre as duas curvas, no plano preço-quantidade, é o efeito renda.

Nota 5.5: Demanda compensada (Hicksiana) e lema de Shephard

Símbolo	Significado
$x^c(p_x, p_y, U)$	demanda compensada (Hicksiana) do bem $x$
$E(p_x, p_y, U)$	função de despesa mínima para atingir a utilidade $U$
$\mathscr{L} = p_x x + p_y y + \lambda[\bar{U} - U(x,y)]$	Lagrangiana do problema dual
$\partial E/\partial p_x = x^c$	lema de Shephard

Desenvolvimento Teórico

Para cada problema de maximização há um dual simétrico de minimização. No consumidor, o primal é a maximização de utilidade sujeita à restrição orçamentária; o dual é a minimização da despesa sujeita a uma restrição de utilidade mínima. Formalmente,

\[\min_{x, y} \; p_x x + p_y y \quad \text{s.a.} \quad U(x, y) \geq \bar{U}.\]

Sua solução define a demanda compensada (Hicksiana) $x^c(p_x, p_y, \bar{U})$, e o valor mínimo da função objetivo no ótimo é a função de despesa $E(p_x, p_y, \bar{U}) = p_x x^c + p_y y^c$. Enquanto a Marshalliana tem a renda $I$ como argumento, a Hicksiana tem a utilidade $\bar{U}$ — é essa diferença que isola o efeito substituição: ao variar $p_x$ com $\bar{U}$ fixo, a renda é ajustada implicitamente para manter o consumidor na mesma curva de indiferença, e a variação da cesta reflete apenas a mudança nos preços relativos. As Figs. 5.6 e 5.7 de Nicholson e Snyder (2012) ilustram a derivação geométrica e a comparação com a Marshalliana.

A Lagrangiana do dual é

\[\mathscr{L} = p_x x + p_y y + \lambda[\bar{U} - U(x, y)],\]

e as condições de primeira ordem produzem $x^c$ e $y^c$ em função de $(p_x, p_y, \bar{U})$. Na prática, é raro resolver o dual diretamente: o caminho eficiente começa pela função de despesa $E(p_x, p_y, U)$ e aplica o lema de Shephard.

Lema de Shephard — enunciado, intuição e utilidade prática

O lema de Shephard é um atalho analítico para obter a demanda Hicksiana a partir da função de despesa, sem resolver o Lagrangiano do problema dual. Ele afirma que a derivada da função de despesa em relação ao preço de um bem é a própria função de demanda compensada daquele bem:

\[\boxed{\frac{\partial E(p_x, p_y, U)}{\partial p_x} = x^c(p_x, p_y, U)}\]

Em outras palavras: se conhecemos a função de despesa $E(p_x, p_y, U)$, basta derivá-la em $p_x$ para obter diretamente a curva de demanda Hicksiana de $x$, expressa como função dos preços e da utilidade. Não é apenas um valor numérico pontual: o resultado $\partial E/\partial p_x$ já é a função $x^c(p_x, p_y, U)$ válida para quaisquer $(p_x, p_y, U)$.

Intuição. Quando $p_x$ aumenta, há dois efeitos sobre a despesa total. O efeito direto: cada unidade de $x$ já consumida fica mais cara, somando $x^c$ à despesa. O efeito indireto: o consumidor reotimiza a cesta, realocando consumo entre $x$ e $y$ para manter a mesma utilidade $\bar{U}$. O lema diz que, no ponto ótimo, o efeito indireto é zero: a reotimização não gera ganho nem perda em primeira ordem, porque a cesta inicial já era ótima. Resta apenas o efeito direto, $x^c$.

Para que serve na prática:

Se $E$ já é conhecida, obtém-se $x^c$ por uma simples derivada, evitando resolver o sistema de CPOs do dual.
Garante que a demanda compensada tem inclinação não-positiva ($\partial x^c/\partial p_x = \partial^2 E/\partial p_x^2 \leq 0$), consequência da concavidade de $E$ em preços.
Conecta diretamente a função de despesa (observável em princípio) às quantidades demandadas, o que é a base para medidas de bem-estar como variação compensatória e equivalente.

No problema primal (maximização de utilidade), o resultado análogo é a identidade de Roy: $x^* = -(\partial V/\partial p_x) / (\partial V/\partial I)$, onde $V$ é a utilidade indireta. Ambos são casos do teorema do envelope aplicado a problemas de otimização condicionada.

Demonstração via teorema do envelope

Por definição, no ponto ótimo a despesa mínima é

\[E(p_x, p_y, U) = p_x \, x^c(p_x, p_y, U) + p_y \, y^c(p_x, p_y, U).\]

Derivando em relação a $p_x$ pela regra do produto (com $p_y$ e $U$ constantes):

\[\begin{aligned} \frac{\partial E}{\partial p_x} &= \underbrace{x^c}_{\text{efeito direto}} + \underbrace{p_x \cdot \frac{\partial x^c}{\partial p_x} + p_y \cdot \frac{\partial y^c}{\partial p_x}}_{\text{efeito indireto}} & & \text{regra do produto} \end{aligned}\]

Falta mostrar que o efeito indireto se anula no ótimo. Usamos dois fatos:

A restrição $U(x^c, y^c) = \bar{U}$ vale para qualquer $p_x$. Derivando em $p_x$: \[U_x \cdot \frac{\partial x^c}{\partial p_x} + U_y \cdot \frac{\partial y^c}{\partial p_x} = 0 \qquad (*)\]
As condições de primeira ordem do problema dual (da Lagrangiana acima) implicam $p_x = \lambda U_x$ e $p_y = \lambda U_y$ no ótimo.

Substituindo (2) em $(*)$ e multiplicando por $\lambda$:

\[\begin{aligned} p_x \cdot \frac{\partial x^c}{\partial p_x} + p_y \cdot \frac{\partial y^c}{\partial p_x} &= \lambda U_x \cdot \frac{\partial x^c}{\partial p_x} + \lambda U_y \cdot \frac{\partial y^c}{\partial p_x} & & \text{usando CPOs} \\[6pt] &= \lambda \left( U_x \cdot \frac{\partial x^c}{\partial p_x} + U_y \cdot \frac{\partial y^c}{\partial p_x} \right) & & \text{fatorando } \lambda \\[6pt] &= \lambda \cdot 0 = 0 & & \text{usando } (*) \end{aligned}\]

O efeito indireto é exatamente zero. Portanto:

\[\frac{\partial E}{\partial p_x} = x^c + 0 = x^c \quad \checkmark\]

Este é um caso particular do teorema do envelope (Nicholson e Snyder, 2012): ao derivar uma função de valor (aqui, $E$) em relação a um parâmetro (aqui, $p_x$), os ajustes endógenos ótimos (aqui, em $x^c$ e $y^c$) cancelam-se mutuamente, restando apenas a derivada parcial direta da Lagrangiana em relação ao parâmetro.

Sentido econômico. Quando $p_x$ sobe marginalmente, o consumidor sofre dois impactos. Primeiro, cada unidade de $x$ que ele já consome fica mais cara, acrescentando $x^c$ à despesa total (efeito direto). Segundo, ele reotimiza a cesta: compra menos $x$ e mais $y$ para continuar atingindo $\bar{U}$ ao menor custo possível (efeito indireto). Mas essa reotimização é uma resposta de alguém que já estava no ótimo: qualquer troca marginal entre $x$ e $y$ ao longo da curva de indiferença $\bar{U}$ não gera economia líquida, porque na tangência o custo marginal de substituir $x$ por $y$ é exatamente igual ao preço relativo. A reotimização, portanto, não altera a despesa em primeira ordem. O resultado prático é que, para prever quanto a despesa mínima muda com uma pequena variação de preço, basta multiplicar a variação pela quantidade atualmente consumida do bem, sem precisar recalcular toda a cesta ótima.

Propriedades da função de despesa

Do lema de Shephard seguem duas propriedades que são usadas repetidamente na análise da demanda Hicksiana:

$E$ é não-decrescente em preços. Aumentos de preço nunca reduzem o custo mínimo de atingir uma dada utilidade, o que implica $x^c = \partial E/\partial p_x \geq 0$ (quantidades compensadas são não-negativas).
$E$ é côncava em preços. A segunda derivada satisfaz $\partial^2 E/\partial p_x^2 \leq 0$. Como pelo lema $\partial E/\partial p_x = x^c$, segue $\partial x^c/\partial p_x = \partial^2 E/\partial p_x^2 \leq 0$. A inclinação da Hicksiana é, portanto, sempre não-positiva.

Resolução direta via Lagrangiano (caso geral)

Embora o lema de Shephard seja o caminho mais eficiente quando $E$ é conhecida, a resolução direta via Lagrangiano explicita a estrutura do problema dual e sua relação com o primal.

