Custos de Produção

Autor

Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Data de Publicação

2026-04-30

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Nota 7.1: Definições de custos no curto prazo

Símbolo	Significado
$CF$	custo fixo (não varia com $q$)
$CV(q)$	custo variável
$CT(q) = CF + CV(q)$	custo total
$CFMe = CF/q$	custo fixo médio
$CVMe = CV/q$	custo variável médio
$CTMe = CT/q$	custo total médio
$CMg = dCT/dq = dCV/dq$	custo marginal

Desenvolvimento Teórico

Horizonte temporal. No curto prazo, ao menos um fator (em geral $K$) é fixo. No longo prazo, todos os fatores são variáveis. Esta distinção não é calendárica: depende do fator em análise.

Custo econômico × contábil. Custo econômico inclui custo de oportunidade dos recursos próprios (ex.: salário que o proprietário deixa de ganhar em outra atividade), não apenas desembolsos monetários. Na teoria da firma, “custo” significa sempre custo econômico.

Funções-base.

\[CT(q) = CF + CV(q)\]

Com $CF$ constante (aluguel, depreciação do capital fixo, contratos de longo prazo) e $CV(q)$ crescente em $q$.

Médias e marginal.

\[CFMe = \frac{CF}{q}, \quad CVMe = \frac{CV(q)}{q}, \quad CTMe = \frac{CT(q)}{q} = CFMe + CVMe\]

\[CMg = \frac{dCT}{dq} = \frac{dCV}{dq}\]

$CMg$ independe de $CF$ porque $CF$ é constante: sua derivada é zero.

Tendências:

$CFMe$ sempre decrescente em $q$ (diluição do custo fixo)
$CVMe$ e $CTMe$ tipicamente em formato de U (decrescentes no início, crescentes depois)
$CMg$ cruza $CVMe$ e $CTMe$ nos respectivos pontos de mínimo (detalhado no callout 6)

Exercício Resolvido

Considere $CT(q) = 100 + 10q + 2q^2$ (CF = 100, CV = 10q + 2q²).

Passo 1: derivar as funções médias

\[\begin{aligned} CFMe(q) &= \frac{100}{q} \\[6pt] CVMe(q) &= \frac{10q + 2q^2}{q} = 10 + 2q \\[6pt] CTMe(q) &= \frac{100 + 10q + 2q^2}{q} = \frac{100}{q} + 10 + 2q \end{aligned}\]

Passo 2: derivar o custo marginal

\[\begin{aligned} CMg(q) &= \frac{dCT}{dq} = \frac{d}{dq}(100 + 10q + 2q^2) \\[6pt] &= 0 + 10 + 4q \\[6pt] &= 10 + 4q \end{aligned}\]

\[\boxed{CMg(q) = 10 + 4q}\]

Passo 3: avaliar em $q = 5$

\[CT(5) = 100 + 50 + 50 = 200, \quad CMg(5) = 10 + 20 = 30, \quad CTMe(5) = 200/5 = 40\]

Como $CMg(5) = 30 < CTMe(5) = 40$, $CTMe$ ainda é decrescente em $q = 5$.

Valores numéricos para $q$ inteiros. Substituindo as fórmulas dos Passos 1 e 2 em $q = 0, 1, 2, \ldots, 15$ (com $CF = 100$ constante):

$q$	$CF$	$CV = 10q + 2q^2$	$CT = CF + CV$	$CFMe = \frac{100}{q}$	$CVMe = 10 + 2q$	$CTMe = \frac{CT}{q}$	$CMg = 10 + 4q$
0	100	0	100	—	—	—	10
1	100	12	112	100,00	12,00	112,00	14
2	100	28	128	50,00	14,00	64,00	18
3	100	48	148	33,33	16,00	49,33	22
4	100	72	172	25,00	18,00	43,00	26
5	100	100	200	20,00	20,00	40,00	30
6	100	132	232	16,67	22,00	38,67	34
7	100	168	268	14,29	24,00	38,29	38
8	100	208	308	12,50	26,00	38,50	42
9	100	252	352	11,11	28,00	39,11	46
10	100	300	400	10,00	30,00	40,00	50
11	100	352	452	9,09	32,00	41,09	54
12	100	408	508	8,33	34,00	42,33	58
13	100	468	568	7,69	36,00	43,69	62
14	100	532	632	7,14	38,00	45,14	66
15	100	600	700	6,67	40,00	46,67	70

O mínimo exato de $CTMe$ está em $q^* = \sqrt{50} \approx 7{,}07$, onde $CMg = CTMe \approx 38{,}28$. Entre $q = 7$ (linha em destaque) e $q = 8$, $CMg$ cruza $CTMe$, regra geométrica explorada no Note 7.7. Verificação numérica em cada linha: $CFMe + CVMe = CTMe$ e $CT = CF + CV$.

Implementação em R

Código

cor1 <- "dodgerblue"
cor2 <- "firebrick"
cor3 <- "forestgreen"
cor4 <- "darkorange"

q <- seq(0.5, 15, by = 0.1)

df <- tibble(
  q = q,
  CT = 100 + 10 * q + 2 * q^2,
  CF = 100,
  CV = 10 * q + 2 * q^2,
  CMg = 10 + 4 * q,
  CTMe = (100 + 10 * q + 2 * q^2) / q,
  CVMe = 10 + 2 * q,
  CFMe = 100 / q
)

p1 <- df |>
  pivot_longer(cols = c(CT, CF, CV), names_to = "serie", values_to = "valor") |>
  ggplot(aes(x = q, y = valor, color = serie)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c(CT = cor1, CF = cor3, CV = cor2)) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = "Custos totais",
    x = "q", y = "Custo", color = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    legend.position = "bottom"
  )

p2 <- df |>
  pivot_longer(cols = c(CMg, CTMe, CVMe, CFMe), names_to = "serie", values_to = "valor") |>
  ggplot(aes(x = q, y = valor, color = serie)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c(CMg = cor2, CTMe = cor1, CVMe = cor3, CFMe = cor4)) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 100), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = "Médios e marginal",
    x = "q", y = "Custo por unidade", color = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    legend.position = "bottom"
  )

p1 + p2

Interpretação

Custos totais crescem. $CT$ e $CV$ crescem monotonicamente em $q$; $CF$ é horizontal em 100.

Formato das curvas médias. $CFMe$ decresce monotonicamente (diluição). $CVMe$ é linear crescente (porque $CV$ é polinomial de grau 2 simples). $CTMe$ é em U: domina $CFMe$ para $q$ baixo (decrescente) e $CVMe$ para $q$ alto (crescente).

$CMg$ crescente. Reflete rendimentos decrescentes implícitos no coeficiente $2q^2$ do $CV$.

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.1–10.2).

Nota 7.2: Mínimo de $CTMe$: condições de primeira e segunda ordem

Símbolo	Significado
$g(q)$	função suave, e.g. $CTMe$, $CVMe$, $CMg$
$g'(q^*) = 0$	condição de primeira ordem (CPO), ponto crítico
$g''(q^*) > 0$	condição de segunda ordem (CSO), mínimo local
$g''(q^*) < 0$	CSO, máximo local
$g''(q) > 0\;\forall\, q$	$g$ globalmente convexa, mínimo único e global

Desenvolvimento Teórico

Intuição: o mínimo está onde a inclinação muda de sinal. Em um vale (mínimo local) de uma função suave $g(q)$, a inclinação $g'(q)$ é negativa antes do fundo ($g$ descendo), zero no fundo, e positiva depois ($g$ subindo). Em um pico (máximo local), o oposto. Em ambos os casos, $g' = 0$ exatamente no extremo. Isso dá o procedimento padrão:

Condição de primeira ordem (CPO). Resolver $g'(q^*) = 0$ para obter os pontos críticos (candidatos a extremo).
Condição de segunda ordem (CSO). Distinguir mínimo de máximo via curvatura. $g''(q^*) > 0$ significa que $g$ é convexa em $q^*$ (curva “sorri”), logo é mínimo. $g''(q^*) < 0$ significa concavidade, logo é máximo. Se $g''(q^*) = 0$, o teste é inconclusivo.

Caso especial: convexidade global. Quando $g''(q) > 0$ para todo $q$ no domínio, $g$ é globalmente convexa. Aí qualquer ponto crítico é automaticamente o único mínimo global, sem necessidade de comparar candidatos.

Quando o mínimo não existe. Se $g'(q) \ne 0$ para todo $q > 0$, então $g$ é monótona (sempre crescente ou sempre decrescente) e não tem ponto crítico interior. Três cenários comuns:

$g(q) = a + bq$ com $b > 0$ (linear crescente): $g' = b > 0$ sempre, $g$ apenas cresce.
$g(q) = a + bq$ com $b < 0$ (linear decrescente): $g' = b < 0$ sempre, $g$ apenas decresce.
$g$ côncava com $g' > 0$, por exemplo $g(q) = \sqrt q$: cresce a taxa decrescente, mas $g'$ nunca atinge zero.

A existência de mínimo depende portanto da forma funcional. Para custos: polinômios de grau 2 $CT = CF + c_1 q + c_2 q^2$ produzem $CMg = c_1 + 2 c_2 q$ e $CVMe = c_1 + c_2 q$, ambos lineares e sem mínimo individual. Polinômios de grau 3 produzem $CMg$ e $CVMe$ em formato de U. O caso cúbico é tratado em Note 7.8.

Por que $CTMe$ tem mínimo mesmo quando $CMg$ e $CVMe$ não têm. $CTMe$ herda da parcela $CFMe = CF/q$ um termo fortemente decrescente em $q$. Aplicando a regra de derivação à decomposição $CTMe(q) = CFMe(q) + CVMe(q) = CF/q + CVMe(q)$:

\[\begin{aligned} \frac{dCTMe}{dq} &= \frac{d}{dq}\!\left(\frac{CF}{q}\right) + \frac{dCVMe}{dq} & & \text{linearidade da derivada} \\[6pt] &= \frac{d}{dq}\!\left(CF \cdot q^{-1}\right) + \frac{dCVMe}{dq} & & \text{reescrevendo } CF/q \\[6pt] &= -CF \cdot q^{-2} + \frac{dCVMe}{dq} & & \text{regra da potência: } d(q^{-1})/dq = -q^{-2} \\[6pt] &= -\frac{CF}{q^2} + \frac{dCVMe}{dq} & & \text{forma final} \end{aligned}\]

A CPO $dCTMe/dq = 0$ é o equilíbrio entre dois efeitos opostos:

$-CF/q^2 < 0$: efeito de diluição do custo fixo. Aumentar $q$ rebaixa $CFMe$, puxando $CTMe$ para baixo.
$+\,dCVMe/dq > 0$ (no caso típico): efeito de encarecimento do custo variável médio. Aumentar $q$ eleva $CVMe$, puxando $CTMe$ para cima.

