Efeitos Renda e Substituição

Microeconomia

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

2026-04-17

Por onde começar?

Quando o preço de um bem muda, o que acontece com a quantidade demandada? A resposta envolve dois canais distintos que agem simultaneamente sobre a escolha do consumidor:

  1. Efeito substituição — o preço relativo entre os bens se altera, tornando um bem relativamente mais barato (ou mais caro) que o outro.
  2. Efeito renda — o poder de compra do consumidor muda, ainda que sua renda nominal permaneça constante.


O objetivo deste capítulo é separar esses dois efeitos e compreender como cada um contribui para a mudança na quantidade demandada. Para isso, construiremos duas curvas de demanda distintas: a demanda Marshalliana (ou ordinária), que mantém a renda nominal fixa, e a demanda Hicksiana (ou compensada), que mantém a utilidade fixa.


A síntese formal dessa decomposição é dada pela equação de Slutsky, que expressa a derivada da demanda em relação ao preço como a soma do efeito substituição e do efeito renda.

Homogeneidade da demanda

As funções de demanda Marshallianas são homogêneas de grau zero em preços e renda:

\[x^*(tp_x, tp_y, tI) = x^*(p_x, p_y, I) \quad \forall \, t > 0\]


Intuição: multiplicar todos os preços e a renda pelo mesmo fator \(t\) não altera o conjunto orçamentário:

\[tp_x x + tp_y y = tI \iff p_x x + p_y y = I\]

Como as preferências também não mudam, o ponto ótimo é o mesmo.


Implicação econômica. Uma inflação “pura”, na qual todos os preços e a renda nominal crescem na mesma proporção, não altera as demandas reais. Apenas mudanças em preços relativos (\(p_x/p_y\)) ou na renda real (\(I/p\)) afetam as escolhas do consumidor.

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Variações na renda: bens normais e inferiores

Nicholson, Figure 5.1

Nicholson, Figure 5.2

Variações na renda deslocam a reta orçamentária paralelamente: a inclinação \(-p_x/p_y\) permanece inalterada, pois os preços relativos não mudam.

Bens normais: \(\partial x^*/\partial I \geq 0\)

Aumentos de renda levam a aumentos no consumo. Exemplos: viagens, carros, lazer.

Bens inferiores: \(\partial x^*/\partial I < 0\)

Aumentos de renda levam a reduções no consumo. Exemplos históricos: batatas na Irlanda, roupa de segunda mão.

Curva de Engel: relação \(x^*(I)\) mantendo \(p_x\) e \(p_y\) fixos. Mostra como a quantidade demandada responde a variações de renda.

Efeitos: queda de preço

Nicholson, Figure 5.3

Três cestas de referência (Fig. 5.3):

  • \(A\): (\(x^*\), \(y^*\)) cesta inicial (preços antigos, renda \(I\)), sobre \(U_1\)
  • \(B\): cesta auxiliar (preços novos, renda compensada para manter \(U_1\))
  • \(C\): (\(x^{**}\), \(y^{**}\)) cesta final (preços novos, renda \(I\)), sobre \(U_2\)

Quando \(p_x\) cai, o movimento observado \(A \to C\) se decompõe em:

\(A \to B\): efeito substituição. Reta auxiliar (tracejada) tangente a \(U_1\) com a nova inclinação; utilidade constante. Sempre \(\Delta x > 0\), o consumidor substitui em direção ao bem que ficou relativamente mais barato.

\(B \to C\): efeito renda. Removida a compensação, o consumidor se move para a curva superior \(U_2\). Bem normal: \(\Delta x > 0\) (reforça o ES). Bem inferior: \(\Delta x < 0\) (reverte parte do ES).

Efeitos: aumento de preço

Nicholson, Figure 5.4

Mesmas três cestas da Fig. 5.3 (ver slide anterior): \(A\) (\(x^*\), \(y^*\)) inicial, \(B\) auxiliar sobre \(U_1\), \(C\) (\(x^{**}\), \(y^{**}\)) final sobre \(U_2\).

Quando \(p_x\) sobe, o movimento observado \(A \to C\) se decompõe em:

\(A \to B\): efeito substituição. Reta auxiliar tangente a \(U_1\) com a nova inclinação mais íngreme; utilidade mantida. Sempre \(\Delta x < 0\) — o consumidor se afasta do bem que ficou relativamente mais caro.