Passo 1 — Lagrangiana e condições de primeira ordem. Partindo da Lagrangiana $\mathscr{L} = p_x x + p_y y + \lambda[\bar{U} - U(x, y)]$, igualamos as derivadas parciais a zero:

\[\begin{aligned} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x} &= p_x - \lambda \, U_x = 0 & & \text{(CPO 1): preço = } \lambda \times \text{utilidade marginal de } x \\[6pt] \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y} &= p_y - \lambda \, U_y = 0 & & \text{(CPO 2): preço = } \lambda \times \text{utilidade marginal de } y \\[6pt] \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \lambda} &= \bar{U} - U(x, y) = 0 & & \text{(CPO 3): restrição de utilidade} \end{aligned}\]

Passo 2 — tangência. Das CPOs 1 e 2, $p_x = \lambda U_x$ e $p_y = \lambda U_y$. Dividindo CPO 1 pela CPO 2:

\[\begin{aligned} \frac{p_x}{p_y} &= \frac{\lambda \, U_x}{\lambda \, U_y} & & \text{razão das CPOs} \\[6pt] &= \frac{U_x}{U_y} = TMS & & \lambda \text{ se cancela} \end{aligned}\]

Esta é a mesma condição de tangência do problema primal (maximização de utilidade sujeita à restrição orçamentária, ver Note 5.4). A diferença entre primal e dual está na terceira equação do sistema:

Problema	CPO 1 e 2 (tangência)	CPO 3 (restrição)
Primal (max utilidade)	$TMS = p_x / p_y$	$p_x x + p_y y = I$
Dual (min despesa)	$TMS = p_x / p_y$	$U(x, y) = \bar{U}$

Passo 3 — sistema de equações. O sistema a resolver é:

\[\begin{cases} U_x / U_y = p_x / p_y & \text{(tangência: inclinação da CI = inclinação da reta)} \\ U(x, y) = \bar{U} & \text{(utilidade fixa no nível de referência)} \end{cases}\]

São 2 equações e 2 incógnitas ($x^c$ e $y^c$). A solução produz as demandas compensadas $x^c(p_x, p_y, \bar{U})$ e $y^c(p_x, p_y, \bar{U})$. A forma funcional concreta depende da especificação de $U$; o Exercício Resolvido a seguir aplica este procedimento à Cobb-Douglas.

Exercício Resolvido

Cenário: Cobb-Douglas $U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}$, preços $p_x$ e $p_y$, utilidade-alvo $\bar{U}$. Resolvemos o problema dual por Lagrangiano e depois verificamos o resultado pelo lema de Shephard.

Resolução via Lagrangiano

Passo 1 — montar o Lagrangiano do problema dual.

\[\mathscr{L} = p_x x + p_y y + \lambda\bigl[\bar{U} - x^{0{,}5} y^{0{,}5}\bigr]\]

Passo 2 — condições de primeira ordem.

\[\begin{aligned} \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x} &= p_x - \lambda \cdot 0{,}5 \, x^{-0{,}5} \, y^{0{,}5} = 0 & & \text{(CPO 1)} \\[6pt] \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y} &= p_y - \lambda \cdot 0{,}5 \, x^{0{,}5} \, y^{-0{,}5} = 0 & & \text{(CPO 2)} \\[6pt] \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \lambda} &= \bar{U} - x^{0{,}5} y^{0{,}5} = 0 & & \text{(CPO 3): restrição de utilidade} \end{aligned}\]

Passo 3 — dividir CPO 1 pela CPO 2 para eliminar $\lambda$.

\[\begin{aligned} \frac{p_x}{p_y} &= \frac{0{,}5 \, x^{-0{,}5} \, y^{0{,}5}}{0{,}5 \, x^{0{,}5} \, y^{-0{,}5}} & & \text{razão das CPOs 1 e 2} \\[6pt] \frac{p_x}{p_y} &= \frac{y^{0{,}5 - (-0{,}5)}}{x^{0{,}5 - (-0{,}5)}} = \frac{y}{x} & & \text{simplificando expoentes} \end{aligned}\]

Isolando $y$:

\[y = \frac{p_x}{p_y} \, x \qquad \text{(relação de tangência no dual)}\]

Note que esta é a mesma condição $TMS = p_x/p_y$ obtida na maximização de utilidade. A diferença é que agora a segunda equação é a restrição de utilidade (CPO 3), não a restrição orçamentária.

Passo 4 — substituir na restrição de utilidade (CPO 3) para obter a função de demanda Hicksiana.

\[\begin{aligned} x^{0{,}5} \, y^{0{,}5} &= \bar{U} & & \text{CPO 3} \\[6pt] x^{0{,}5} \left(\frac{p_x}{p_y} \, x\right)^{0{,}5} &= \bar{U} & & \text{substituindo } y = (p_x/p_y) x \\[6pt] x^{0{,}5} \cdot \left(\frac{p_x}{p_y}\right)^{0{,}5} \cdot x^{0{,}5} &= \bar{U} & & \text{distribuindo o expoente} \\[6pt] x \cdot \left(\frac{p_x}{p_y}\right)^{0{,}5} &= \bar{U} & & \text{pois } x^{0{,}5} \cdot x^{0{,}5} = x \\[6pt] x^c &= \bar{U} \cdot \left(\frac{p_y}{p_x}\right)^{0{,}5} & & \text{isolando } x \\[6pt] x^c &= p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, \bar{U} & & \text{reescrevendo com expoentes} \end{aligned}\]

\[\boxed{x^c(p_x, p_y, U) = p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U}\]

Esta é a função de demanda Hicksiana (compensada) de $x$: expressa a quantidade ótima como função dos preços e do nível de utilidade fixado $\bar{U}$, válida para quaisquer $(p_x, p_y, U)$. Compare com a Marshalliana $x^* = 0{,}5 \, I/p_x$ (ver Note 5.4): enquanto a Marshalliana depende da renda $I$, a Hicksiana depende de $\bar{U}$.

Por simetria (trocando os papéis de $x$ e $y$), a demanda compensada de $y$ é $y^c = p_x^{0{,}5} \, p_y^{-0{,}5} \, U$.

Função de despesa

Substituindo $x^c$ e $y^c$ na despesa total:

\[\begin{aligned} E &= p_x \, x^c + p_y \, y^c & & \text{gasto total na cesta compensada} \\[6pt] &= p_x \cdot p_x^{-0{,}5} p_y^{0{,}5} U + p_y \cdot p_x^{0{,}5} p_y^{-0{,}5} U & & \text{substituindo } x^c \text{ e } y^c \\[6pt] &= p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U + p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U & & \text{simplificando expoentes} \\[6pt] &= 2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U & & \text{somando os dois termos iguais} \end{aligned}\]

\[\boxed{E(p_x, p_y, U) = 2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U}\]

Este é o resultado que Nicholson e Snyder (2012) apresenta no Exemplo 4.4 como dado; aqui o derivamos a partir do Lagrangiano.

Verificação pelo lema de Shephard

Tendo obtido $x^c$ pelo Lagrangiano (Passo 4) e $E$ pela soma $p_x x^c + p_y y^c$ (acima), podemos verificar a consistência entre os dois resultados aplicando o lema de Shephard, que afirma $\partial E/\partial p_x = x^c$:

\[\begin{aligned} \frac{\partial E}{\partial p_x} &= \frac{\partial}{\partial p_x}\bigl[2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U\bigr] & & p_y^{0{,}5} \text{ e } U \text{ são constantes em } p_x \\[6pt] &= 2 \cdot 0{,}5 \cdot p_x^{0{,}5 - 1} \cdot p_y^{0{,}5} \, U & & \text{regra da potência: } \partial p_x^{0{,}5}/\partial p_x = 0{,}5 \, p_x^{-0{,}5} \\[6pt] &= 1 \cdot p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U & & 2 \times 0{,}5 = 1 \\[6pt] &= p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U = x^c & & \checkmark \end{aligned}\]

Derivar $E$ em $p_x$ entrega exatamente a função de demanda Hicksiana obtida pelo Lagrangiano. As duas rotas (Lagrangiano direto e Shephard via $E$) chegam à mesma função, confirmando a consistência.

Rota alternativa: Shephard sem Lagrangiano do dual

Na rota acima, usamos o Lagrangiano do dual para obter $x^c$ e $y^c$, depois construímos $E = p_x x^c + p_y y^c$, e então verificamos $\partial E/\partial p_x = x^c$ por Shephard. Mas é possível obter $x^c$ sem nunca montar o Lagrangiano do dual, usando apenas resultados do problema primal (já resolvido em Note 5.4):

Passo 1 — utilidade indireta $V$ (do primal). Substituindo as demandas Marshallianas $x^* = 0{,}5 I/p_x$ e $y^* = 0{,}5 I/p_y$ na função utilidade:

\[\begin{aligned} V(p_x, p_y, I) &= U(x^*, y^*) & & \text{definição de utilidade indireta} \\[6pt] &= \left(\frac{0{,}5 I}{p_x}\right)^{0{,}5} \left(\frac{0{,}5 I}{p_y}\right)^{0{,}5} & & \text{substituindo } x^* \text{ e } y^* \\[6pt] &= (0{,}5)^{0{,}5} \cdot I^{0{,}5} \cdot p_x^{-0{,}5} \cdot (0{,}5)^{0{,}5} \cdot I^{0{,}5} \cdot p_y^{-0{,}5} & & \text{distribuindo expoentes} \\[6pt] &= 0{,}5 \cdot I \cdot p_x^{-0{,}5} \, p_y^{-0{,}5} & & \text{pois } (0{,}5)^{0{,}5} \cdot (0{,}5)^{0{,}5} = 0{,}5 \end{aligned}\]

\[\boxed{V(p_x, p_y, I) = \frac{I}{2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5}}}\]

$V$ responde à pergunta: “qual a máxima utilidade atingível com renda $I$ aos preços $(p_x, p_y)$?”.