Em $q$ pequeno, $-CF/q^2$ é muito negativo (diluição forte) e domina: $CTMe$ cai. Em $q$ grande, $-CF/q^2$ é quase zero e o termo positivo domina: $CTMe$ sobe. O mínimo está exatamente onde as duas forças se cancelam. Mesmo se $dCVMe/dq$ for constante (caso $CVMe$ linear, como no Callout 1), o $CTMe$ tem mínimo, contanto que exista $CF > 0$.

Conexão com a lei geométrica (CMg = CTMe no mínimo). A CPO acima admite uma reescrita elegante. Aplicando a regra do quociente em $CTMe = CT/q$:

\[\begin{aligned} \frac{dCTMe}{dq} &= \frac{d}{dq}\!\left(\frac{CT(q)}{q}\right) & & \text{definição de } CTMe \\[6pt] &= \frac{CT'(q) \cdot q - CT(q) \cdot 1}{q^2} & & \text{regra do quociente} \\[6pt] &= \frac{CT'(q)}{q} - \frac{CT(q)}{q^2} & & \text{separando os termos} \\[6pt] &= \frac{CMg(q)}{q} - \frac{CTMe(q)}{q} & & CMg = CT', \;\; CTMe = CT/q \\[6pt] &= \frac{CMg(q) - CTMe(q)}{q} & & \text{fatorando } 1/q \end{aligned}\]

Combinando com a CPO:

\[\frac{dCTMe}{dq} = \frac{CMg - CTMe}{q} = 0 \;\Longleftrightarrow\; CMg(q^*) = CTMe(q^*)\]

ou seja, no mínimo de $CTMe$, o custo marginal é igual ao custo médio total. A interpretação econômica é direta: enquanto a unidade marginal custa menos que a média ($CMg < CTMe$), ela puxa a média para baixo; quando passa a custar mais ($CMg > CTMe$), puxa para cima; o ponto de transição ($CMg = CTMe$) é exatamente o mínimo da média. Esta é a “lei geométrica” antecipada no Callout 1 e generalizada em Note 7.7.

Exercício Resolvido

Continuando com $CT(q) = 100 + 10q + 2q^2$ do Callout 1.

Passo 1: identificar quais curvas têm mínimo

Das derivadas calculadas em Note 7.1:

\[CVMe(q) = 10 + 2q, \qquad CMg(q) = 10 + 4q\]

Ambas são lineares com inclinação positiva: $CVMe' = 2 > 0$ e $CMg' = 4 > 0$ em todo $q > 0$. A CPO $g'(q) = 0$ não tem solução. Logo, nenhuma das duas tem mínimo interior.

Apenas $CTMe$ tem mínimo, porque a parcela $CFMe = 100/q$ contribui com termo decrescente que se equilibra com o crescimento de $CVMe$.

Passo 2: derivada primeira de $CTMe$

\[\begin{aligned} CTMe(q) &= \frac{100}{q} + 10 + 2q & & \text{do Passo 1 do Callout 1} \\[6pt] \frac{dCTMe}{dq} &= -\frac{100}{q^2} + 0 + 2 & & \text{regra da potência termo a termo} \\[6pt] &= 2 - \frac{100}{q^2} & & \text{reorganizando} \end{aligned}\]

Passo 3: aplicar a CPO

\[\begin{aligned} \frac{dCTMe}{dq} &= 0 & & \text{condição de primeira ordem} \\[6pt] 2 - \frac{100}{q^2} &= 0 & & \text{do Passo 2} \\[6pt] \frac{100}{q^2} &= 2 & & \text{isolando o termo em } q \\[6pt] q^2 &= 50 & & \text{multiplicando por } q^2/2 \\[6pt] q^* &= \sqrt{50} = 5\sqrt 2 \approx 7{,}07 & & \text{considerando } q > 0 \end{aligned}\]

\[\boxed{q^* = \sqrt{50} \approx 7{,}07}\]

Passo 4: verificar via CSO

\[\begin{aligned} \frac{d^2 CTMe}{dq^2} &= \frac{d}{dq}\left(2 - \frac{100}{q^2}\right) & & \text{derivando o Passo 2} \\[6pt] &= 0 - 100 \cdot (-2) q^{-3} & & \text{regra da potência} \\[6pt] &= \frac{200}{q^3} & & \text{simplificando} \end{aligned}\]

Como $q^* = \sqrt{50} > 0$, $d^2 CTMe/dq^2 > 0$. CSO satisfeita: $q^*$ é mínimo. Mais ainda, $200/q^3 > 0$ para todo $q > 0$, então $CTMe$ é globalmente convexa em $q > 0$ e $q^*$ é o mínimo único e global.

Passo 5: avaliar $CTMe$ e $CMg$ em $q^*$

\[\begin{aligned} CTMe(\sqrt{50}) &= \frac{100}{\sqrt{50}} + 10 + 2\sqrt{50} & & \text{usando a fórmula do Passo 2} \\[6pt] &= 2\sqrt{50} + 10 + 2\sqrt{50} & & 100/\sqrt{50} = 100\sqrt{50}/50 = 2\sqrt{50} \\[6pt] &= 10 + 4\sqrt{50} & & \text{somando} \\[6pt] &\approx 10 + 28{,}28 \approx 38{,}28 & & \sqrt{50} \approx 7{,}071 \end{aligned}\]

\[\boxed{\text{min } CTMe: (q^*, CTMe) \approx (7{,}07; \; 38{,}28)}\]

Avaliando $CMg$ no mesmo ponto:

\[CMg(\sqrt{50}) = 10 + 4\sqrt{50} \approx 38{,}28\]

\[\boxed{CMg(\sqrt{50}) = CTMe(\sqrt{50}) \approx 38{,}28}\]

A coincidência não é acidente. A CPO $dCTMe/dq = 0$ se reescreve, pela lei geométrica do Note 7.7, como $CMg = CTMe$. Sempre que $CTMe$ está num ponto crítico, $CMg$ cruza $CTMe$ nesse ponto.

Implementação em R

Código

cor1 <- "dodgerblue"
cor2 <- "firebrick"
cor3 <- "forestgreen"
cor4 <- "darkorange"

q <- seq(0.5, 15, by = 0.05)

df <- tibble(
  q    = q,
  CTMe = 100 / q + 10 + 2 * q,
  CVMe = 10 + 2 * q,
  CFMe = 100 / q,
  CMg  = 10 + 4 * q
)

q_star   <- sqrt(50)
ctme_min <- 100 / q_star + 10 + 2 * q_star

df |>
  pivot_longer(cols = c(CTMe, CVMe, CFMe, CMg),
               names_to = "serie", values_to = "valor") |>
  ggplot(aes(x = q, y = valor, color = serie)) +
  geom_vline(xintercept = q_star, color = "gray60", linetype = "dashed", linewidth = 0.6) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  annotate("point", x = q_star, y = ctme_min, color = "black", size = 2.8) +
  annotate("text", x = q_star - 0.8, y = ctme_min + 7,
           label = latex2exp::TeX(r"($q^* = \sqrt{50} \approx 7{,}07$)"),
           size = 4, hjust = 0) +
  annotate("text", x = q_star + 0.3, y = ctme_min - 4,
           label = "CMg = CTMe ≈ 38,28",
           size = 3.5, hjust = 0) +
  scale_color_manual(values = c(CTMe = cor1, CVMe = cor3, CFMe = cor4, CMg = cor2)) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 15), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 80), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = latex2exp::TeX(r"(Mínimo de $CTMe$ no exemplo $CT = 100 + 10q + 2q^2$)"),
    x = "q", y = "Custo por unidade", color = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    legend.position = "bottom"
  )

Interpretação

Por que apenas $CTMe$ tem mínimo neste exemplo. $CV(q) = 10q + 2q^2$ é polinomial de grau 2: sua derivada $CMg = 10 + 4q$ é linear. Funções lineares não-constantes não têm extremo interior. Já $CTMe = CFMe + CVMe$ herda o termo decrescente $CFMe = 100/q$. É a competição entre diluição do custo fixo e crescimento do $CVMe$ que produz a forma de U. Sem $CF$, não haveria mínimo: $CTMe = CVMe = 10 + 2q$ seria simplesmente crescente.

$CMg$ cruza $CTMe$ exatamente no mínimo. No gráfico, a reta $CMg$ (vermelha) cruza a curva $CTMe$ (azul) em $q^* = \sqrt{50}$. Não há cruzamento separado de $CMg$ com $CVMe$: ambas são paralelas em ascensão, com $CMg$ sempre $2q$ unidades acima de $CVMe$ (e iguais apenas em $q = 0$, fora do domínio relevante).

Caso degenerado, mas didaticamente útil. Esta forma funcional simples isola o efeito da diluição do $CF$ na construção da curva U de $CTMe$. O caso cúbico (Note 7.8) adiciona o efeito de rendimentos decrescentes em $CMg$ e $CVMe$, produzindo todos os três mínimos.

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.5).

