Custos de Produção

Microeconomia

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

2026-04-30

O problema dos custos

A firma precisa produzir uma quantidade \(\bar q\) ao menor custo possível — escolhendo uma combinação ótima de insumos dados os preços de mercado:

\[C(q, w, r) = \min_{L, K} \; wL + rK \quad \text{s.a.} \quad f(L, K) = q\]


Três perguntas que este capítulo responde:

  • Qual é a combinação ótima \((L^*, K^*)\)?
  • Como a função custo \(C(q, w, r)\) se comporta?
  • Como custo médio e marginal se relacionam em curto e longo prazo?


Diferenças curto × longo prazo, economias de escala e escopo, dualidade produção–custo.

Definições de curto prazo

Nicholson, Figure 10.4a-b

Decomposição:

\[CT(q) = CF + CV(q)\]

Médias:

  • \(CFMe = CF/q\) (sempre decrescente)
  • \(CVMe = CV/q\) (U-shape típico)
  • \(CTMe = CT/q\) (U-shape típico)

Marginal:

\[CMg = \frac{dCT}{dq} = \frac{dCV}{dq}\]

\(CMg\) independe de \(CF\).

Minimização via Lagrange

Nicholson, Figure 10.1

Problema:

\[\min_{L, K} wL + rK \text{ s.a. } f(L,K) = \bar q\]

Condição de ótimo:

\[\frac{PMg_L}{w} = \frac{PMg_K}{r} \; \Leftrightarrow \; TMST = \frac{w}{r}\]

Geometria: tangência isoquanta × isocusto.

Multiplicador: \(\lambda = \partial C^*/\partial q = CMg\).

Substitutos perfeitos — canto

Função produção:

\[Q = aL + bK\]

Regra de eficiência: comparar \(w/a\) e \(r/b\).

Solução: especializar no fator mais barato por unidade de produto.

Caso típico: \(w/a \neq r/b\) ⇒ canto.

Exceção: \(w/a = r/b\) ⇒ infinitas soluções sobre a isoquanta (indiferença).

Dinâmica: se preços mudam, a firma pode pular de um canto a outro.

Cobb-Douglas — Lagrange aplicado

Nicholson, Figure 10.2

Demandas condicionais (CD com RCE):

\[L^* = q\left(\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{r}{w}\right)^\beta\]

\[K^* = q\left(\frac{\beta}{\alpha} \cdot \frac{w}{r}\right)^\alpha\]

Função custo:

\[C^* = q \cdot \alpha^{-\alpha} \beta^{-\beta} w^\alpha r^\beta\]

Forma fechada, solução interior.

Função custo, dualidade, Shephard

Nicholson, Figure 10.3

Propriedades de \(C(q, w, r)\):

  • Não-decrescente
  • Homogênea grau 1 em \((w, r)\)
  • Côncava em \((w, r)\)

Lema de Shephard:

\[\frac{\partial C}{\partial w} = L^*, \quad \frac{\partial C}{\partial r} = K^*\]

Derivação via envelope theorem.

Dualidade: produção e custo têm o mesmo conteúdo tecnológico.

Relação CMg × CMe

Nicholson, Figure 10.7

Lei geométrica: para \(g_{me} = g/q\),

\[\frac{dg_{me}}{dq} = \frac{g_{mg} - g_{me}}{q}\]

Consequências:

  • \(CMg < CMe\) ⇒ \(CMe\) cai
  • \(CMg > CMe\) ⇒ \(CMe\) sobe
  • \(CMg = CMe\) ⇒ \(CMe\) no mínimo

\(CMg\) cruza \(CVMe\) antes de \(CTMe\).

Exercício consolidado — polinomial

Nicholson, Figure 10.8a-b

Função: \(C(q) = 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000\)

Pontos críticos:

  • \(\min CMg\): \(q \approx 7{,}58\)
  • \(\min CVMe\): \(q \approx 11{,}36\)
  • \(\min CTMe\): \(q \approx 15{,}85\)

Interseções validam a lei geométrica.

Longo prazo — escala e escopo

Nicholson, Figure 10.5a-b / 10.6

Longo prazo: todos os fatores variáveis.

Envelope: \(CTMe_{LP} = \min_K CTMe_{CP}(q; K)\)

Escala:

  • Decrescente ⇒ economias
  • Crescente ⇒ deseconomias
  • Plano ⇒ rendimentos constantes

Escopo: \(C(q_1, q_2) < C(q_1, 0) + C(0, q_2)\) ⇒ diversificação

Referências

NICHOLSON, W.; SNYDER, C. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 11. ed. [s.l.] South-Western, Cengage Learning, 2012.
___. Teoria microeconômica: princı́pios básicos e aplicações. [s.l.] Cengage Learning Edições, 2018.
PERLOFF, J. M. Microeconomics with Calculus, Global Edition. 5. ed. [s.l.] Pearson, 2022.