Passo 2 — inverter $V$ para obter $E$. A função de despesa responde à pergunta inversa: “qual a mínima renda para atingir utilidade $U$?”. Basta igualar $V = U$ e isolar $I$:

\[\begin{aligned} V(p_x, p_y, I) &= U & & \text{no ótimo, a utilidade indireta atinge o nível } U \\[6pt] \frac{I}{2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5}} &= U & & \text{substituindo a expressão de } V \\[6pt] I &= U \cdot 2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} & & \text{multiplicando ambos os lados por } 2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \\[6pt] E(p_x, p_y, U) &= 2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U & & \text{renomeando } I \text{ como } E \text{ (renda mínima para atingir } U\text{)} \end{aligned}\]

Como $E$ é a renda mínima necessária para atingir $U$: $E(p_x, p_y, U) = 2 \, p_x^{0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U$ — o mesmo resultado obtido pelo Lagrangiano.

Passo 3 — aplicar Shephard. Derivando $E$ em $p_x$ (mesma derivada feita acima):

\[x^c = \frac{\partial E}{\partial p_x} = p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U\]

A função de demanda Hicksiana foi obtida sem montar nenhum Lagrangiano do dual. O único ingrediente foi a utilidade indireta $V$ do problema primal (já resolvido) + uma inversão algébrica + uma derivada.

Comparação das duas rotas:

Rota	Passos	Quando usar
Lagrangiano do dual	$\mathscr{L}$ → CPOs → tangência → resolver sistema → $x^c$	Quando $V$ ou $E$ não são conhecidas
Shephard via inversão de $V$	$V$ (do primal) → inverter para $E$ → $\partial E/\partial p_x = x^c$	Quando o primal já foi resolvido

A segunda rota é o motivo pelo qual o lema de Shephard é valorizado: transforma o problema dual inteiro em “inverter uma função + derivar”.

Aplicação numérica ao cenário-base

Para o cenário-base do capítulo ($p_x = 1$, $p_y = 4$, $I = 8$), a maximização de utilidade produz $x^* = 4$, $y^* = 1$ e $U^* = \sqrt{4 \cdot 1} = 2$ (ver Note 5.3). A demanda Hicksiana fixa a utilidade nesse nível de referência $\bar{U} = 2$. Substituindo $p_y = 4$ e $U = 2$ na fórmula geral:

\[\begin{aligned} x^c(p_x, p_y, U) &= p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U & & \text{demanda Hicksiana Cobb-Douglas (derivada acima)} \\[6pt] x^c(p_x) &= p_x^{-0{,}5} \cdot 4^{0{,}5} \cdot 2 & & \text{substituindo } p_y = 4 \text{ e } U = 2 \\[6pt] &= p_x^{-0{,}5} \cdot 2 \cdot 2 & & \text{pois } 4^{0{,}5} = \sqrt{4} = 2 \\[6pt] &= 4 \, p_x^{-0{,}5} = \frac{4}{\sqrt{p_x}} & & \text{simplificando} \end{aligned}\]

Tabela de pares $(p_x, x^c)$ com $p_y = 4$ e $U = 2$:

$p_x$	$x^c = 4/\sqrt{p_x}$	Valor
0,5	$4/\sqrt{0{,}5}$	$\approx 5{,}66$
1	$4/\sqrt{1}$	$4$
2	$4/\sqrt{2}$	$\approx 2{,}83$
4	$4/\sqrt{4}$	$2$

Comparando com a Marshalliana $x^*(p_x) = 4/p_x$ de Note 5.4 — que para os mesmos quatro preços assume $8, 4, 2, 1$ — observa-se que $x^c$ varia menos com $p_x$ do que $x^*$: quando $p_x$ passa de $1$ para $4$, a Marshalliana cai de $4$ para $1$ (redução de 75%), mas a Hicksiana cai apenas de $4$ para $2$ (redução de 50%). Essa menor responsividade reflete exatamente a ausência do efeito renda na Hicksiana — tema que será formalizado na equação de Slutsky (Note 5.6).

Implementação em R

Código

# Réplica da Fig 5.6 de Nicholson — derivação da curva de demanda Hicksiana.
# Cobb-Douglas U = sqrt(xy), com p_y = 4 e U = 2 fixos; p_x varia em {0,5; 1; 2}.
# Demandas compensadas:
#   x^c(p_x) = p_x^(-0,5) * p_y^(0,5) * U = 4 / sqrt(p_x)
#   y^c(p_x) = p_x^( 0,5) * p_y^(-0,5) * U = sqrt(p_x)
#
# Pontos de tangência sobre a única curva de indiferença U = 2 (y = 4/x):
#   p_x = 0,5 => (x^c, y^c) = (5,66; 0,707)
#   p_x = 1   => (x^c, y^c) = (4;    1)
#   p_x = 2   => (x^c, y^c) = (2,83; 1,414)
#
# Função de despesa mínima em cada caso (E = 2 sqrt(p_x p_y) U = 8 sqrt(p_x)):
#   p_x = 0,5 => E = 8 sqrt(0,5)  ≈ 5,66 ; reta 0,5 x + 4 y = 5,66
#                                              => intercepto x = 11,31 ; y = 1,414
#   p_x = 1   => E = 8           ; reta   x +  4 y = 8
#                                              => intercepto x =  8    ; y = 2
#   p_x = 2   => E = 8 sqrt(2)    ≈ 11,31; reta 2 x + 4 y = 11,31
#                                              => intercepto x =  5,66 ; y = 2,828

# Painel (a): uma curva de indiferença U = 2 com 3 retas orçamentárias tangentes
p_a <- ggplot() +
  # Única curva de indiferença U = 2 (y = 4/x)
  geom_function(fun = \(x) 4 / x, xlim = c(1.2, 12),
                color = "blue", linewidth = 1) +
  # Retas orçamentárias de despesa mínima
  # p_x = 0,5 : 0,5 x + 4 y = 5,66  -> de (0; 1,414) a (11,31; 0)
  geom_segment(aes(x = 0, y = 1.414, xend = 11.31, yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.8) +
  # p_x = 1   : x + 4 y = 8         -> de (0; 2)     a (8; 0)
  geom_segment(aes(x = 0, y = 2, xend = 8, yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.8) +
  # p_x = 2   : 2 x + 4 y = 11,31   -> de (0; 2,828) a (5,66; 0)
  geom_segment(aes(x = 0, y = 2.828, xend = 5.66, yend = 0),
               color = "black", linewidth = 0.8) +
  # Pontos de tangência (todos sobre U = 2)
  geom_point(aes(x = c(5.66, 4, 2.83), y = c(0.707, 1, 1.414)),
             color = "red", size = 3.5) +
  # Rótulos dos pontos de tangência (deslocados para não sobrepor curvas/retas)
  annotate("text", x = 5.9, y = 1.05,
           label = latex2exp::TeX(r"($(5{,}66;\ 0{,}707)$)"),
           size = 3.6, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 4.20, y = 1.30,
           label = latex2exp::TeX(r"($(4;\ 1)$)"),
           size = 3.6, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 3.00, y = 1.75,
           label = latex2exp::TeX(r"($(2{,}83;\ 1{,}414)$)"),
           size = 3.6, color = "red", hjust = 0) +
  # Rótulos de p_x próximos ao intercepto vertical de cada reta orçamentária
  # (cada rótulo fica imediatamente acima do respectivo intercepto em y)
  annotate("text", x = 0.25, y = 2.98,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x = 2$)"),
           size = 3.6, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 0.25, y = 2.15,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x = 1$)"),
           size = 3.6, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 0.25, y = 1.55,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x = 0{,}5$)"),
           size = 3.6, hjust = 0) +
  # Rótulo da curva de indiferença (à direita, acima da curva)
  annotate("text", x = 10.5, y = 4 / 10.5 + 0.25,
           label = latex2exp::TeX(r"($U_2 = 2$)"),
           color = "blue", size = 4, hjust = 0) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 12),
    breaks = seq(0, 12, 2)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 4),
    breaks = seq(0, 4, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"($x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"($y$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"((a) Demanda compensada: utilidade constante)")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