Nota 7.3: Minimização de custos via Lagrange

Símbolo	Significado
$w$	salário (preço unitário do trabalho)
$r$	preço do aluguel do capital
$wL + rK$	custo total a minimizar
$f(L, K) = \bar q$	restrição de produção
$\mathcal L = wL + rK + \lambda[\bar q - f(L, K)]$	Lagrangiana
$\dfrac{PMg_L}{w} = \dfrac{PMg_K}{r}$	condição de ótimo
$TMST = w/r$	forma equivalente

Desenvolvimento Teórico

Problema da firma. Dado um nível-meta $\bar q$ e preços dos fatores $(w, r)$, escolher $(L, K)$ que minimiza o custo total sujeito à restrição tecnológica:

\[\min_{L, K} \; wL + rK \quad \text{s.a.} \quad f(L, K) = \bar q\]

Lagrangiana.

\[\mathcal L(L, K, \lambda) = wL + rK + \lambda\big[\bar q - f(L, K)\big]\]

Condições de primeira ordem.

\[\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal L}{\partial L} &= w - \lambda \frac{\partial f}{\partial L} = 0 \\[6pt] \frac{\partial \mathcal L}{\partial K} &= r - \lambda \frac{\partial f}{\partial K} = 0 \\[6pt] \frac{\partial \mathcal L}{\partial \lambda} &= \bar q - f(L, K) = 0 \end{aligned}\]

Derivação da condição de ótimo. Reescrevendo as duas primeiras CPO no formato “preço do fator = $\lambda$ vezes produto marginal”:

\[\begin{aligned} w - \lambda \cdot PMg_L &= 0 \;\Longrightarrow\; w = \lambda \cdot PMg_L & & \text{CPO em } L \\[6pt] r - \lambda \cdot PMg_K &= 0 \;\Longrightarrow\; r = \lambda \cdot PMg_K & & \text{CPO em } K \end{aligned}\]

O multiplicador $\lambda$ é o mesmo nas duas equações (é uma única variável da Lagrangiana). Para eliminar $\lambda$ e obter uma condição em grandezas observáveis, dividimos uma equação pela outra:

\[\begin{aligned} \frac{w}{r} &= \frac{\lambda \cdot PMg_L}{\lambda \cdot PMg_K} & & \text{razão lado a lado} \\[6pt] &= \frac{PMg_L}{PMg_K} & & \lambda \text{ cancela no numerador e denominador} \\[6pt] &= TMST_{LK} & & \text{definição: TMST é a razão dos PMg} \end{aligned}\]

\[\boxed{TMST = \frac{w}{r} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{PMg_L}{w} = \frac{PMg_K}{r}}\]

A forma equivalente $PMg_L/w = PMg_K/r$ sai diretamente: cada CPO dá $1/\lambda = PMg_L/w = PMg_K/r$, logo as três expressões são iguais. É o princípio equimarginal: no ótimo, cada fator entrega o mesmo produto marginal por unidade monetária gasta.

Por que aparece a razão $w/r$ e não $w$ e $r$ separadamente. Os preços absolutos não determinam o ótimo sozinhos: o que importa para a firma é o preço relativo, ou seja, quantas unidades de $K$ o mercado oferece em troca de uma unidade de $L$. Essa razão define a inclinação da reta de isocusto $wL + rK = C$, que reescrita fica $K = C/r - (w/r)\,L$ com inclinação $-w/r$ no plano $(L, K)$. A condição $TMST = w/r$ iguala a inclinação técnica da isoquanta (lado tecnológico) à inclinação da isocusto (lado de mercado), gerando a tangência detalhada a seguir.

Interpretação geométrica. Na solução ótima, a isoquanta $f(L,K) = \bar q$ é tangente à isocusto $wL + rK = C^*$. Se $TMST > w/r$, a firma usa trabalho demais: substituir 1 unidade de $L$ por $w/r$ unidades de $K$ reduz o custo sem alterar $q$. Simetria para $TMST < w/r$.

Interpretação de $\lambda$. Pelo envelope theorem:

\[\lambda = \frac{\partial C^*}{\partial \bar q}\]

$\lambda$ é o custo marginal da produção: acréscimo no custo total ao aumentar $\bar q$ em uma unidade. Intuição: $w/PMg_L$ = custo por unidade de produto via $L$, e no ótimo esta razão é igual a $\lambda$.

Interpretação econômica direta de $PMg_L/w$. Mede o produto marginal por real gasto em trabalho. No ótimo, essa razão é igual para todos os fatores: cada real gasto em qualquer fator gera o mesmo acréscimo de produto. Caso contrário, realocar recursos reduziria o custo.

Exercício Resolvido

Dados: $f(L, K) = \sqrt{LK}$, $w = 4$, $r = 1$, $\bar q = 10$.

Passo 1: montar a Lagrangiana

\[\mathcal L = 4L + K + \lambda(10 - \sqrt{LK})\]

Passo 2: calcular os PMg

\[\begin{aligned} PMg_L &= \frac{\partial \sqrt{LK}}{\partial L} = \frac{1}{2} L^{-1/2} K^{1/2} = \tfrac{1}{2} \sqrt{K/L} \\[6pt] PMg_K &= \frac{\partial \sqrt{LK}}{\partial K} = \tfrac{1}{2} \sqrt{L/K} \end{aligned}\]

Passo 3: CPO e razão TMST = w/r

\[\begin{aligned} \frac{PMg_L}{PMg_K} &= \frac{w}{r} & & \text{condição de ótimo} \\[6pt] \frac{\tfrac{1}{2}\sqrt{K/L}}{\tfrac{1}{2}\sqrt{L/K}} &= \frac{4}{1} & & \text{substituindo} \\[6pt] \frac{K}{L} &= 4 & & \text{simplificando} \\[6pt] K &= 4L & & \text{isolando } K \end{aligned}\]

Passo 4: substituir na restrição

\[\begin{aligned} \sqrt{L \cdot 4L} &= 10 \\[6pt] \sqrt{4L^2} &= 10 \\[6pt] 2L &= 10 \\[6pt] L^* &= 5, \quad K^* = 4 \cdot 5 = 20 \end{aligned}\]

\[\boxed{L^* = 5, \quad K^* = 20}\]

Passo 5: calcular o custo mínimo

\[C^* = 4 L^* + K^* = 4 \cdot 5 + 20 = 40\]

\[\boxed{C^* = 40}\]

Passo 6: interpretação do $\lambda$

Do Passo 3 e da CPO: $\lambda = w/PMg_L$. Em $L^* = 5, K^* = 20$:

\[PMg_L(5, 20) = \tfrac{1}{2}\sqrt{20/5} = \tfrac{1}{2} \cdot 2 = 1\]

\[\lambda = w/PMg_L = 4/1 = 4\]

Produzir 1 unidade adicional ($\bar q = 11$) custaria aproximadamente 4 u.m. a mais.

Implementação em R

Código

cor1 <- "dodgerblue"
cor2 <- "firebrick"
cor3 <- "forestgreen"

# Isoquanta Q = 10 para f(L, K) = sqrt(LK): K = 100/L
L_grid <- seq(0.5, 40, by = 0.1)
df_iso <- tibble(L = L_grid, K = 100 / L_grid)

# Isocusto C = 40: 4L + K = 40 => K = 40 - 4L
L_iso_c <- seq(0, 10, by = 0.1)
df_isocusto <- tibble(L = L_iso_c, K = 40 - 4 * L_iso_c)

# Ponto ótimo
ponto_otimo <- tibble(L = 5, K = 20)

ggplot() +
  geom_line(data = df_iso, aes(x = L, y = K), color = cor1, linewidth = 1.2) +
  geom_line(data = df_isocusto, aes(x = L, y = K), color = cor2, linewidth = 1.2) +
  geom_point(data = ponto_otimo, aes(x = L, y = K), color = "black", size = 3) +
  annotate("text", x = 8, y = 22, label = "(L*, K*) = (5, 20)", size = 4) +
  annotate("text", x = 22, y = 7, label = latex2exp::TeX(r"(Isoquanta $\sqrt{LK}=10$)"),
           color = cor1, size = 4) +
  annotate("text", x = 4, y = 5, label = latex2exp::TeX(r"(Isocusto $4L + K = 40$)"),
           color = cor2, size = 4) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 30), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 40), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = "Tangência isoquanta × isocusto",
    x = "L", y = "K"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8))

Interpretação

Tangência é o ótimo. O ponto $(5, 20)$ é onde a isoquanta (azul, $\sqrt{LK}=10$) encosta tangencialmente na isocusto mais baixa possível (vermelha tracejada, $4L + K = 40$). Qualquer outro ponto da isoquanta exige uma isocusto mais alta (custo maior) para ser alcançado.

Razão $K^*/L^* = 4$. Como $w/r = 4$, o capital é relativamente barato comparado ao trabalho. A firma usa 4× mais capital que trabalho. Se $w$ caísse, essa razão também cairia.

Custo ótimo $C^* = 40$. É o ponto de mínimo da função custo $C(\bar q, w, r) = C(10, 4, 1)$. Este valor retornará no callout 5.

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.3).

Nota 7.4: Minimização linear: solução de canto

Símbolo	Significado
$Q = aL + bK$	produção linear (substitutos perfeitos)
$w/a$	custo por unidade de produto via trabalho
$r/b$	custo por unidade de produto via capital
Solução de canto	especialização total em 1 fator

Desenvolvimento Teórico

Por que canto. Com substitutos perfeitos, $TMST = a/b$ é constante (ver Note 6.5). Então a condição de ótimo $TMST = w/r$ vira:

\[\frac{a}{b} = \frac{w}{r}\]

Se esta igualdade valer, qualquer ponto da isoquanta é ótimo (indiferença). Se não valer (caso genérico), a isoquanta e a isocusto não são paralelas: a solução está no canto da isoquanta (um dos fatores vira zero).

Regra prática. Calcular o custo por unidade de produto via cada fator:

\[\frac{w}{PMg_L} = \frac{w}{a}, \qquad \frac{r}{PMg_K} = \frac{r}{b}\]

A firma usa apenas o fator com menor custo por unidade de produto:

Se $w/a < r/b$: usar só $L$ (fazer $K = 0$)
Se $r/b < w/a$: usar só $K$ (fazer $L = 0$)
Se iguais: qualquer combinação na isoquanta é ótima

Exercício Resolvido

Dados: $Q = 3L + 2K$, $w = 10$, $r = 5$, $\bar Q = 30$.

