Preferências e Utilidade
Microeconomia
Roney Fraga Souza
Universidade Federal de Mato Grosso
2026-04-09
Axiomas da escolha racional
Para que as preferências possam ser representadas por uma função de utilidade, exigimos três axiomas fundamentais:
I. Completude: para quaisquer cestas \(A\) e \(B\), o indivíduo pode sempre afirmar: \(A \succ B\), \(B \succ A\), ou \(A \sim B\)
II. Transitividade: se \(A \succ B\) e \(B \succ C\), então \(A \succ C\)
III. Continuidade: se \(A \succ B\), cestas “suficientemente próximas” a \(A\) também são preferidas a \(B\)
Esses axiomas garantem a existência de uma função de utilidade que representa ordenadamente as preferências do indivíduo.
- Notação:
- \(\succ\) = preferido a
- \(\sim\) = indiferente a
- \(\succeq\) = pelo menos tão bom quanto
Utilidade
Dados os axiomas, existe uma função de utilidade que atribui um número real a cada cesta de consumo, preservando a ordenação das preferências:
\[\text{utilidade} = U(x_1, x_2, \ldots, x_n; \text{ outras coisas})\]
onde \(x_i\) é a quantidade do bem \(i\). Cestas também são denotadas por letras: \(A\), \(B\), \(C\).
- Se a cesta \(A\) é preferida a \(B\) (\(A \succ B\)), então \(U(A) > U(B)\)
- Se é indiferente (\(A \sim B\)), então \(U(A) = U(B)\)
Exemplo: um indivíduo avalia duas cestas \(A = (4, 9)\) e \(B = (1, 4)\) usando \(U(x_1, x_2) = \sqrt{x_1 \cdot x_2} = (x_1 \cdot x_2)^{1/2}\):
\[U(A) = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6\] \[U(B) = \sqrt{1 \times 4} = \sqrt{4} = 2\]
Como \(U(A) > U(B)\), \(A\) é preferida a \(B\). Embora \(6/2 = 3\), não faz sentido dizer que \(A\) é “3 vezes melhor” que \(B\). A utilidade é ordinal, como estrelas em avaliações de restaurantes: registra a ordem, não a magnitude.
Argumentos da função de utilidade
Alterando os argumentos da função de utilidade, a mesma ferramenta serve para analisar diferentes problemas de escolha (ceteris paribus):
| \(n\) bens |
\(U(x_1, \ldots, x_n)\) |
\(x_i\) = quantidade do bem \(i\) |
Qual cesta de bens escolher? |
| Dois bens |
\(U(x, y)\) |
\(x\), \(y\) = quantidades |
Caso mais usado na análise gráfica |
| Riqueza |
\(U(W)\) |
\(W\) = riqueza real |
Como a satisfação varia com a renda? |
| Trabalho-lazer |
\(U(c, h)\) |
\(c\) = consumo, \(h\) = lazer |
Trabalhar mais ou ter mais lazer? |
| Intertemporal |
\(U(c_1, c_2)\) |
\(c_1\) = hoje, \(c_2\) = amanhã |
Consumir agora ou poupar? |
Neste curso, trabalharemos principalmente com \(U(x, y)\) (dois bens).
Utilidade ordinal e não unicidade
A utilidade é ordinal: o que importa é a ordenação das cestas, não o valor numérico.
Se \(U(x,y) = xy\) representa as preferências, então qualquer transformação monotônica (função crescente) também representa:
Linear: \(U(x,y) = xy\)
Aplicando o logaritmo: \(V(x,y) = \ln(U) = \ln(xy) = \ln x + \ln y\)
Elevando ao quadrado: \(W(x,y) = U^2 = (xy)^2 = x^2 y^2\)
| A = (4, 3) |
\(4 \times 3 = 12\) |
\(\ln(12) = 2{,}48\) |
\(12^2 = 144\) |
| B = (2, 6) |
\(2 \times 6 = 12\) |
\(\ln(12) = 2{,}48\) |
\(12^2 = 144\) |
| C = (1, 4) |
\(1 \times 4 = 4\) |
\(\ln(4) = 1{,}39\) |
\(4^2 = 16\) |
Comparando os valores dentro de cada coluna (\(U\), \(V\) ou \(W\)), as três funções produzem a mesma ordenação: \(A \sim B \succ C\). Isso confirma que a utilidade é ordinal: qualquer transformação crescente preserva o ranking. Embora \(U(A)/U(C) = 12/4 = 3\), não faz sentido dizer que \(A\) é “3 vezes melhor” que \(C\).
Bens econômicos
As variáveis \(x_i\) na função de utilidade representam “bens”: quantidades das quais o consumidor sempre prefere ter mais (não saciedade).
A área sombreada representa as combinações de \(x\) e \(y\) que são inequivocamente preferidas a \((x^*, y^*)\): ceteris paribus, indivíduos preferem mais de qualquer bem a menos. A área oposta é inequivocamente pior.
As combinações indicadas por “?” envolvem mudanças ambíguas no bem-estar, pois contêm mais de um bem e menos do outro. Para resolver esses trade-offs, precisamos das curvas de indiferença e da TMS.
Curvas de indiferença
A curva \(U_1\) representa todas as combinações de \(x\) e \(y\) que proporcionam o mesmo nível de utilidade ao indivíduo.