# Painel (b): curva de demanda Hicksiana no plano (x^c, p_x).
# x^c(p_x) = 4 / sqrt(p_x)  <=>  p_x = 16 / x^2  no plano com p_x no eixo vertical.
# Três pontos: (x^c, p_x) = (5,66; 0,5), (4; 1), (2,83; 2).
# Eixos alinhados ao painel (a): x de 0 a 12, y de 0 a 4.
p_b <- ggplot() +
  geom_function(fun = \(x) 16 / x^2, xlim = c(2, 12),
                color = "red", linewidth = 1.1) +
  geom_point(aes(x = c(5.66, 4, 2.83), y = c(0.5, 1, 2)),
             color = "red", size = 3.5) +
  # Rótulos dos pontos
  annotate("text", x = 5.85, y = 0.75,
           label = latex2exp::TeX(r"($(5{,}66;\ 0{,}5)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 4.20, y = 1.25,
           label = latex2exp::TeX(r"($(4;\ 1)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  annotate("text", x = 3.00, y = 2.30,
           label = latex2exp::TeX(r"($(2{,}83;\ 2)$)"),
           size = 3.8, color = "red", hjust = 0) +
  # Equação da curva
  annotate("text", x = 6.5, y = 3.2,
           label = latex2exp::TeX(r"($x^c(p_x) = 4 \, p_x^{-0{,}5}$)"),
           size = 4.5, color = "red", hjust = 0) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 12),
    breaks = seq(0, 12, 2)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 4),
    breaks = seq(0, 4, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"(Quantidade $x^c$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"(Preço $p_x$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"((b) Curva de demanda compensada (Hicksiana))")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

# Empilhar verticalmente (p_a em cima, p_b embaixo)
p_a / p_b

Interpretação

A Hicksiana tem inclinação sempre não-positiva, consequência direta da concavidade da função de despesa em preços: $\partial x^c/\partial p_x = \partial^2 E/\partial p_x^2 \leq 0$. Como $x^c$ mantém a utilidade fixa por construção, o único canal ativo é a substituição ao longo de uma curva de indiferença, governada pela convexidade das preferências. A Hicksiana é, portanto, imune ao paradoxo Giffen (Note 5.3): o efeito renda (que gera o paradoxo) simplesmente não existe aqui.

A demanda compensada é a ferramenta natural para análise de bem-estar. Ao medir o ganho ou a perda de utilidade associados a uma mudança de preço (tributação, subsídio, controle de preços), a integral sob a Marshalliana mistura efeitos de substituição com efeitos de poder de compra. A Hicksiana, por manter a utilidade em um nível de referência, fornece medidas limpas: a variação compensatória e a variação equivalente, conceitos retomados em capítulos futuros.

Na comparação visual com a Marshalliana (painel (b) deste callout vs. painel (b) de Note 5.4), a Hicksiana é menos responsiva a preços: entre $p_x = 1$ e $p_x = 4$, a Marshalliana cai de $4$ para $1$ enquanto a Hicksiana cai apenas de $4$ para $2$. As duas curvas se cruzam no ponto em que a renda $I$ basta, aos preços vigentes, para atingir a utilidade $\bar{U}$ de referência; no caso-base ($I = 8$, $p_y = 4$), esse ponto é $(p_x, x) = (1, 4)$. A diferença vertical entre elas fora desse ponto é a magnitude do efeito renda, formalizada na equação de Slutsky (Note 5.6).

Nota 5.6: Equação de Slutsky: decomposição analítica

Símbolo	Significado
$\partial x/\partial p_x$	efeito total (ET) — derivada da Marshalliana
$\partial x^c/\partial p_x \big\|_{U=\bar{U}}$	efeito substituição (ES) — derivada da Hicksiana
$x \cdot \partial x/\partial I$	efeito renda (ER) — quantidade consumida vezes propensão marginal
$x^c(p_x, p_y, U) = x[p_x, p_y, E(p_x, p_y, U)]$	identidade de dualidade
$\partial E/\partial p_x = x^c$	lema de Shephard

Desenvolvimento Teórico

O objetivo desta seção é obter uma expressão algébrica para a decomposição que fizemos graficamente em Note 5.3. Lá, separamos o deslocamento total da cesta em duas parcelas — substituição (ao longo da curva de indiferença original) e renda (entre curvas de indiferença) — por meio de uma construção geométrica baseada em deslocamentos discretos da reta orçamentária. Agora, trabalhando com variações infinitesimais de preço, a mesma decomposição emerge de uma identidade matemática envolvendo derivadas. O resultado é a equação de Slutsky, um dos teoremas centrais da teoria do consumidor (Nicholson e Snyder, 2012).

O ponto de partida é a identidade de dualidade: se a renda $I$ for escolhida exatamente como a despesa mínima necessária para atingir a utilidade $\bar{U}$ aos preços $(p_x, p_y)$ — ou seja, $I = E(p_x, p_y, \bar{U})$ —, então as demandas Marshalliana e Hicksiana produzem a mesma cesta. Formalmente,

\[x^c(p_x, p_y, U) = x\bigl[p_x, p_y, E(p_x, p_y, U)\bigr].\]

Essa identidade vale para qualquer $(p_x, p_y, U)$ e é a ponte algébrica entre os problemas primal e dual do consumidor.

Derivando ambos os lados em relação a $p_x$ — lado esquerdo, derivada direta; lado direito, regra da cadeia porque $E$ também depende de $p_x$ —, obtemos

\[\begin{aligned} \frac{\partial x^c}{\partial p_x} &= \frac{\partial x}{\partial p_x} + \frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{\partial E}{\partial p_x} & & \text{regra da cadeia no lado direito} \\[6pt] \frac{\partial x^c}{\partial p_x} &= \frac{\partial x}{\partial p_x} + \frac{\partial x}{\partial I} \cdot x^c & & \text{lema de Shephard: } \partial E/\partial p_x = x^c \\[6pt] \frac{\partial x^c}{\partial p_x} &= \frac{\partial x}{\partial p_x} + x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} & & \text{no ponto ótimo, } x = x^c \end{aligned}\]

Isolando $\partial x/\partial p_x$ no lado direito, chegamos à equação de Slutsky:

\[\boxed{ \frac{\partial x}{\partial p_x} = \underbrace{ \frac{\partial x^c}{\partial p_x}\bigg|_{U=\bar{U}} }_{\text{efeito substituição}} \;-\; \underbrace{ x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} }_{\text{efeito renda}} }\]

A leitura é direta: a variação total da demanda Marshalliana em resposta a uma pequena variação de $p_x$ decompõe-se em duas parcelas — uma ao longo da curva de indiferença (ES) e outra entre curvas de indiferença (ER).

Os sinais dos dois termos são governados por propriedades distintas. O efeito substituição $\partial x^c/\partial p_x$ é sempre não-positivo: como $E$ é côncava em preços, sua segunda derivada é $\leq 0$, e pelo lema de Shephard $\partial x^c/\partial p_x = \partial^2 E/\partial p_x^2 \leq 0$ (Note 5.5). Geometricamente, isso reflete a convexidade das curvas de indiferença — ao encarecer $x$, o consumidor sempre substitui $x$ por $y$ ao longo da mesma CI. Já o efeito renda $-x \cdot \partial x/\partial I$ tem sinal determinado por $\partial x/\partial I$: para bens normais ($\partial x/\partial I > 0$), o termo é negativo e reforça o ES; para bens inferiores ($\partial x/\partial I < 0$), o termo é positivo e atenua o ES, podendo até revertê-lo no caso extremo dos bens de Giffen (Note 5.3). Essa diferença de sinais é o que torna a Marshalliana mais responsiva a preços do que a Hicksiana no caso normal — tema da Fig. 5.7 de Nicholson e Snyder (2012) e do gráfico comparativo construído adiante.

Exercício Resolvido

Cenário: Cobb-Douglas $U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}$. De Note 5.4, a demanda Marshalliana é $x(p_x, p_y, I) = 0{,}5 I / p_x$. De Note 5.5, a demanda Hicksiana é $x^c(p_x, p_y, U) = p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U$. A utilidade indireta, obtida substituindo $x$ e $y$ ótimos em $U$, é $V(p_x, p_y, I) = 0{,}5 \, I \, p_x^{-0{,}5} \, p_y^{-0{,}5}$ (Example 4.1 de Nicholson e Snyder (2012)).

Passo 1 — efeito total (derivada da Marshalliana).

Como a quantidade total de $x$ varia quando $p_x$ muda marginalmente, considerando todos os ajustes do consumidor (substituição entre bens e mudança no poder de compra)?

\[\begin{aligned} \frac{\partial x}{\partial p_x} &= \frac{\partial}{\partial p_x}\!\left[\frac{0{,}5 \, I}{p_x}\right] & & \text{derivando a Marshalliana em } p_x \\[6pt] &= -\frac{0{,}5 \, I}{p_x^2} & & \text{regra da potência} \end{aligned}\]

\[\boxed{\text{Efeito total: } \frac{\partial x}{\partial p_x} = -\frac{0{,}5 \, I}{p_x^2}}\]

Sinal negativo: um aumento em $p_x$ reduz a quantidade demandada de $x$. Este efeito total será decomposto nos Passos 2 e 3.

Passo 2 — efeito substituição (derivada da Hicksiana).