Passo 1: calcular o custo por unidade via cada fator

\[\begin{aligned} \frac{w}{a} &= \frac{10}{3} \approx 3{,}33 & & \text{custo por unidade via trabalho} \\[6pt] \frac{r}{b} &= \frac{5}{2} = 2{,}5 & & \text{custo por unidade via capital} \end{aligned}\]

Passo 2: escolher o fator mais barato

$r/b = 2{,}5 < w/a = 3{,}33$ ⇒ capital é mais barato por unidade de produto. A firma usa apenas capital.

Passo 3: determinar $K$ a partir da restrição

Com $L = 0$:

\[3 \cdot 0 + 2K = 30 \quad \Rightarrow \quad K = 15\]

\[\boxed{L^* = 0, \quad K^* = 15}\]

Passo 4: calcular o custo mínimo

\[C^* = 10 \cdot 0 + 5 \cdot 15 = 75\]

\[\boxed{C^* = 75}\]

Implementação em R

Código

cor1 <- "dodgerblue"
cor2 <- "firebrick"

# Isoquanta 3L + 2K = 30 => K = (30 - 3L)/2
L_grid <- seq(0, 10, by = 0.1)
df_iso <- tibble(L = L_grid, K = (30 - 3 * L_grid) / 2) |> filter(K >= 0)

# Isocustos 10L + 5K = C para C = 60, 75, 90 => K = (C - 10L)/5
df_isocustos <- bind_rows(
  tibble(L = seq(0, 6, by = 0.1), K = (60 - 10 * L) / 5, C = "C = 60"),
  tibble(L = seq(0, 7.5, by = 0.1), K = (75 - 10 * L) / 5, C = "C = 75"),
  tibble(L = seq(0, 9, by = 0.1), K = (90 - 10 * L) / 5, C = "C = 90")
) |> filter(K >= 0)

ponto_otimo <- tibble(L = 0, K = 15)

ggplot() +
  geom_line(data = df_iso, aes(x = L, y = K), color = cor1, linewidth = 1.3) +
  geom_line(data = df_isocustos, aes(x = L, y = K, group = C, color = C),
            linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  geom_point(data = ponto_otimo, aes(x = L, y = K), color = "black", size = 3) +
  annotate("text", x = 0.5, y = 15.5, label = "(0, 15)", size = 4) +
  scale_color_manual(values = c("C = 60" = "gray70", "C = 75" = cor2, "C = 90" = "gray40")) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 12), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 20), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = "Solução de canto (substitutos perfeitos)",
    x = "L", y = "K", color = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    legend.position = "bottom"
  )

Interpretação

Inclinações diferentes. A isoquanta $3L + 2K = 30$ tem inclinação $-a/b = -3/2$. As isocustos têm inclinação $-w/r = -10/5 = -2$. Como $-2 < -3/2$ (isocustos mais íngremes), a isocusto mais baixa tangente à isoquanta é a que toca no eixo $K$: ponto $(0, 15)$.

Por que no canto. Mover de $(0, 15)$ para dentro da isoquanta (adicionando $L$ e reduzindo $K$) exigiria uma isocusto mais alta, pois cada unidade de $L$ custa 10 mas substitui apenas 1,5 unidades de $K$ (valor 5×1,5=7,5). Prejuízo líquido por unidade de $L$ usada: 10 − 7,5 = 2,5.

Generalização. Se $w$ cair a 7 (ou seja, $w/a = 7/3 \approx 2{,}33 < r/b = 2{,}5$), a solução inverte: $L^* = 10, K^* = 0$. O canto muda de vértice mas permanece canto.

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.3, caso linear).

Nota 7.5: Minimização Cobb-Douglas: Lagrange aplicado

Símbolo	Significado
$Q = L^\alpha K^\beta$	produção Cobb-Douglas (aqui $\alpha = \beta = 1/2$)
$TMST = (\alpha/\beta)(K/L)$	TMST em CD
$L^*(w, r, \bar q)$	demanda condicional de trabalho
$K^*(w, r, \bar q)$	demanda condicional de capital
$C^*(w, r, \bar q)$	função custo

Desenvolvimento Teórico

Setup. Função de produção Cobb-Douglas com rendimentos constantes de escala (RCE):

\[Q = L^\alpha K^\beta, \qquad \alpha + \beta = 1, \quad \alpha, \beta > 0\]

A firma minimiza $C = wL + rK$ sujeita a $L^\alpha K^\beta = \bar q$. No exercício abaixo, $\alpha = \beta = 1/2$.

Ponto de partida e destino. Partimos da condição $TMST = w/r$ (obtida em Note 7.3) aplicada à Cobb-Douglas e queremos chegar à fórmula fechada da função custo $C^*(w, r, \bar q)$. O caminho passa por quatro etapas, cada uma uma substituição da anterior: (1) TMST em função de $K$ e $L$ via $PMg_L$ e $PMg_K$; (2) razão ótima $K^*/L^*$ a partir de $TMST = w/r$; (3) demandas condicionais $L^*, K^*$ substituindo a razão na restrição; (4) função custo $C^* = wL^* + rK^*$.

Produtos marginais e TMST. As derivadas parciais de $Q$ são:

\[\begin{aligned} PMg_L &= \frac{\partial Q}{\partial L} = \alpha L^{\alpha-1} K^\beta & & \text{regra da potência em } L \\[6pt] PMg_K &= \frac{\partial Q}{\partial K} = \beta L^\alpha K^{\beta-1} & & \text{regra da potência em } K \end{aligned}\]

Calculando a TMST como razão dos produtos marginais (do Note 7.3):

\[\begin{aligned} TMST &= \frac{PMg_L}{PMg_K} = \frac{\alpha L^{\alpha-1} K^\beta}{\beta L^\alpha K^{\beta-1}} & & \text{razão lado a lado} \\[6pt] &= \frac{\alpha}{\beta} \cdot L^{(\alpha-1)-\alpha} \cdot K^{\beta-(\beta-1)} & & a^m/a^n = a^{m-n} \\[6pt] &= \frac{\alpha}{\beta} \cdot L^{-1} \cdot K & & \text{simplificando expoentes} \\[6pt] &= \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{K}{L} & & \text{forma final} \end{aligned}\]

\[\boxed{TMST = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{K}{L}}\]

A TMST em CD depende apenas da razão $K/L$ entre fatores (não dos níveis absolutos), modulada pela razão $\alpha/\beta$ dos parâmetros tecnológicos.

Razão ótima $K^*/L^*$. Aplicando a condição $TMST = w/r$:

\[\begin{aligned} \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{K}{L} &= \frac{w}{r} & & \text{tangência isoquanta-isocusto} \\[6pt] \frac{K}{L} &= \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r} & & \text{isolando } K/L \end{aligned}\]

\[\boxed{\frac{K^*}{L^*} = \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}}\]

A razão ótima entre fatores não depende do nível-meta $\bar q$. A “linha de expansão” da firma em CD é uma reta partindo da origem com inclinação $K/L = (\beta/\alpha)(w/r)$.

Demandas condicionais $L^*$ e $K^*$. Da razão $K = L \cdot (\beta/\alpha)(w/r)$, substituindo na restrição $L^\alpha K^\beta = \bar q$:

\[\begin{aligned} L^\alpha \left[L \cdot \frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}\right]^\beta &= \bar q & & \text{substituindo } K \\[6pt] L^\alpha \cdot L^\beta \cdot \left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}\right)^\beta &= \bar q & & (xy)^\beta = x^\beta y^\beta \\[6pt] L^{\alpha+\beta} \cdot \left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}\right)^\beta &= \bar q & & a^m a^n = a^{m+n} \\[6pt] L \cdot \left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}\right)^\beta &= \bar q & & \alpha+\beta = 1 \;\text{(RCE)} \\[6pt] L^* &= \bar q \cdot \left(\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{r}{w}\right)^\beta & & \text{isolando, invertendo a fração elevada a } \beta \end{aligned}\]

Análogo para $K^*$ (substituir $L = K \cdot (\alpha/\beta)(r/w)$ na restrição):

\[\boxed{L^* = \bar q \left(\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{r}{w}\right)^\beta, \qquad K^* = \bar q \left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}\right)^\alpha}\]

Função custo. Substituindo as demandas em $C^* = w L^* + r K^*$:

\[\begin{aligned} C^* &= w \bar q \left(\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{r}{w}\right)^\beta + r \bar q \left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}\right)^\alpha & & \text{somando custos} \\[6pt] &= \bar q \cdot w^{1-\beta} r^\beta \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^\beta + \bar q \cdot w^\alpha r^{1-\alpha} \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^\alpha & & \text{distribuindo expoentes} \\[6pt] &= \bar q \cdot w^\alpha r^\beta \left[\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^\beta + \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^\alpha\right] & & 1-\beta = \alpha,\;\; 1-\alpha = \beta \\[6pt] &= \bar q \cdot w^\alpha r^\beta \cdot \alpha^{-\alpha} \beta^{-\beta} & & \text{identidade demonstrada abaixo} \end{aligned}\]

A última simplificação usa a identidade $(\alpha/\beta)^\beta + (\beta/\alpha)^\alpha = \alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta}$. Para verificar, divide-se cada termo do lado esquerdo por $\alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta}$:

\[\frac{(\alpha/\beta)^\beta}{\alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta}} = \alpha^{\alpha+\beta} = \alpha, \qquad \frac{(\beta/\alpha)^\alpha}{\alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta}} = \beta^{\alpha+\beta} = \beta\]

Logo $(\alpha/\beta)^\beta + (\beta/\alpha)^\alpha = \alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta} \cdot (\alpha + \beta) = \alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta}$, usando $\alpha + \beta = 1$.

\[\boxed{C^*(w, r, \bar q) = \bar q \cdot \alpha^{-\alpha} \beta^{-\beta} \cdot w^\alpha r^\beta}\]

Estrutura da função custo.

Linearidade em $\bar q$. $C^*$ é proporcional a $\bar q$: dobrar a meta dobra o custo. Reflexo direto da RCE.
Homogeneidade de grau 1 em $(w, r)$. Dobrar todos os preços dobra o custo: $C^*(2w, 2r, \bar q) = 2 C^*(w, r, \bar q)$. Vale para qualquer função custo bem comportada, não apenas CD.
Expoentes $\alpha$ e $\beta$ como participações no custo. A elasticidade de $C^*$ em relação a $w$ é $\alpha$, e em relação a $r$ é $\beta$. Esses expoentes são exatamente a participação de cada fator no custo total (mostrado em Note 7.6 via lema de Shephard).