\(B \to C\): efeito renda. Renda real reduzida; o consumidor se move para a curva inferior \(U_2\). Bem normal: \(\Delta x < 0\) (reforça o ES). Bem inferior: \(\Delta x > 0\) (reverte parte do ES).

Tabela de sinais (para queda de \(p_x\), \(\Delta p_x < 0\)):

Tipo ES ER ET
Normal \(+\) \(+\) \(+\)
Inferior \(+\) \(-\) indeterminado
Giffen \(+\) \(-\) (forte) \(-\)

Para aumento de preço, inverter todos os sinais.

Paradoxo de Giffen

Um bem Giffen é aquele cuja quantidade demandada aumenta quando o preço sobe, violando a “lei da demanda”.

Requisitos:

  1. Bem inferior (\(\partial x/\partial I < 0\))
  2. Efeito renda domina o efeito substituição
  3. O bem absorve parcela significativa do orçamento do consumidor

Registro histórico. Robert Giffen reportou no século XIX o caso das batatas na Irlanda, quando o preço da batata subiu (após a praga da década de 1840), o consumo de batata teria aumentado entre famílias pobres, que foram forçadas a cortar gastos em alimentos “de luxo” e substituí-los pelo alimento básico.

Análises econométricas modernas questionam a ocorrência efetiva do paradoxo no caso irlandês, as evidências empíricas são frágeis. Ainda assim, o paradoxo permanece relevante como ilustração teórica do poder do efeito renda sobre bens inferiores essenciais.

Mais formalmente, o paradoxo de Giffen surge quando:

\[\left| x \cdot \frac{\partial x}{\partial I} \right| > \left| \frac{\partial x^c}{\partial p_x} \right|\]

  • isto é, quando o efeito renda (em valor absoluto) excede o efeito substituição.

Curva de demanda Marshalliana

Nicholson, Figure 5.5-a

Nicholson, Figure 5.5-b

A demanda Marshalliana (ou ordinária) \(x^*(p_x; \bar{p}_y, \bar{I})\) descreve como a quantidade ótima varia com o preço, mantendo constantes \(p_y\), \(I\) e preferências.

Propriedades:

  • Inclinação negativa (exceto em bens Giffen)
  • Movimentos ao longo da curva: mudanças em \(p_x\)
  • Deslocamentos: mudanças em \(I\), \(p_y\), preferências
  • Cobb-Douglas: \(x^*(p_x) = 0{,}5 \, I/p_x\), hipérbole

Curva de demanda Hicksiana (compensada)

Nicholson, Figure 5.6-a

Nicholson, Figure 5.6-b

A demanda Hicksiana (ou compensada) \(x^c(p_x, p_y, U)\) resolve o problema dual: minimizar a despesa sujeita a atingir \(\bar{U}\).

Propriedades:

  • Utilidade constante ao longo da curva
  • Reflete somente o efeito substituição
  • Lema de Shephard: \(x^c = \partial E/\partial p_x\)
  • Cobb-Douglas: \(x^c(p_x) = p_x^{-0{,}5} \, p_y^{0{,}5} \, U\)

Marshalliana × Hicksiana

Nicholson, Figure 5.7

As duas curvas se cruzam no ponto em que \(I\) permite exatamente atingir \(\bar{U}\) aos preços vigentes.

Aspecto Marshalliana Hicksiana
Variável fixa \(I\) (renda) \(U\) (utilidade)
Efeito capturado ES + ER só ES
Inclinação Normal: \(\leq 0\); Giffen: \(> 0\) Sempre \(\leq 0\)
Uso típico Estimação empírica Análise de bem-estar


Para bens normais, a Marshalliana é mais inclinada (em valor absoluto) que a Hicksiana, porque inclui o efeito renda em adição ao efeito substituição.