Se o consumidor fosse compensado em renda para manter a utilidade constante, quanto de $x$ ele substituiria por $y$ em resposta à mudança de preço?

\[\begin{aligned} \frac{\partial x^c}{\partial p_x} &= \frac{\partial}{\partial p_x}\!\left[p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U\right] & & \text{derivando a Hicksiana em } p_x \\[6pt] &= -0{,}5 \, p_x^{-1{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U & & \text{regra da potência} \end{aligned}\]

A Hicksiana está em função de $U$; para confrontá-la com a Marshalliana (que depende de $I$), substituímos $U$ pela utilidade indireta $V = 0{,}5 \, I \, p_x^{-0{,}5} \, p_y^{-0{,}5}$:

\[\begin{aligned} \frac{\partial x^c}{\partial p_x} &= -0{,}5 \, p_x^{-1{,}5} \, p_y^{0{,}5} \cdot 0{,}5 \, I \, p_x^{-0{,}5} \, p_y^{-0{,}5} & & \text{substituindo } U = V \\[6pt] &= -0{,}25 \, I \, p_x^{-2} \, p_y^{0} & & \text{agrupando potências} \\[6pt] &= -\frac{0{,}25 \, I}{p_x^2} & & \text{simplificando } (p_y^{0} = 1) \end{aligned}\]

\[\boxed{\text{Efeito substituição: } \frac{\partial x^c}{\partial p_x} = -\frac{0{,}25 \, I}{p_x^2}}\]

Sempre negativo: com utilidade fixa, o consumidor sempre se afasta do bem que encareceu. Captura apenas a realocação da cesta devida à mudança nos preços relativos.

Passo 3 — efeito renda.

Quanto da variação total de $x$ se deve à perda (ou ganho) de poder de compra causada pela mudança de $p_x$?

\[\begin{aligned} x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} &= \frac{0{,}5 \, I}{p_x} \cdot \frac{\partial}{\partial I}\!\left[\frac{0{,}5 \, I}{p_x}\right] & & \text{quantidade demandada vezes propensão marginal} \\[6pt] &= \frac{0{,}5 \, I}{p_x} \cdot \frac{0{,}5}{p_x} & & \text{derivada linear em } I \\[6pt] &= \frac{0{,}25 \, I}{p_x^2} & & \text{multiplicando} \end{aligned}\]

Na equação de Slutsky este termo aparece com sinal negativo ($-x \cdot \partial x/\partial I$):

\[\boxed{\text{Efeito renda: } -x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} = -\frac{0{,}25 \, I}{p_x^2}}\]

Negativo para bens normais ($\partial x/\partial I > 0$): a alta de preço reduz o poder de compra, e como $x$ é normal, o consumidor demanda menos. Reforça o efeito substituição.

Passo 4 — verificação da equação de Slutsky:

\[\begin{aligned} \frac{\partial x^c}{\partial p_x} - x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} &= -\frac{0{,}25 \, I}{p_x^2} - \frac{0{,}25 \, I}{p_x^2} & & \text{ES menos ER} \\[6pt] &= -\frac{0{,}5 \, I}{p_x^2} & & \text{somando frações} \\[6pt] &= \frac{\partial x}{\partial p_x} \quad \checkmark & & \text{idêntico ao Passo 1} \end{aligned}\]

Verificação numérica ($I = 8$, $p_x = 1$, $p_y = 4$):

Efeito	Fórmula	Valor
Total (ET $= \partial x/\partial p_x$)	$-0{,}5 \, I/p_x^2$	$-4$
Substituição (ES $= \partial x^c/\partial p_x$)	$-0{,}25 \, I/p_x^2$	$-2$
Renda (ER $= -x \cdot \partial x/\partial I$)	$-0{,}25 \, I/p_x^2$	$-2$

Leitura: adotando a convenção ET $=$ ES $+$ ER (mesma de Note 5.3), absorvemos o sinal de subtração no efeito renda: ER $= -x \cdot \partial x/\partial I = -0{,}25 \, I/p_x^2$. Com isso, ET $= -4 = -2 + (-2) =$ ES $+$ ER, confirmando a identidade. No ponto inicial, ES e ER contribuem com magnitudes iguais ($-2$ cada), somando o efeito total $-4$. Essa simetria não é coincidência: na Cobb-Douglas com expoentes iguais ($\alpha = \beta = 0{,}5$), metade do orçamento vai para cada bem e as duas parcelas da decomposição têm exatamente o mesmo peso. Preferências mais assimétricas produzem decomposições desbalanceadas, como se verá nos exercícios do Cap. 5 de Nicholson e Snyder (2012).

Implementação em R

Código

# Comparação entre Marshalliana e Hicksiana no plano (x, p_x).
# Caso Cobb-Douglas U = sqrt(xy), com I = 8, p_y = 4, U_ref = 2.
# Marshalliana: x*(p_x) = 0,5 I / p_x = 4 / p_x           => p_x = 4 / x
# Hicksiana:    x^c(p_x) = 4 / sqrt(p_x)                  => p_x = 16 / x^2
# Ambas passam pelo ponto comum (x, p_x) = (4, 1).

ggplot() +
  # Curva Marshalliana (vermelho): p_x = 4 / x
  geom_function(fun = \(x) 4 / x, xlim = c(1, 10),
                color = "red", linewidth = 1.1) +
  # Curva Hicksiana (azul): p_x = 16 / x^2
  geom_function(fun = \(x) 16 / x^2, xlim = c(1.5, 10),
                color = "blue", linewidth = 1.1) +
  # Ponto comum de tangência
  geom_point(aes(x = 4, y = 1), color = "purple", size = 4) +
  # Rótulo do ponto comum
  annotate("text", x = 4.3, y = 1.35,
           label = latex2exp::TeX(r"($(x=4,\ p_x=1)$)"),
           color = "purple", size = 4.2, hjust = 0) +
  # Rótulos posicionados no canto superior direito (região sem curvas);
  # a cor já identifica a qual curva cada rótulo se refere.
  annotate("text", x = 6, y = 3.0,
           label = latex2exp::TeX(r"(Marshalliana: $x^* = 4/p_x$)"),
           color = "red", size = 4.2, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 6, y = 2.4,
           label = latex2exp::TeX(r"(Hicksiana: $x^c = 4 \, p_x^{-0{,}5}$)"),
           color = "blue", size = 4.2, hjust = 0) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 11),
    breaks = seq(0, 10, 2)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 4),
    breaks = seq(0, 4, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"(Quantidade $x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"(Preço $p_x$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"(Marshalliana vs Hicksiana no ponto de tangência ($p_x = 1$, $I = 8$))")
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.line  = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    panel.grid = element_blank()
  )

Interpretação

A equação de Slutsky unifica duas versões da mesma decomposição. A gráfica (Note 5.3) compara antes e depois de um choque finito de preço; a analítica responde como a demanda varia em resposta a uma variação infinitesimal. Em ambas, o efeito total é soma de substituição (utilidade constante) e renda (poder de compra variando). O resultado mais robusto é o sinal não-positivo do efeito substituição: como a função de despesa é côncava em preços (Note 5.5), $\partial x^c/\partial p_x \leq 0$ vale para qualquer estrutura de preferências que respeite os axiomas básicos. Daí a importância da Hicksiana em bem-estar: seu sinal é previsível por construção.

O efeito renda, diferentemente, depende do tipo de bem. Para bens normais, $\partial x/\partial I > 0$ torna o ER negativo, reforçando o ES; a Marshalliana fica mais responsiva a preços que a Hicksiana. Para bens inferiores, o ER tem sinal oposto ao ES e o atenua; no caso Giffen, o domina, invertendo a inclinação da Marshalliana. No gráfico, as duas curvas se cruzam em $(x, p_x) = (4, 1)$, o ponto-base em que $I = 8$ permite atingir $\bar{U} = 2$. A diferença vertical entre elas, em cada $p_x$, é a magnitude acumulada do efeito renda.

Aplicações de Slutsky incluem variação compensatória e equivalente (análise de bem-estar), elasticidades compensadas (tributação e deadweight loss, Cap. 6 de Nicholson e Snyder (2012)) e as restrições de simetria e negatividade impostas a sistemas de demanda estimados empiricamente. Com essa formalização, o capítulo fecha seu arco: homogeneidade, variações de renda, decomposição gráfica, as curvas Marshalliana e Hicksiana, e agora Slutsky. O próximo passo é o estudo de elasticidades, agregação de demandas e análise aplicada de bem-estar.

Decomposição gráfica via curvas de demanda

O gráfico abaixo replica a decomposição de Note 5.3 (que usava o plano $x \times y$), agora no plano preço-quantidade ($x \times p_x$) usando as curvas de demanda Marshalliana e Hicksiana. Para o choque $p_x: 1 \to 4$:

$A = (4;\; 1)$: ponto inicial, onde ambas as curvas se cruzam (ao preço antigo, Marshalliana e Hicksiana coincidem).
$B = (2;\; 4)$: ponto sobre a Hicksiana ao preço novo. O consumidor, se compensado para manter $\bar{U} = 2$, demandaria $x^c = 4/\sqrt{4} = 2$. O movimento $A \to B$ é o efeito substituição (ES $= 2 - 4 = -2$).
$C = (1;\; 4)$: ponto sobre a Marshalliana ao preço novo. Sem compensação, demanda $x^* = 4/4 = 1$. O movimento $B \to C$ é o efeito renda (ER $= 1 - 2 = -1$).
Efeito total: $A \to C$, ET $= 1 - 4 = -3 =$ ES $+$ ER ✓.