Esta função custo será reutilizada em Note 7.6 (dualidade) e em Note 7.8 (caso cúbico).

Exercício Resolvido

Dados: $Q = L^{1/2} K^{1/2}$ ($\alpha = \beta = 1/2$), $w = 4$, $r = 1$, $\bar q = 10$.

Passo 1: montar a Lagrangiana

A Lagrangiana incorpora a restrição $\sqrt{LK} = 10$ via multiplicador $\lambda$:

\[\mathcal L(L, K, \lambda) = 4L + K + \lambda\big(10 - L^{1/2} K^{1/2}\big)\]

O bloco $4L + K$ é o custo a minimizar; o bloco $\lambda(10 - L^{1/2}K^{1/2})$ zera quando a restrição é satisfeita. A forma $\lambda(\bar q - f)$ é equivalente a $-\lambda(f - \bar q)$: a escolha do sinal afeta apenas o sinal de $\lambda^*$, não a solução $(L^*, K^*)$.

Passo 2: condições de primeira ordem

Derivando $\mathcal L$ em relação a cada variável e igualando a zero, com $\partial Q/\partial L = \tfrac{1}{2} L^{-1/2} K^{1/2}$ e $\partial Q/\partial K = \tfrac{1}{2} L^{1/2} K^{-1/2}$ (regra da potência):

\[\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal L}{\partial L} &= 4 - \lambda \cdot \tfrac{1}{2} L^{-1/2} K^{1/2} = 0 & & \text{derivando em } L \\[6pt] \frac{\partial \mathcal L}{\partial K} &= 1 - \lambda \cdot \tfrac{1}{2} L^{1/2} K^{-1/2} = 0 & & \text{derivando em } K \\[6pt] \frac{\partial \mathcal L}{\partial \lambda} &= 10 - L^{1/2} K^{1/2} = 0 & & \text{recupera a restrição} \end{aligned}\]

Passo 3: razão das duas primeiras CPO (elimina $\lambda$)

Reescrevendo as duas primeiras CPO como $w = \lambda \cdot PMg_L$ e $r = \lambda \cdot PMg_K$, e dividindo:

\[\begin{aligned} \frac{w}{r} = \frac{4}{1} &= \frac{\lambda \cdot \tfrac{1}{2} L^{-1/2} K^{1/2}}{\lambda \cdot \tfrac{1}{2} L^{1/2} K^{-1/2}} & & \text{razão lado a lado} \\[6pt] &= \frac{L^{-1/2} K^{1/2}}{L^{1/2} K^{-1/2}} & & \lambda \text{ e } \tfrac{1}{2} \text{ cancelam} \\[6pt] &= L^{-1/2 - 1/2} \cdot K^{1/2 - (-1/2)} & & a^m/a^n = a^{m-n} \\[6pt] &= L^{-1} \cdot K = \frac{K}{L} & & \text{simplificando expoentes} \end{aligned}\]

Como $K/L = 4$, isolando $K$:

\[\boxed{K = 4L}\]

Passo 4: substituir $K = 4L$ na restrição

\[\begin{aligned} L^{1/2} K^{1/2} &= 10 & & \text{terceira CPO (restrição)} \\[6pt] L^{1/2} \cdot (4L)^{1/2} &= 10 & & K = 4L \text{ do Passo 3} \\[6pt] L^{1/2} \cdot 4^{1/2} \cdot L^{1/2} &= 10 & & (4L)^{1/2} = 4^{1/2} L^{1/2} \\[6pt] 2 \cdot L^{1/2 + 1/2} &= 10 & & 4^{1/2} = 2,\;\; a^m a^n = a^{m+n} \\[6pt] 2 L &= 10 & & L^{1/2 + 1/2} = L \\[6pt] L^* &= 5 & & \text{isolando } L \\[6pt] K^* &= 4 L^* = 20 & & \text{substituindo no Passo 3} \end{aligned}\]

\[\boxed{L^* = 5, \quad K^* = 20}\]

Passo 5: custo mínimo

\[\begin{aligned} C^* &= w L^* + r K^* & & \text{definição} \\[6pt] &= 4 \cdot 5 + 1 \cdot 20 & & \text{substituindo do Passo 4} \\[6pt] &= 20 + 20 = 40 & & \text{aritmética} \end{aligned}\]

\[\boxed{C^* = 40}\]

Passo 6: verificação pelas fórmulas fechadas do Desenvolvimento Teórico

Aplicando $L^*$, $K^*$ e $C^*$ derivados na seção anterior, com $\alpha = \beta = 1/2$, $w = 4$, $r = 1$, $\bar q = 10$:

\[\begin{aligned} L^* &= \bar q \left(\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{r}{w}\right)^\beta = 10 \cdot \left(1 \cdot \tfrac{1}{4}\right)^{1/2} & & \alpha/\beta = 1, \;\; r/w = 1/4 \\[6pt] &= 10 \cdot \sqrt{1/4} = 10 \cdot \tfrac{1}{2} = 5 & & \checkmark \\[12pt] K^* &= \bar q \left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}\right)^\alpha = 10 \cdot (1 \cdot 4)^{1/2} & & \beta/\alpha = 1, \;\; w/r = 4 \\[6pt] &= 10 \cdot 2 = 20 & & \checkmark \\[12pt] C^* &= \bar q \cdot \alpha^{-\alpha} \beta^{-\beta} \cdot w^\alpha r^\beta & & \text{fórmula da função custo} \\[6pt] &= 10 \cdot (1/2)^{-1/2} \cdot (1/2)^{-1/2} \cdot 4^{1/2} \cdot 1^{1/2} & & \text{substituindo} \\[6pt] &= 10 \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot 2 \cdot 1 & & (1/2)^{-1/2} = 2^{1/2} = \sqrt 2 \\[6pt] &= 10 \cdot 2 \cdot 2 = 40 & & \checkmark \end{aligned}\]

As três fórmulas confirmam os resultados via Lagrange.

Implementação em R

Código

cor1 <- "dodgerblue"
cor2 <- "firebrick"

# Isoquanta sqrt(LK) = 10 => K = 100/L
L_grid <- seq(1, 30, by = 0.1)
df_iso <- tibble(L = L_grid, K = 100 / L_grid)

# Isocustos tangentes/secantes: 4L + K = C
df_alt <- bind_rows(
  tibble(L = seq(0, 12, by = 0.1), K = 30 - 4 * seq(0, 12, by = 0.1), C = "C = 30"),
  tibble(L = seq(0, 12, by = 0.1), K = 40 - 4 * seq(0, 12, by = 0.1), C = "C = 40"),
  tibble(L = seq(0, 15, by = 0.1), K = 50 - 4 * seq(0, 15, by = 0.1), C = "C = 50")
) |> filter(K >= 0)

ponto_otimo <- tibble(L = 5, K = 20)

ggplot() +
  geom_line(data = df_iso, aes(x = L, y = K), color = cor1, linewidth = 1.3) +
  geom_line(data = df_alt, aes(x = L, y = K, group = C, color = C),
            linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  geom_point(data = ponto_otimo, aes(x = L, y = K), color = "black", size = 3) +
  annotate("text", x = 6.5, y = 22, label = "(5, 20)", size = 4) +
  scale_color_manual(values = c("C = 30" = "gray70", "C = 40" = cor2, "C = 50" = "gray40")) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, 25), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 50), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = "Minimização em CD: tangência no interior",
    x = "L", y = "K", color = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    legend.position = "bottom"
  )

Interpretação

Solução interior. Diferentemente do caso linear (callout 3), o ótimo está no interior do quadrante positivo: ambos os fatores são usados. Isoquantas hiperbólicas continuam curvando, sem cantos.

Razão $K^*/L^* = 4$. Com $w/r = 4$, o ótimo iguala $TMST = (K/L) = 4$. Proporcional a $w/r$.

Intercâmbio preço-quantidade. Se $w$ cair de 4 para 2, recalcular: $K/L = 2$, e $\sqrt{L \cdot 2L} = 10 \Rightarrow L = 10/\sqrt{2} \approx 7{,}07, K \approx 14{,}14$. A firma usa mais trabalho (ele ficou mais barato).

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.3, caso Cobb-Douglas).

Nota 7.6: Função custo, dualidade e lema de Shephard

Símbolo	Significado
$C(q, w, r)$	função custo mínimo (valor)
$L^*(w, r, q)$	demanda condicional de trabalho
$K^*(w, r, q)$	demanda condicional de capital
Homogeneidade grau 1	$C(q, tw, tr) = t \cdot C(q, w, r)$
Concavidade	$C$ côncava em $(w, r)$
Shephard	$\partial C/\partial w = L^, \; \partial C/\partial r = K^$

Desenvolvimento Teórico

Definição. A função custo mínimo é o valor da otimização do callout 2:

\[C(q, w, r) = \min_{L, K} \{ wL + rK : f(L, K) = q \}\]

Uma vez resolvido o problema, $C$ depende apenas de $(q, w, r)$: os $(L, K)$ ótimos são funções implícitas $(L^*(w, r, q), K^*(w, r, q))$ chamadas demandas condicionais de fator.

Propriedades (decorrem da estrutura de otimização):

Não-decrescente em $q, w, r$: subir qualquer preço ou a meta de produção não pode reduzir o custo ótimo.
Homogênea de grau 1 em $(w, r)$: $C(q, tw, tr) = t \cdot C(q, w, r)$ para $t > 0$. Dobrar todos os preços dobra o custo; a escolha ótima $(L^*, K^*)$ não muda.
Côncava em $(w, r)$: $C(q, \lambda w_1 + (1-\lambda) w_2, r) \geq \lambda C(q, w_1, r) + (1-\lambda) C(q, w_2, r)$. Intuição: quando um preço sobe, a firma pode reotimizar substituindo fatores, fazendo o custo subir menos do que seria na proporção linear.
Contínua em todos os argumentos (sob condições de regularidade da função produção).