Equação de Slutsky

Do ponto de tangência, derivando a identidade de dualidade \(x^c = x[p_x, p_y, E(p_x, p_y, U)]\):

\[\frac{\partial x}{\partial p_x} = \underbrace{\frac{\partial x^c}{\partial p_x}\bigg|_{U=\bar{U}}}_{\text{substituição (ES)}} \;-\; \underbrace{x \cdot \frac{\partial x}{\partial I}}_{\text{renda (ER)}}\]

Sinais previstos:

Termo Sinal Razão
ES \(\leq 0\) Concavidade de \(E\) em preços
ER, bem normal \(< 0\) \(\partial x/\partial I > 0\)
ER, bem inferior \(> 0\) \(\partial x/\partial I < 0\)
ET, bem normal \(< 0\) Soma de ES e ER no mesmo sentido
ET, Giffen \(> 0\) ER inferior domina ES

Exemplo Cobb-Douglas (\(U = x^{0{,}5}y^{0{,}5}\), \(I = 8\), \(p_x = 1\), \(p_y = 4\)):

\[\underbrace{-4}_{\text{ET}} = \underbrace{-2}_{\text{ES}} + \underbrace{-2}_{\text{ER}} \quad \text{(taxa de variação } \partial x/\partial p_x \text{ no ponto } x^* = 4\text{)}\]

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Elasticidades da demanda

Derivadas dependem das unidades de medida. Elasticidades são adimensionais, permitindo comparar bens, mercados e períodos.

Definições (Marshalliana):

\[e_{x, p_x} = \frac{\partial x}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x}, \qquad e_{x, I} = \frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{I}{x}, \qquad e_{x, p_y} = \frac{\partial x}{\partial p_y} \cdot \frac{p_y}{x}\]

Gasto total e elasticidade-preço. Derivando \(p_x \cdot x\) pela regra do produto:

\[\frac{\partial (p_x \cdot x)}{\partial p_x} = x + p_x \cdot \frac{\partial x}{\partial p_x} = x \, (1 + e_{x, p_x})\]

Caso Valor Sinal de \((1 + e_{x, p_x})\) Gasto total \(p_x x\) com alta de \(p_x\)
Elástica \(e_{x, p_x} < -1\) \(< 0\) cai
Unitária \(e_{x, p_x} = -1\) \(= 0\) constante
Inelástica \(-1 < e_{x, p_x} < 0\) \(> 0\) sobe

Cobb-Douglas \(U = x^\alpha y^{1-\alpha}\): \(\;e_{x, p_x} = -1, \; e_{x, I} = 1, \; e_{x, p_y} = 0\) — elasticidades constantes em todo ponto, receita total invariante a \(p_x\).

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Slutsky e relações de agregação

Slutsky em forma de elasticidade. Multiplicando a equação de Slutsky por \(p_x/x\) e reagrupando:

\[\frac{\partial x}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x} = \frac{\partial x^c}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x^c} - \underbrace{\frac{p_x x}{I}}_{s_x} \cdot \underbrace{\frac{\partial x}{\partial I} \cdot \frac{I}{x}}_{e_{x, I}}\]

\[\boxed{e_{x, p_x} = e_{x^c, p_x} - s_x \, e_{x, I}}\]

Marshalliana e Hicksiana coincidem quando \(s_x \to 0\) (participação pequena no orçamento) ou \(e_{x, I} \to 0\) (bem renda-inelástico).

Três restrições internas (com \(s_x = p_x x/I\) e \(s_y = p_y y/I\)):

Relação Expressão Origem
Homogeneidade \(e_{x, p_x} + e_{x, p_y} + e_{x, I} = 0\) Euler, demanda é grau 0 em \((p_x, p_y, I)\)
Agregação de Engel \(s_x \, e_{x, I} + s_y \, e_{y, I} = 1\) derivando \(I = p_x x + p_y y\) em \(I\)
Agregação de Cournot \(s_x \, e_{x, p_x} + s_y \, e_{y, p_x} = -s_x\) derivando \(I = p_x x + p_y y\) em \(p_x\)

Verificação para Cobb-Douglas (\(\alpha = 0{,}5\), logo \(s_x = \alpha, \; s_y = 1-\alpha\)):

  • Homogeneidade: \(\;-1 + 0 + 1 = 0\) ✓
  • Engel: \(\;\alpha \cdot 1 + (1-\alpha) \cdot 1 = 1\) ✓
  • Cournot: \(\;\alpha(-1) + (1-\alpha)(0) = -\alpha = -s_x\) ✓
  • Hicksiana via Slutsky: \(\;e_{x^c, p_x} = -1 + 0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5\) (metade menos elástica)

Referências

NICHOLSON, W.; SNYDER, C. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 11. ed. [s.l.] South-Western, Cengage Learning, 2012.
___. Teoria microeconômica: princı́pios básicos e aplicações. [s.l.] Cengage Learning Edições, 2018.