Os mesmos valores de Note 5.3 ($-2$, $-1$, $-3$), agora lidos diretamente nas curvas de demanda: a distância horizontal entre $A$ e $B$ é o ES; entre $B$ e $C$, o ER; entre $A$ e $C$, o ET.

Código

# Decomposição de Slutsky no plano preço-quantidade.
# Marshalliana: x* = 4/p_x  =>  p_x = 4/x
# Hicksiana:    x^c = 4/sqrt(p_x)  =>  p_x = 16/x^2
# Choque: p_x de 1 para 4.
# A = (4, 1): ambas curvas em p_x = 1
# B = (2, 4): Hicksiana em p_x = 4
# C = (1, 4): Marshalliana em p_x = 4

ggplot() +
  # Eixos em x = 0 e y = 0
  geom_hline(yintercept = 0, color = "black", linewidth = 0.8) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "black", linewidth = 0.8) +
  # Curva Marshalliana (vermelho): p_x = 4/x
  geom_function(fun = \(x) 4 / x, xlim = c(0.7, 10),
                color = "red", linewidth = 1.1) +
  # Curva Hicksiana (azul): p_x = 16/x^2
  geom_function(fun = \(x) 16 / x^2, xlim = c(1.8, 10),
                color = "blue", linewidth = 1.1) +
  # Linhas horizontais tracejadas nos preços antigo e novo
  geom_segment(aes(x = 0, y = 1, xend = 4, yend = 1),
               linetype = "dashed", color = "gray50", linewidth = 0.5) +
  geom_segment(aes(x = 0, y = 4, xend = 2, yend = 4),
               linetype = "dashed", color = "gray50", linewidth = 0.5) +
  # Projeções verticais dos 3 pontos até o eixo x
  geom_segment(aes(x = 4, y = 0, xend = 4, yend = 1),
               linetype = "dotted", color = "red", linewidth = 0.4) +
  geom_segment(aes(x = 2, y = 0, xend = 2, yend = 4),
               linetype = "dotted", color = "darkgreen", linewidth = 0.4) +
  geom_segment(aes(x = 1, y = 0, xend = 1, yend = 4),
               linetype = "dotted", color = "purple", linewidth = 0.4) +
  # Pontos A, B, C
  geom_point(aes(x = 4, y = 1), color = "red", size = 3.5) +
  geom_point(aes(x = 2, y = 4), color = "darkgreen", size = 3.5) +
  geom_point(aes(x = 1, y = 4), color = "purple", size = 3.5) +
  # Rótulos dos pontos
  annotate("text", x = 4.2, y = 1.4,
           label = "A = (4; 1)", color = "red", size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 2.2, y = 4.4,
           label = "B = (2; 4)", color = "darkgreen", size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 0.2, y = 4.6,
           label = "C = (1; 4)", color = "purple", size = 4, hjust = 0) +
  # Rótulos de preço no eixo y
  annotate("text", x = 0.15, y = 0.7,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x = 1$)"),
           size = 3.5, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 0.15, y = 3.7,
           label = latex2exp::TeX(r"($p_x = 4$)"),
           size = 3.5, hjust = 0) +
  # Colchetes ES e ER abaixo do eixo x
  annotate("segment", x = 2, xend = 4, y = -0.30, yend = -0.30,
           color = "darkgreen", linewidth = 0.8,
           arrow = arrow(ends = "both", length = unit(0.15, "cm"))) +
  annotate("text", x = 3, y = -0.55,
           label = latex2exp::TeX(r"(ES $= -2$)"),
           color = "darkgreen", size = 3.8) +
  annotate("segment", x = 1, xend = 2, y = -0.30, yend = -0.30,
           color = "purple", linewidth = 0.8,
           arrow = arrow(ends = "both", length = unit(0.15, "cm"))) +
  annotate("text", x = 1.5, y = -0.55,
           label = latex2exp::TeX(r"(ER $= -1$)"),
           color = "purple", size = 3.8) +
  # Rótulos das curvas (canto superior direito, sem sobreposição)
  annotate("text", x = 6, y = 3.8,
           label = latex2exp::TeX(r"(Marshalliana: $x^* = 4/p_x$)"),
           color = "red", size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = 6, y = 3.2,
           label = latex2exp::TeX(r"(Hicksiana: $x^c = 4 \, p_x^{-0{,}5}$)"),
           color = "blue", size = 4, hjust = 0) +
  scale_x_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(0, 11),
    breaks = seq(0, 10, 1)
  ) +
  scale_y_continuous(
    expand = c(0, 0),
    limits = c(-0.8, 5.5),
    breaks = seq(0, 5, 1)
  ) +
  labs(
    x = latex2exp::TeX(r"(Quantidade $x$)"),
    y = latex2exp::TeX(r"(Preço $p_x$)"),
    title = latex2exp::TeX(r"(Decomposição de Slutsky no plano preço-quantidade: $p_x$: $1 \to 4$)")
  ) +
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Nota 5.7: Elasticidades da demanda

Símbolo	Significado
$e_{x, p_x}$	elasticidade-preço da demanda
$e_{x, I}$	elasticidade-renda
$e_{x, p_y}$	elasticidade-preço cruzada
$e_{x^c, p_x}$	elasticidade-preço compensada (Hicksiana)
$s_x = p_x x / I$	fração da renda gasta em $x$

Desenvolvimento Teórico

As derivadas $\partial x/\partial p_x$, $\partial x/\partial I$ e $\partial x/\partial p_y$ que estudamos nos callouts anteriores dependem das unidades em que preços, renda e quantidades são medidos. Por isso, no trabalho empírico, prefere-se trabalhar com elasticidades: medidas adimensionais que expressam variações proporcionais (percentuais) e permitem comparação entre bens, países e períodos (Nicholson e Snyder, 2012).

Definições (Marshalliana). A partir da função de demanda $x(p_x, p_y, I)$:

\[\begin{aligned} e_{x, p_x} &= \frac{\partial x}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x} & & \text{elasticidade-preço: $\%$ em $x$ por $\%$ em $p_x$} \\[6pt] e_{x, I} &= \frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{I}{x} & & \text{elasticidade-renda} \\[6pt] e_{x, p_y} &= \frac{\partial x}{\partial p_y} \cdot \frac{p_y}{x} & & \text{elasticidade-preço cruzada} \end{aligned}\]

Classificação da elasticidade-preço. Como a demanda Marshalliana de bens normais e inferiores comuns é descendente, $e_{x, p_x} \leq 0$. Pela magnitude absoluta, convencionou-se:

Caso	Valor de $e_{x, p_x}$	Interpretação
Elástica	$e_{x, p_x} < -1$	demanda responde mais que proporcionalmente a $p_x$
Elasticidade unitária	$e_{x, p_x} = -1$	resposta proporcional
Inelástica	$-1 < e_{x, p_x} < 0$	demanda responde menos que proporcionalmente
Giffen	$e_{x, p_x} > 0$	caso excepcional (Note 5.3)

Elasticidade-preço e gasto total. O gasto em $x$ é o produto $p_x \cdot x$. Diferenciando em relação a $p_x$ pela regra do produto:

\[\begin{aligned} \frac{\partial (p_x \cdot x)}{\partial p_x} &= \frac{\partial p_x}{\partial p_x} \cdot x + p_x \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x} & & \text{regra do produto} \\[6pt] &= x + p_x \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x} & & \text{pois } \partial p_x/\partial p_x = 1 \\[6pt] &= x + x \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x} & & \text{multiplicando e dividindo por } x \\[6pt] &= x + x \cdot e_{x, p_x} & & \text{definição de } e_{x, p_x} \\[6pt] &= x \, (1 + e_{x, p_x}) & & \text{colocando } x \text{ em evidência} \end{aligned}\]

O sinal depende de $e_{x, p_x}$ ser maior ou menor que $-1$: demanda inelástica ($-1 < e_{x, p_x} < 0$) implica $1 + e_{x, p_x} > 0$ e o gasto total cresce com o preço; demanda elástica ($e_{x, p_x} < -1$) implica $1 + e_{x, p_x} < 0$ e o gasto cai; no caso unitário ($e_{x, p_x} = -1$), o gasto é invariante a $p_x$.