Dualidade produção ↔︎ custo. Dada uma função produção $f(L, K)$ bem-comportada (contínua, quase-côncava, com rendimentos decrescentes em cada fator), obtemos a função custo $C(q, w, r)$ pelo problema de minimização. O inverso também é verdadeiro: dada uma função $C$ que satisfaça as 4 propriedades acima, é possível recuperar $f$ via o problema dual. As duas funções contêm a mesma informação tecnológica: são representações equivalentes.

Lema de Shephard. Seja $C^*(q, w, r)$ a função custo ótima e $(L^*, K^*)$ as demandas condicionais. Então:

\[\frac{\partial C^*}{\partial w} = L^*(w, r, q), \qquad \frac{\partial C^*}{\partial r} = K^*(w, r, q)\]

Derivação via envelope theorem. A função custo ótima é o valor da Lagrangiana na solução:

\[C^*(q, w, r) = \mathcal L^*(w, r, q) = wL^* + rK^* + \lambda^*\big[q - f(L^*, K^*)\big]\]

Derivando em relação a $w$, aplicando o envelope theorem (os termos de primeira ordem em $L^*, K^*, \lambda^*$ são zero por serem soluções das CPO):

\[\frac{\partial C^*}{\partial w} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial w}\bigg|_{L^*, K^*, \lambda^*} = L^*\]

Análogo para $r$. Q.E.D.

Interpretação econômica de Shephard. Se o salário sobe de $w$ para $w + \Delta w$, o custo total sobe, em primeira aproximação, por um valor igual a $L^* \cdot \Delta w$, ou seja, o quanto de trabalho já empregado vezes o aumento de preço. A firma pode depois re-otimizar (usar menos trabalho), mas em primeira ordem o efeito-preço domina. Este é o análogo da identidade de Roy no problema do consumidor.

Exercício Resolvido

Cobb-Douglas com $\alpha = \beta = 1/2$. Derivar $C^*(q, w, r)$, aplicar Shephard, verificar.

Passo 1: função custo para $f = L^{1/2} K^{1/2}$

Das demandas condicionais (callout 4, passo 6):

\[L^*(w, r, q) = q \sqrt{r/w}, \qquad K^*(w, r, q) = q \sqrt{w/r}\]

Substituindo em $C = wL + rK$:

\[\begin{aligned} C^*(q, w, r) &= w \cdot q\sqrt{r/w} + r \cdot q\sqrt{w/r} \\[6pt] &= q \sqrt{wr} + q\sqrt{wr} \\[6pt] &= 2q\sqrt{wr} \end{aligned}\]

\[\boxed{C^*(q, w, r) = 2q \sqrt{wr}}\]

Passo 2: verificar em $(q, w, r) = (10, 4, 1)$

\[C^*(10, 4, 1) = 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{4 \cdot 1} = 20 \cdot 2 = 40 \checkmark\]

Confere com o callout 4 ($C^* = 40$).

Passo 3: aplicar Shephard (derivada em $w$)

\[\begin{aligned} \frac{\partial C^*}{\partial w} &= \frac{\partial}{\partial w}\left(2q\sqrt{wr}\right) \\[6pt] &= 2q \cdot \sqrt{r} \cdot \frac{\partial \sqrt{w}}{\partial w} \\[6pt] &= 2q\sqrt{r} \cdot \frac{1}{2\sqrt{w}} \\[6pt] &= q \cdot \sqrt{r/w} \end{aligned}\]

Que é exatamente $L^*(w, r, q)$. ✓

Passo 4: aplicar Shephard (derivada em $r$)

Analogamente, $\partial C^*/\partial r = q\sqrt{w/r} = K^*$. ✓

Passo 5: verificar numericamente em $(q, w, r) = (10, 4, 1)$

\[L^* = 10 \sqrt{1/4} = 10 \cdot \tfrac{1}{2} = 5 \checkmark, \qquad K^* = 10\sqrt{4/1} = 10 \cdot 2 = 20 \checkmark\]

Implementação em R

Código

cor1 <- "dodgerblue"
cor2 <- "firebrick"

# Painel (a): C*(q) com w=4, r=1 fixos, função custo em q
q_grid <- seq(0, 20, by = 0.1)
df_c_q <- tibble(q = q_grid, C = 2 * q_grid * sqrt(4 * 1))

p1 <- ggplot(df_c_q, aes(x = q, y = C)) +
  geom_line(color = cor1, linewidth = 1.3) +
  geom_point(data = tibble(q = 10, C = 40), aes(x = q, y = C), color = cor2, size = 3,
             inherit.aes = FALSE) +
  annotate("text", x = 11, y = 42, label = "(10, 40)", size = 4) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = latex2exp::TeX(r"(Função custo: $C^*(q, 4, 1) = 4q$)"),
    x = "q", y = "C*"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8))

# Painel (b): C*(w) com q=10, r=1 fixos, Shephard em w
w_grid <- seq(0.5, 10, by = 0.1)
df_c_w <- tibble(w = w_grid, C = 2 * 10 * sqrt(w_grid * 1))

p2 <- ggplot(df_c_w, aes(x = w, y = C)) +
  geom_line(color = cor1, linewidth = 1.3) +
  geom_point(data = tibble(w = 4, C = 40), aes(x = w, y = C), color = cor2, size = 3,
             inherit.aes = FALSE) +
  annotate("text", x = 4.5, y = 42, label = "(4, 40)", size = 4) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = latex2exp::TeX(r"($C^*$ em função de $w$ (côncava em preços))"),
    x = "w", y = "C*"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8))

p1 + p2

Interpretação

Linearidade em $q$ para CD com RCE. Com $\alpha + \beta = 1$, $C^*(q, w, r) = q \cdot \phi(w, r)$: o custo total cresce linearmente com a produção. Isso implica $CMg$ e $CTMe$ constantes e iguais.

Concavidade em $w$. Visualmente, $C^*$ como função de $w$ é $\propto \sqrt{w}$, ou seja, côncava. Dobrar $w$ (de 4 para 8) sobe o custo apenas de 40 para $2 \cdot 10 \sqrt{8} \approx 56{,}6$ (não para 80), porque a firma reotimiza usando mais capital.

Shephard como atalho. Sem calcular as CPOs novamente, obtemos $L^*$ e $K^*$ diretamente de $C^*$. Em modelos aplicados (EGC, comércio) é mais fácil especificar $C^*$ e derivar as demandas via Shephard do que resolver a otimização para cada calibração.

Conexão com consumidor. O papel de Shephard na teoria da firma é análogo ao da identidade de Roy no problema do consumidor (ver equação de Slutsky em efeitos renda e substituição). Ambos usam envelope theorem para conectar funções-valor a demandas.

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.4–10.5).

Nota 7.7: Relação entre custo marginal e custo médio

Relação	Consequência
$CMg < CTMe$	$CTMe$ está decrescendo
$CMg > CTMe$	$CTMe$ está crescendo
$CMg = CTMe$	$CTMe$ em seu mínimo
análogo para $CVMe$	$CMg$ cruza $CVMe$ no mínimo de $CVMe$

Desenvolvimento Teórico

Lei geométrica. Para qualquer função $g(q)$ suave, define-se $g_{me}(q) = g(q)/q$ e $g_{mg}(q) = g'(q)$. A relação abaixo vale sempre:

\[\frac{dg_{me}}{dq} = \frac{g_{mg}(q) - g_{me}(q)}{q}\]

Derivação. Pela regra da derivada de quociente:

\[\begin{aligned} \frac{dg_{me}}{dq} &= \frac{d}{dq}\left(\frac{g(q)}{q}\right) \\[6pt] &= \frac{g'(q) \cdot q - g(q) \cdot 1}{q^2} \\[6pt] &= \frac{g'(q)}{q} - \frac{g(q)}{q^2} \\[6pt] &= \frac{1}{q}\left(g'(q) - \frac{g(q)}{q}\right) = \frac{g_{mg} - g_{me}}{q} \end{aligned}\]

Corolário. $dg_{me}/dq$ tem o mesmo sinal de $(g_{mg} - g_{me})$:

$g_{mg} < g_{me}$ ⇒ $g_{me}$ decrescente
$g_{mg} > g_{me}$ ⇒ $g_{me}$ crescente
$g_{mg} = g_{me}$ ⇒ $g_{me}$ no mínimo local

Aplicação aos custos. Tomando $g = CT$, obtemos a relação entre $CMg$ e $CTMe$. Tomando $g = CV$, obtemos a relação entre $CMg$ e $CVMe$ (note: $dCMg/dq$ é o mesmo para $CT$ e $CV$, pois diferem só por constante $CF$).

Intuição aritmética. Se a média de uma sequência é 20 e você adiciona um novo número $x$:

Se $x < 20$: a nova média diminui
Se $x > 20$: a nova média aumenta
Se $x = 20$: a média fica igual

$CMg$ é o “próximo número” que entra na média $CTMe$.

Interpretação

Dois cruzamentos padrão. Em funções custo típicas de curto prazo (com curvas médias em formato de $U$), $CMg$ cruza $CVMe$ primeiro (em $q$ menor) e depois $CTMe$ (em $q$ maior). Entre os dois cruzamentos, $CMg$ já está acima de $CVMe$ (pressionando-o para cima) mas ainda abaixo de $CTMe$ (que continua caindo pela diluição de $CF$).

Escala eficiente mínima. O mínimo de $CTMe$ define a escala em que o custo médio por unidade é menor possível. Em concorrência perfeita de longo prazo (capítulo 11), as firmas operam exatamente nesse ponto.

Preço de fechamento. O mínimo de $CVMe$ define o preço abaixo do qual a firma não cobre nem seus custos variáveis e deve parar no curto prazo (discutido em maximização de lucro).

Aplicação concreta. O Note 7.8 aplica essa lei geométrica à função $C(q) = 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000$, calculando os três pontos críticos (mínimos de $CMg$, $CVMe$, $CTMe$) e mostrando os cruzamentos graficamente.

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.6).

Nota 7.8: Exercício consolidado: função custo polinomial

Item	Alvo
a)	$CMg(q)$ e seu ponto de mínimo
b)	$CVMe(q)$ e seu ponto de mínimo
c)	$CMg$ e $CVMe$ no ponto de mínimo de $CVMe$
d)	$CTMe(q)$ e seu ponto de mínimo
e)	$CMg$ e $CTMe$ no ponto de mínimo de $CTMe$
f)	Gráfico mostrando as 3 interseções

Revisão matemática: encontrar extremos de funções

Dado $g(q)$ suave:

Primeira derivada: $g'(q)$ é a taxa de variação instantânea.
Pontos críticos: valores de $q$ onde $g'(q) = 0$. Candidatos a máximo, mínimo ou inflexão.
Segunda derivada: $g''(q) > 0$ ⇒ mínimo local; $g''(q) < 0$ ⇒ máximo local; $g''(q) = 0$ ⇒ teste inconclusivo.
Extremos em intervalos fechados: comparar valores de $g$ nos pontos críticos interiores com os valores nos extremos do intervalo.

Para funções quadráticas $g(q) = a q^2 + b q + c$ com $a > 0$ (parábola para cima), o mínimo está em $q^* = -b/(2a)$.

Desenvolvimento Teórico

Função custo. A função de custo total anual (em milhares de $) da indústria de chips é:

\[C(q) = 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000\]

onde $q$ é medido em milhares de chips por ano. Custo fixo: $CF = C(0) = 1000$.

Exercício Resolvido

Passo 1 (item a): derivar $CMg(q)$

\[\begin{aligned} CMg(q) &= C'(q) = \frac{d}{dq}\left(0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000\right) & & \text{definição de } CMg \\[6pt] &= 3 \cdot 0{,}33 \cdot q^2 - 2 \cdot 7{,}5 \cdot q + 100 + 0 & & \text{regra da potência termo a termo} \\[6pt] &= 0{,}99 q^2 - 15 q + 100 & & \text{simplificando} \end{aligned}\]

\[\boxed{CMg(q) = 0{,}99 q^2 - 15 q + 100}\]

Passo 2 (item a): ponto de mínimo de $CMg$

\[\begin{aligned} CMg'(q) &= 1{,}98 q - 15 = 0 & & \text{CPO do mínimo} \\[6pt] q^*_{CMg} &= \frac{15}{1{,}98} \approx 7{,}58 & & \text{resolvendo} \\[6pt] CMg(7{,}58) &= 0{,}99 \cdot (7{,}58)^2 - 15 \cdot 7{,}58 + 100 & & \text{substituindo no Passo 1} \\[6pt] &\approx 56{,}88 - 113{,}70 + 100 \approx 43{,}18 & & \text{aritmética} \end{aligned}\]

\[\boxed{\text{min } CMg: (q^*, CMg) \approx (7{,}58; \; 43{,}18)}\]

Passo 3 (item b): derivar $CVMe(q)$

\[\begin{aligned} CV(q) &= C(q) - CF = 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q & & \text{removendo o termo fixo } CF = 1000 \\[6pt] CVMe(q) &= \frac{CV(q)}{q} = \frac{0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q}{q} & & \text{definição de } CVMe \\[6pt] &= 0{,}33 q^2 - 7{,}5 q + 100 & & \text{dividindo cada termo por } q \end{aligned}\]

\[\boxed{CVMe(q) = 0{,}33 q^2 - 7{,}5 q + 100}\]

Passo 4 (item b): ponto de mínimo de $CVMe$

\[\begin{aligned} CVMe'(q) &= 0{,}66 q - 7{,}5 = 0 & & \text{CPO do mínimo} \\[6pt] q^*_{CVMe} &= \frac{7{,}5}{0{,}66} \approx 11{,}36 & & \text{resolvendo} \\[6pt] CVMe(11{,}36) &= 0{,}33 \cdot (11{,}36)^2 - 7{,}5 \cdot 11{,}36 + 100 & & \text{substituindo no Passo 3} \\[6pt] &\approx 42{,}59 - 85{,}20 + 100 \approx 57{,}39 & & \text{aritmética} \end{aligned}\]

\[\boxed{\text{min } CVMe: (q^*, CVMe) \approx (11{,}36; \; 57{,}39)}\]

Passo 5 (item c): $CMg$ no mínimo de $CVMe$

\[\begin{aligned} CMg(11{,}36) &= 0{,}99 \cdot (11{,}36)^2 - 15 \cdot 11{,}36 + 100 & & \text{usando a fórmula do Passo 1} \\[6pt] &\approx 127{,}76 - 170{,}40 + 100 \approx 57{,}36 & & \text{aritmética} \end{aligned}\]

\[\boxed{CMg(11{,}36) \approx 57{,}36 \; \approx \; CVMe(11{,}36) \approx 57{,}39}\]

Compatível com o Note 7.7: no mínimo de $CVMe$, vale $CMg = CVMe$ exatamente. A pequena diferença numérica ($57{,}36$ vs $57{,}39$) vem do arredondamento $q^* = 125/11 \approx 11{,}36$.

Passo 6 (item d): derivar $CTMe(q)$ e obter a CPO

\[\begin{aligned} CTMe(q) &= \frac{C(q)}{q} = 0{,}33 q^2 - 7{,}5 q + 100 + \frac{1000}{q} & & \text{dividindo } C(q) \text{ por } q \\[6pt] CTMe'(q) &= 0{,}66 q - 7{,}5 - \frac{1000}{q^2} = 0 & & \text{CPO do mínimo} \\[6pt] 0{,}66 q^3 - 7{,}5 q^2 - 1000 &= 0 & & \text{multiplicando por } q^2 \end{aligned}\]

Cúbica sem raiz fechada agradável. Solução numérica: $q^* \approx 16{,}76$ (implementada no R abaixo via optimize).

Passo 7 (item d): $CTMe$ no ponto de mínimo

\[\begin{aligned} CTMe(16{,}76) &= 0{,}33 \cdot (16{,}76)^2 - 7{,}5 \cdot 16{,}76 + 100 + \frac{1000}{16{,}76} & & \text{substituindo no Passo 6} \\[6pt] &\approx 92{,}70 - 125{,}70 + 100 + 59{,}67 & & \text{cada termo} \\[6pt] &\approx 126{,}66 & & \text{soma} \end{aligned}\]

\[\boxed{\text{min } CTMe: (q^*, CTMe) \approx (16{,}76; \; 126{,}66)}\]

Passo 8 (item e): $CMg$ no mínimo de $CTMe$

\[\begin{aligned} CMg(16{,}76) &= 0{,}99 \cdot (16{,}76)^2 - 15 \cdot 16{,}76 + 100 & & \text{usando a fórmula do Passo 1} \\[6pt] &\approx 278{,}09 - 251{,}40 + 100 \approx 126{,}69 & & \text{aritmética} \end{aligned}\]

\[\boxed{CMg(16{,}76) \approx 126{,}69 \; \approx \; CTMe(16{,}76) \approx 126{,}66}\]

Compatível com o Note 7.7: no mínimo de $CTMe$, vale $CMg = CTMe$ (pequena diferença por arredondamento de $q^*$).

Implementação em R

Código

cor1 <- "dodgerblue"
cor2 <- "firebrick"
cor3 <- "forestgreen"

# Definir funções
CT    <- function(q) 0.33 * q^3 - 7.5 * q^2 + 100 * q + 1000
CMg   <- function(q) 0.99 * q^2 - 15 * q + 100
CVMe  <- function(q) 0.33 * q^2 - 7.5 * q + 100
CTMe  <- function(q) (0.33 * q^3 - 7.5 * q^2 + 100 * q + 1000) / q

# Pontos críticos
q_cmg_min   <- 15 / 1.98
q_cvme_min  <- 7.5 / 0.66
q_ctme_min  <- optimize(CTMe, interval = c(5, 25))$minimum

# Resumo numérico
resumo <- tibble(
  ponto = c("min CMg", "min CVMe", "min CTMe"),
  q = c(q_cmg_min, q_cvme_min, q_ctme_min),
  CMg = CMg(c(q_cmg_min, q_cvme_min, q_ctme_min)),
  CVMe = CVMe(c(q_cmg_min, q_cvme_min, q_ctme_min)),
  CTMe = CTMe(c(q_cmg_min, q_cvme_min, q_ctme_min))
)

print(resumo)

# A tibble: 3 × 5
  ponto        q   CMg  CVMe  CTMe
  <chr>    <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 min CMg   7.58  43.2  62.1  194.
2 min CVMe 11.4   57.4  57.4  145.
3 min CTMe 16.8  127.   67.0  127.

Código

# Gráfico das 3 curvas
q <- seq(1, 25, by = 0.05)
df <- tibble(
  q = q,
  CMg = CMg(q),
  CVMe = CVMe(q),
  CTMe = CTMe(q)
)

df |>
  pivot_longer(cols = c(CMg, CVMe, CTMe), names_to = "serie", values_to = "valor") |>
  ggplot(aes(x = q, y = valor, color = serie)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  geom_vline(xintercept = q_cvme_min, linetype = "dashed", color = "gray60") +
  geom_vline(xintercept = q_ctme_min, linetype = "dashed", color = "gray60") +
  annotate("point", x = q_cvme_min, y = CVMe(q_cvme_min), color = "black", size = 3) +
  annotate("point", x = q_ctme_min, y = CTMe(q_ctme_min), color = "black", size = 3) +
  annotate("text", x = q_cvme_min + 0.3, y = 200,
           label = paste0("CMg = CVMe\nq = ", round(q_cvme_min, 2)),
           size = 3.5, hjust = 0) +
  annotate("text", x = q_ctme_min + 0.3, y = 250,
           label = paste0("CMg = CTMe\nq = ", round(q_ctme_min, 2)),
           size = 3.5, hjust = 0) +
  scale_color_manual(values = c(CMg = cor2, CVMe = cor3, CTMe = cor1)) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 400), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = "Cruzamentos de CMg com CVMe e CTMe",
    x = "q (milhares de chips/ano)", y = "Custo por unidade", color = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    legend.position = "bottom"
  )

Interpretação

Dois níveis-chave. $q \approx 11{,}36$ é o ponto de fechamento (mínimo $CVMe$); $q \approx 16{,}76$ é a escala eficiente (mínimo $CTMe$).