Elasticidades compensadas. Aplicando as mesmas definições à demanda Hicksiana $x^c(p_x, p_y, U)$:

\[e_{x^c, p_x} = \frac{\partial x^c}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x^c}, \qquad e_{x^c, p_y} = \frac{\partial x^c}{\partial p_y} \cdot \frac{p_y}{x^c}\]

Slutsky em forma de elasticidade

Partimos da equação de Slutsky derivada em Note 5.6 e multiplicamos ambos os lados por $p_x / x$:

\[\begin{aligned} \frac{\partial x}{\partial p_x} &= \frac{\partial x^c}{\partial p_x} - x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} & & \text{Slutsky (original)} \\[6pt] \frac{\partial x}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x} &= \frac{\partial x^c}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x} - x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{p_x}{x} & & \text{multiplicando por } p_x/x \\[6pt] e_{x, p_x} &= \frac{\partial x^c}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x^c} - p_x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} & & \text{pois no ponto ótimo } x = x^c \\[6pt] e_{x, p_x} &= e_{x^c, p_x} - \frac{p_x x}{I} \cdot \frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{I}{x} & & \text{multiplicando e dividindo por } I \text{ e } x \\[6pt] e_{x, p_x} &= e_{x^c, p_x} - s_x \cdot e_{x, I} & & \text{definições de } s_x = p_x x/I \text{ e } e_{x, I} \end{aligned}\]

\[\boxed{e_{x, p_x} = e_{x^c, p_x} - s_x \, e_{x, I}}\]

A elasticidade Marshalliana e a compensada coincidem quando o bem tem pequena participação no orçamento ($s_x \to 0$) ou quando a demanda é renda-inelástica ($e_{x, I} \to 0$). Em muitos bens aplicados, ao menos uma dessas condições se aproxima, de modo que os dois conceitos de elasticidade-preço podem ser usados quase indistintamente no trabalho empírico (Nicholson e Snyder, 2012).

Três relações de agregação

Da estrutura de utilidade-maximização (restrição orçamentária + homogeneidade da demanda) seguem três restrições internas entre as elasticidades. Derivamos cada uma abaixo.

(i) Homogeneidade de grau zero — via teorema de Euler.

A demanda Marshalliana $x(p_x, p_y, I)$ é homogênea de grau zero em $(p_x, p_y, I)$, como mostrado em Note 5.1. Pelo teorema de Euler, se uma função $f(z_1, \ldots, z_n)$ é homogênea de grau $k$, então $\sum_i z_i \, \partial f/\partial z_i = k \cdot f$. Aplicado a $x$ com $k = 0$:

\[\begin{aligned} p_x \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x} + p_y \cdot \frac{\partial x}{\partial p_y} + I \cdot \frac{\partial x}{\partial I} &= 0 & & \text{Euler com } k = 0 \\[6pt] \frac{p_x}{x} \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x} + \frac{p_y}{x} \cdot \frac{\partial x}{\partial p_y} + \frac{I}{x} \cdot \frac{\partial x}{\partial I} &= 0 & & \text{dividindo tudo por } x \\[6pt] e_{x, p_x} + e_{x, p_y} + e_{x, I} &= 0 & & \text{definições de elasticidade} \end{aligned}\]

\[\boxed{e_{x, p_x} + e_{x, p_y} + e_{x, I} = 0}\]

Ou seja, a soma das três elasticidades é zero: não é possível que todas sejam positivas (ou todas negativas) — a estrutura de utilidade-maximização força um balanço entre elas.

(ii) Agregação de Engel — via derivação da restrição orçamentária em $I$.

A restrição orçamentária é $I = p_x x + p_y y$. Derivando ambos os lados em relação a $I$ (com $p_x, p_y$ fixos):

\[\begin{aligned} \frac{\partial I}{\partial I} &= \frac{\partial (p_x x + p_y y)}{\partial I} & & \text{derivando a restrição} \\[6pt] 1 &= p_x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} + p_y \cdot \frac{\partial y}{\partial I} & & \text{pois } \partial I/\partial I = 1 \end{aligned}\]

Para transformar em elasticidades, multiplicamos e dividimos cada termo por $x$ (ou $y$) e por $I$:

\[\begin{aligned} 1 &= \underbrace{\frac{p_x x}{I}}_{s_x} \cdot \underbrace{\frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{I}{x}}_{e_{x, I}} + \underbrace{\frac{p_y y}{I}}_{s_y} \cdot \underbrace{\frac{\partial y}{\partial I} \cdot \frac{I}{y}}_{e_{y, I}} & & \text{reagrupando em elasticidades} \\[6pt] 1 &= s_x \cdot e_{x, I} + s_y \cdot e_{y, I} \end{aligned}\]

\[\boxed{s_x \, e_{x, I} + s_y \, e_{y, I} = 1}\]

A média ponderada das elasticidades-renda (com pesos iguais às frações de gasto) é exatamente $1$. Se um bem tem elasticidade-renda menor que $1$ (caso da alimentação na Lei de Engel, Note 5.2), algum outro bem do orçamento necessariamente tem elasticidade-renda maior que $1$ (bem de luxo).

(iii) Agregação de Cournot — via derivação da restrição orçamentária em $p_x$.

Novamente partindo de $I = p_x x + p_y y$ e derivando agora em relação a $p_x$ (com $p_y, I$ fixos, e lembrando que $x$ e $y$ são funções de $p_x$):

\[\begin{aligned} \frac{\partial I}{\partial p_x} &= \frac{\partial (p_x x)}{\partial p_x} + \frac{\partial (p_y y)}{\partial p_x} & & \text{derivando a restrição} \\[6pt] 0 &= x + p_x \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x} + p_y \cdot \frac{\partial y}{\partial p_x} & & \text{regra do produto no 1º termo; } \partial I/\partial p_x = 0 \end{aligned}\]

Multiplicamos tudo por $p_x / I$:

\[\begin{aligned} 0 &= \frac{p_x x}{I} + \frac{p_x^2}{I} \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x} + \frac{p_x p_y}{I} \cdot \frac{\partial y}{\partial p_x} & & \text{multiplicando por } p_x/I \\[6pt] 0 &= \underbrace{\frac{p_x x}{I}}_{s_x} + \underbrace{\frac{p_x x}{I}}_{s_x} \cdot \underbrace{\frac{\partial x}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x}}_{e_{x, p_x}} + \underbrace{\frac{p_y y}{I}}_{s_y} \cdot \underbrace{\frac{\partial y}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{y}}_{e_{y, p_x}} & & \text{reagrupando em elasticidades} \end{aligned}\]

Isolando os termos com elasticidade:

\[\boxed{s_x \, e_{x, p_x} + s_y \, e_{y, p_x} = -s_x}\]

A restrição orçamentária impõe que efeitos próprios e cruzados das mudanças de preço estejam conectados: um choque em $p_x$ não pode afetar apenas o consumo de $x$; necessariamente altera também o consumo de $y$ na proporção ditada por esta equação.

Essas três restrições — homogeneidade, Engel e Cournot — não dependem da forma funcional da utilidade. Qualquer sistema de demanda derivado de utilidade-maximização deve satisfazê-las, e testes empíricos dessas relações são usados para avaliar a consistência teórica de estimativas de elasticidades.

Exercício Resolvido

Cenário: Cobb-Douglas $U = x^\alpha y^{1-\alpha}$ com $\alpha + \beta = 1$. As demandas Marshallianas são $x^* = \alpha I / p_x$ e $y^* = (1-\alpha) I / p_y$. Vamos calcular as três elasticidades de $x$, verificar as relações de agregação e obter a elasticidade compensada via Slutsky.

Passo 1 — Elasticidade-preço $e_{x, p_x}$.

Começamos calculando a derivada parcial. Reescrevemos $x = \alpha I \cdot p_x^{-1}$ para aplicar a regra da potência:

\[\begin{aligned} \frac{\partial x}{\partial p_x} &= \frac{\partial}{\partial p_x}\!\left[\alpha I \cdot p_x^{-1}\right] & & \text{reescrevendo } x \\[6pt] &= \alpha I \cdot (-1) \cdot p_x^{-2} & & \text{regra da potência, } \alpha I \text{ constante em } p_x \\[6pt] &= -\frac{\alpha I}{p_x^2} \end{aligned}\]

Agora o fator $p_x / x$:

\[\frac{p_x}{x} = \frac{p_x}{\alpha I / p_x} = \frac{p_x \cdot p_x}{\alpha I} = \frac{p_x^2}{\alpha I}\]

Multiplicando os dois fatores:

\[\begin{aligned} e_{x, p_x} &= \frac{\partial x}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x} & & \text{definição} \\[6pt] &= -\frac{\alpha I}{p_x^2} \cdot \frac{p_x^2}{\alpha I} & & \text{substituindo os dois fatores} \\[6pt] &= -1 & & p_x^2 \text{ e } \alpha I \text{ cancelam} \end{aligned}\]

Passo 2 — Elasticidade-renda $e_{x, I}$.

Derivando $x = \alpha I / p_x$ em relação a $I$ (com $p_x$ constante):

\[\frac{\partial x}{\partial I} = \frac{\alpha}{p_x}\]

Fator $I / x$:

\[\frac{I}{x} = \frac{I}{\alpha I / p_x} = \frac{p_x}{\alpha}\]

Multiplicando:

\[\begin{aligned} e_{x, I} &= \frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{I}{x} & & \text{definição} \\[6pt] &= \frac{\alpha}{p_x} \cdot \frac{p_x}{\alpha} & & \text{substituindo os dois fatores} \\[6pt] &= 1 & & p_x \text{ e } \alpha \text{ cancelam} \end{aligned}\]

Passo 3 — Elasticidade-preço cruzada $e_{x, p_y}$.