Distância entre os mínimos. $CVMe$ atinge seu mínimo antes de $CTMe$ porque $CTMe = CVMe + CFMe$, e $CFMe$ ainda é decrescente em $q = 11{,}36$: a diluição do custo fixo continua ajudando até que o crescimento de $CVMe$ domine.

Validação da lei geométrica (callout 6). Em ambos os mínimos, $CMg$ cruza a curva média exatamente, com aderência $\approx \pm 0{,}1$ devida a arredondamentos.

Uso prático. Em concorrência perfeita (próximo capítulo), o preço de equilíbrio de longo prazo será $\approx 126{,}66$, onde $CTMe$ é mínimo.

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.6, e exercícios).

Nota 7.9: Longo prazo: economias de escala e escopo

Símbolo	Significado
$CTMe_{LP}$	custo total médio de longo prazo
$CTMe_{CP}$	custo total médio de curto prazo ($K$ fixo)
Envelope	$CTMe_{LP}$ é a envoltória inferior das $CTMe_{CP}$
Economia de escala	$CTMe_{LP}$ decrescente em $q$
Deseconomia de escala	$CTMe_{LP}$ crescente em $q$
Economia de escopo	$C(q_1, q_2) < C(q_1, 0) + C(0, q_2)$

Desenvolvimento Teórico

Longo prazo. Todos os fatores são variáveis. A firma escolhe $(L^*, K^*)$ simultaneamente para cada nível de $q$. Contrasta com o curto prazo, onde $K$ é fixo.

Curvas de curto prazo × longo prazo. Para cada $K = K_0$ fixo, há uma curva $CTMe_{CP}(q; K_0)$. Variando $K_0$, obtemos uma família de curvas. A curva de longo prazo $CTMe_{LP}(q)$ é a envoltória inferior dessa família:

\[CTMe_{LP}(q) = \min_{K} CTMe_{CP}(q; K)\]

Cada ponto de $CTMe_{LP}$ toca tangencialmente uma $CTMe_{CP}$ específica: aquela cujo $K_0$ é o capital ótimo para produzir aquele $q$ específico.

Economias de escala. $CTMe_{LP}$ decrescente ⇒ dobrar $q$ custa menos que dobrar o custo total. Fontes:

Especialização: divisão do trabalho (Smith)
Indivisibilidades: equipamentos grandes são proporcionalmente mais baratos
Geometria: volume cresce com cubo do raio, superfície com quadrado (tanques, canos)
Aprendizado: custo cai com experiência acumulada

Deseconomias de escala. $CTMe_{LP}$ crescente ⇒ a firma fica “grande demais para gerenciar”. Fontes:

Coordenação: níveis hierárquicos crescem, atritos aumentam
Fatores fixos não-transferíveis: talento gerencial, marca
Congestão: localização, rede logística

U de longo prazo. Em indústrias típicas, $CTMe_{LP}$ é em U: economias dominam em $q$ baixo (fase de crescimento), custo médio constante em faixa intermediária, deseconomias em $q$ muito alto.

Economias de escopo. Quando produzir múltiplos produtos conjuntamente custa menos que separadamente:

\[C(q_1, q_2) < C(q_1, 0) + C(0, q_2)\]

Intuição: compartilhar fatores (ex.: uma linha de produção flexível, um canal de distribuição). Exemplos: bancos de varejo (múltiplos produtos financeiros), montadoras (várias versões do mesmo chassi).

Exercício Resolvido

Considere uma firma com $CTMe_{LP}(q) = 0{,}1 q^2 - 2q + 50$.

Passo 1: achar a escala eficiente mínima

$CTMe_{LP}'(q) = 0{,}2 q - 2 = 0 \Rightarrow q^* = 10$.

$CTMe_{LP}(10) = 0{,}1 \cdot 100 - 20 + 50 = 40$.

\[\boxed{q^* = 10, \quad CTMe_{LP}(q^*) = 40}\]

Passo 2: identificar faixas de economia × deseconomia

$q < 10$: $CTMe_{LP}$ decrescente → economias de escala
$q = 10$: constante → rendimentos constantes
$q > 10$: $CTMe_{LP}$ crescente → deseconomias de escala

Passo 3: escopo (exemplo numérico)

Suponha $C(q_1, q_2) = 20 q_1 + 15 q_2 - 3 q_1 q_2$ (o termo cruzado $-3 q_1 q_2$ capta economias de escopo).

\[C(q_1, 0) + C(0, q_2) = 20 q_1 + 15 q_2\]

\[C(q_1, q_2) - [C(q_1, 0) + C(0, q_2)] = -3 q_1 q_2\]

Para $q_1, q_2 > 0$, a diferença é negativa ⇒ há economias de escopo.

Em $q_1 = q_2 = 5$: economia = $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$.

Implementação em R

Código

cor1 <- "dodgerblue"
cor2 <- "firebrick"
cor3 <- "forestgreen"

q <- seq(1, 20, by = 0.1)

# Painel (a): envelope
CTMe_LP <- 0.1 * q^2 - 2 * q + 50

# Três curvas de curto prazo, tangentes a CTMe_LP em q0 = 5, 10, 15.
# Tangência exige CP(q0) = LP(q0) e CP'(q0) = LP'(q0). Curvatura > 0.1 garante envelope (CP >= LP).
# LP'(q) = 0.2q - 2, portanto LP'(5) = -1, LP'(10) = 0, LP'(15) = 1.
CTMe_CP_5  <- 0.3 * (q - 5)^2  - 1 * (q - 5)  + 42.5
CTMe_CP_10 <- 0.3 * (q - 10)^2                + 40
CTMe_CP_15 <- 0.3 * (q - 15)^2 + 1 * (q - 15) + 42.5

df_env <- bind_rows(
  tibble(q = q, valor = CTMe_LP, curva = "LP (envelope)"),
  tibble(q = q, valor = CTMe_CP_5, curva = "CP (K=5)"),
  tibble(q = q, valor = CTMe_CP_10, curva = "CP (K=10)"),
  tibble(q = q, valor = CTMe_CP_15, curva = "CP (K=15)")
)

p1 <- ggplot(df_env, aes(x = q, y = valor, color = curva, linewidth = curva)) +
  geom_line() +
  scale_color_manual(values = c(
    "LP (envelope)" = cor1,
    "CP (K=5)" = "gray60",
    "CP (K=10)" = "gray40",
    "CP (K=15)" = "gray70"
  )) +
  scale_linewidth_manual(values = c(
    "LP (envelope)" = 1.5,
    "CP (K=5)" = 0.9,
    "CP (K=10)" = 0.9,
    "CP (K=15)" = 0.9
  )) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(30, 80), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = latex2exp::TeX(r"($CTMe_{LP}$ como envoltória inferior de $CTMe_{CP}$)"),
    x = "q", y = "Custo por unidade", color = NULL, linewidth = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    legend.position = "bottom"
  )

# Painel (b): faixas de escala
df_escala <- tibble(q = q, CTMe = 0.1 * q^2 - 2 * q + 50) |>
  mutate(faixa = case_when(
    q < 10 ~ "Economias de escala",
    q == 10 ~ "Escala eficiente",
    q > 10 ~ "Deseconomias de escala"
  ))

p2 <- ggplot(df_escala, aes(x = q, y = CTMe, color = faixa)) +
  geom_line(linewidth = 1.3) +
  geom_vline(xintercept = 10, linetype = "dashed", color = "gray50") +
  annotate("point", x = 10, y = 40, color = "black", size = 3) +
  annotate("text", x = 10.5, y = 42, label = "q* = 10", size = 4, hjust = 0) +
  scale_color_manual(values = c(
    "Economias de escala" = cor3,
    "Deseconomias de escala" = cor2,
    "Escala eficiente" = "black"
  )) +
  scale_x_continuous(limits = c(0, NA), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  scale_y_continuous(limits = c(30, 80), expand = expansion(mult = c(0, 0.05))) +
  labs(
    title = latex2exp::TeX(r"(Faixas de escala em $CTMe_{LP}$)"),
    x = "q", y = "Custo por unidade", color = NULL
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    axis.line = element_line(color = "black", linewidth = 0.8),
    legend.position = "bottom"
  )

p1 + p2

Interpretação

Envelope geométrico. No painel (a), $CTMe_{LP}$ (azul, espessa) nunca está acima de nenhuma $CTMe_{CP}$: toca-as pontualmente de baixo. Para cada $q$, existe uma $K$ ótimo (de longo prazo) que gera a curva de curto prazo tangente.

Escala eficiente como benchmark. $q^* = 10$ é o ponto onde economias e deseconomias se cancelam. Em concorrência perfeita de longo prazo (capítulo 11), o preço de equilíbrio é igual a $CTMe_{LP}(q^*) = 40$ e todas as firmas operam nessa escala.

Implicação para o tamanho da firma. Indústrias com $CTMe_{LP}$ decrescente sobre faixa ampla tendem a concentração (poucas firmas grandes); indústrias com deseconomias cedo favorecem muitas firmas pequenas.

Escopo como fonte de diversificação. Firmas em setores com economias de escopo naturalmente se diversificam em produtos correlatos (bancos ↔︎ seguros, montadoras ↔︎ financiamento automotivo).

Ver Nicholson e Snyder (2012, cap. 10, §10.7–10.8).

Símbolo	Significado
\(g(q)\)	função suave, e.g. \(CTMe\), \(CVMe\), \(CMg\)
\(g'(q^*) = 0\)	condição de primeira ordem (CPO), ponto crítico
\(g''(q^*) > 0\)	condição de segunda ordem (CSO), mínimo local
\(g''(q^*) < 0\)	CSO, máximo local
\(g''(q) > 0\;\forall\, q\)	\(g\) globalmente convexa, mínimo único e global

Relação	Consequência
\(CMg < CTMe\)	\(CTMe\) está decrescendo
\(CMg > CTMe\)	\(CTMe\) está crescendo
\(CMg = CTMe\)	\(CTMe\) em seu mínimo
análogo para \(CVMe\)	\(CMg\) cruza \(CVMe\) no mínimo de \(CVMe\)

Por onde começar?

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Revisão matemática: encontrar extremos de funções

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Referências