A demanda Cobb-Douglas $x^* = \alpha I / p_x$ não depende de $p_y$, logo:

\[\frac{\partial x}{\partial p_y} = 0 \quad \Longrightarrow \quad e_{x, p_y} = 0 \cdot \frac{p_y}{x} = 0\]

Passo 4 — Frações de gasto $s_x$ e $s_y$.

\[\begin{aligned} s_x &= \frac{p_x \, x^*}{I} = \frac{p_x \cdot (\alpha I / p_x)}{I} = \alpha \\[6pt] s_y &= \frac{p_y \, y^*}{I} = \frac{p_y \cdot ((1-\alpha) I / p_y)}{I} = 1 - \alpha = \beta \end{aligned}\]

As frações de gasto coincidem com os expoentes da Cobb-Douglas — uma característica particular dessa forma funcional.

Passo 5 — Verificação das três relações de agregação.

Por simetria, o bem $y$ tem as mesmas elasticidades que $x$ com os papéis trocados: $e_{y, p_y} = -1$, $e_{y, I} = 1$, $e_{y, p_x} = 0$.

Homogeneidade (grau zero):

\[e_{x, p_x} + e_{x, p_y} + e_{x, I} = (-1) + 0 + 1 = 0 \quad ✓\]

Agregação de Engel (média ponderada das elasticidades-renda = 1):

\[s_x \, e_{x, I} + s_y \, e_{y, I} = \alpha \cdot 1 + (1-\alpha) \cdot 1 = \alpha + 1 - \alpha = 1 \quad ✓\]

Agregação de Cournot (soma ponderada dos efeitos em $p_x$ = $-s_x$):

\[s_x \, e_{x, p_x} + s_y \, e_{y, p_x} = \alpha \cdot (-1) + (1-\alpha) \cdot 0 = -\alpha = -s_x \quad ✓\]

Passo 6 — Elasticidade compensada via Slutsky em elasticidade.

Aplicando a fórmula $e_{x, p_x} = e_{x^c, p_x} - s_x \cdot e_{x, I}$ e isolando $e_{x^c, p_x}$:

\[\begin{aligned} e_{x^c, p_x} &= e_{x, p_x} + s_x \cdot e_{x, I} & & \text{isolando } e_{x^c, p_x} \\[6pt] &= (-1) + \alpha \cdot 1 & & \text{substituindo os valores calculados} \\[6pt] &= \alpha - 1 \\[6pt] &= -(1 - \alpha) = -\beta & & \text{pois } \beta = 1 - \alpha \end{aligned}\]

Verificação numérica em dois cenários. Comparamos o fio-condutor ($\alpha = \beta = 0{,}5$) com um caso alternativo assimétrico ($\alpha = 0{,}3$, $\beta = 0{,}7$). A renda e os preços são os mesmos: $p_x = 1$, $p_y = 4$, $I = 8$.

Grandeza	Símbolo	Fio-condutor ($\alpha = 0{,}5$)	Alternativo ($\alpha = 0{,}3$)	Depende de $\alpha$?
Elasticidade-preço Marshalliana	$e_{x, p_x}$	$-1$	$-1$	não
Elasticidade-renda	$e_{x, I}$	$1$	$1$	não
Elasticidade-preço cruzada	$e_{x, p_y}$	$0$	$0$	não
Fração de gasto em $x$	$s_x$	$0{,}5$	$0{,}3$	sim
Fração de gasto em $y$	$s_y$	$0{,}5$	$0{,}7$	sim
Elasticidade-preço Hicksiana	$e_{x^c, p_x}$	$-0{,}5$	$-0{,}7$	sim
Distância Marshalliana − Hicksiana	$\lvert e_{x, p_x} \rvert - \lvert e_{x^c, p_x} \rvert$	$0{,}5$	$0{,}3$	sim

Leituras-chave:

As três elasticidades Marshallianas são constantes em $\alpha$ — característica peculiar da Cobb-Douglas. Diferentes expoentes geram diferentes cestas ótimas, mas as proporções de resposta da demanda a $p_x$, $I$ e $p_y$ permanecem $-1$, $1$ e $0$.
A fração de gasto coincide com o expoente ($s_x = \alpha$): expoente maior, bem mais importante no orçamento.
A Hicksiana fica mais próxima da Marshalliana quando o bem tem menor peso no orçamento. No cenário $\alpha = 0{,}3$, $|e_{x^c, p_x}| = 0{,}7$ está a apenas $0{,}3$ da Marshalliana; no cenário $\alpha = 0{,}5$, a distância é $0{,}5$. Isso ilustra concretamente a observação de que Marshalliana e Hicksiana convergem quando $s_x \to 0$.

Para um cenário extremo ($\alpha \to 0$, bem com participação desprezível no orçamento), teríamos $e_{x^c, p_x} \to -1 = e_{x, p_x}$ — as duas elasticidades coincidem.

Interpretação

Elasticidades são o padrão empírico para descrever respostas da demanda porque são adimensionais: comparáveis entre bens, mercados e períodos. A Marshalliana fornece as elasticidades observáveis; a Hicksiana fornece a contraparte teoricamente limpa, depurada do efeito renda via Slutsky em forma de elasticidade.

A Cobb-Douglas produz elasticidades constantes ($-1$, $1$, $0$), caso especial em que a receita total é invariante ao preço. Formas mais flexíveis (CES, Stone-Geary, AIDS) permitem elasticidades variáveis ao longo da curva de demanda, capturando regularidades empíricas como a Lei de Engel (Note 5.2). As três relações de agregação (homogeneidade, Engel, Cournot) funcionam como testes de consistência: qualquer sistema de demanda estimado que as viole está em conflito com a hipótese de maximização racional do consumidor.

Símbolo	Significado
\(x^*(p_x, p_y, I)\)	função de demanda Marshalliana do bem \(x\)
\(y^*(p_x, p_y, I)\)	função de demanda Marshalliana do bem \(y\)
\(t > 0\)	fator de escala comum aplicado a preços e renda
grau 0	\(f(t \cdot \text{args}) = t^0 f(\text{args}) = f(\text{args})\)

Cenário	\(t\)	\(p_x\)	\(p_y\)	\(I\)	\(x^* = 0{,}5 I / p_x\)	\(y^* = 0{,}5 I / p_y\)	\(U^* = \sqrt{x^* y^*}\)
Original	1	1	4	8	4	1	2
Escalado	2	2	8	16	4	1	2

\(I\)	\(x^* = 0{,}5 I / p_x\)	\(y^* = 0{,}5 I / p_y\)	\(U^* = \sqrt{x^* y^*}\)
4	2	0,5	1
8	4	1	2
12	6	1,5	3

Tipo de bem	ES	ER	ET
Normal	\(+\)	\(+\)	\(+\)
Inferior	\(+\)	\(-\)	indeterminado (em geral \(+\))
Giffen	\(+\)	\(-\) (forte)	\(-\) (demanda sobe quando preço sobe)

\(p_x\)	\(x^* = 4/p_x\)	\(y^*\)	Gasto em \(x\): \(p_x x^*\)	Gasto em \(y\): \(p_y y^*\)
0,5	8	1	4	4
1	4	1	4	4
2	2	1	4	4
4	1	1	4	4

\(p_x\)	\(x^c = 4/\sqrt{p_x}\)	Valor
0,5	\(4/\sqrt{0{,}5}\)	\(\approx 5{,}66\)
1	\(4/\sqrt{1}\)	\(4\)
2	\(4/\sqrt{2}\)	\(\approx 2{,}83\)
4	\(4/\sqrt{4}\)	\(2\)

Por onde começar?

Desenvolvimento Teórico

Exercício Resolvido

Implementação em R

Interpretação

Desenvolvimento Teórico

Exercício Resolvido

Implementação em R

Interpretação

Desenvolvimento Teórico

Exercício Resolvido

Implementação em R

Interpretação

Desenvolvimento Teórico

Exercício Resolvido

Implementação em R

Interpretação

Desenvolvimento Teórico

Lema de Shephard — enunciado, intuição e utilidade prática

Demonstração via teorema do envelope

Propriedades da função de despesa

Resolução direta via Lagrangiano (caso geral)

Exercício Resolvido

Resolução via Lagrangiano

Função de despesa

Verificação pelo lema de Shephard

Rota alternativa: Shephard sem Lagrangiano do dual

Aplicação numérica ao cenário-base

Implementação em R

Interpretação

Desenvolvimento Teórico

Exercício Resolvido

Implementação em R

Interpretação

Decomposição gráfica via curvas de demanda

Desenvolvimento Teórico

Slutsky em forma de elasticidade

Três relações de agregação

Exercício Resolvido

Interpretação

Referências