A inclinação da curva é a taxa à qual o consumidor aceita trocar \(x\) por \(y\) mantendo-se igualmente satisfeito: a taxa marginal de substituição (TMS).
No ponto \((x_1, y_1)\), o consumidor tem muito \(y\) e pouco \(x\), a curva é íngreme (alta disposição a trocar \(y\) por \(x\)). No ponto \((x_2, y_2)\), com mais \(x\) e menos \(y\), a curva é mais plana (baixa disposição a trocar).
Propriedade: curvas de indiferença nunca se cruzam (por transitividade).
Taxa marginal de substituição (TMS)
A TMS mede a taxa à qual o consumidor aceita substituir \(q_2\) por \(q_1\), mantendo a utilidade constante:
\[TMS = -\frac{dq_2}{dq_1}\Bigg|_{I}\]
A TMS no ponto \(e\) é a inclinação da reta tangente à curva de indiferença \(I\) nesse ponto.
A curva ilustra uma TMS decrescente: a inclinação da curva de indiferença se torna mais plana conforme nos movemos para baixo e para a direita ao longo da curva (do ponto \(f\) para \(e\) e depois para \(g\)).
- \(f\): muitos burritos, poucas pizzas, tangente íngreme (\(TMS\) alta)
- \(e\): posição intermediária
- \(g\): muitas pizzas, poucos burritos, tangente quase plana (\(TMS\) baixa)
Mapa de curvas de indiferença
Cada ponto no plano \((x, y)\) pertence a uma curva de indiferença. O conjunto de todas essas curvas forma o mapa de curvas de indiferença.
A utilidade cresce na direção superior-direita: \(U_1 < U_2 < U_3\) (mais de ambos os bens é melhor).
Analogia: curvas de nível em um mapa topográfico, onde cada curva conecta pontos de mesma “altitude” de utilidade.
Propriedades:
- Curvas de indiferença nunca se cruzam (por transitividade)
- Cobrem todo o plano (por completude)
- Têm inclinação negativa (por não saciedade)
Preferências inconsistentes
Suponha que duas curvas \(U_1\) e \(U_2\) se cruzem no ponto \(E\).
Por não saciedade (mais é melhor): \(A\) tem mais de ambos os bens que \(B\), logo \(A \succ B\).
Mas \(A\) e \(D\) estão na mesma curva \(U_1\), logo \(A \sim D\). E \(B\) e \(C\) estão na mesma curva \(U_2\), logo \(B \sim C\).
Como \(D\) e \(C\) estão próximos de \(E\) (ambos nas respectivas curvas), e \(E\) pertence a ambas as curvas: \(A \sim E\) e \(B \sim E\).
Por transitividade: \(A \sim E \sim B\), ou seja, \(A \sim B\).
Contradição: concluímos simultaneamente que \(A \succ B\) e \(A \sim B\). Logo, curvas de indiferença nunca se cruzam.
Convexidade das curvas de indiferença
A área sombreada é o conjunto de cestas “pelo menos tão boas quanto” \((x^*, y^*)\).
(a) Convexa: o consumidor é indiferente entre \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\). O segmento que liga esses pontos fica inteiramente dentro da área sombreada. Qualquer combinação intermediária (como \((x^*, y^*)\)) é preferida aos extremos. A TMS é decrescente: conforme se move pela curva, a inclinação fica mais plana.
(b) Não convexa: o segmento sai da área sombreada. O ponto médio \((x^*, y^*)\) está fora do conjunto preferido, ou seja, é pior que os extremos. Aqui o consumidor prefere especialização. A TMS é crescente em parte da curva.
A convexidade é essencial: sem ela, a escolha ótima do consumidor pode ter múltiplos ótimos locais, e pequenas mudanças de preço podem causar saltos bruscos na demanda. A convexidade garante solução única e demanda que varia suavemente com os preços.
Cestas balanceadas são preferidas
Se as curvas de indiferença são convexas e o consumidor é indiferente entre \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\), então a cesta média:
\[\left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]
é estritamente preferida a ambas as cestas originais.
As cestas \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) estão sobre a curva \(U_1\): ambas proporcionam utilidade \(U_1\). O ponto médio está acima de \(U_1\) (dentro da área sombreada), proporcionando utilidade maior: \(U\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) > U_1\).
Intuitivamente: consumidores preferem variedade. Uma cesta com quantidades moderadas de ambos os bens gera mais satisfação do que uma cesta com muito de um e pouco do outro.
Utilidade marginal
A utilidade marginal de um bem é a utilidade extra que o consumidor obtém ao consumir a última unidade desse bem, mantendo o consumo dos demais bens fixo:
\[U_x = \frac{\partial U}{\partial x} \qquad U_y = \frac{\partial U}{\partial y}\]
\(U_x\) responde: “se o consumidor ganhar um refrigerante a mais (mantendo hambúrgueres fixos), quanta utilidade adicional ele obtém?”
Duas propriedades típicas:
- Positiva: mais de um bem sempre aumenta a utilidade (não saciedade)
- Decrescente: o primeiro refrigerante do dia vale mais que o décimo
Exemplo: \(U(x,y) = (xy)^{1/2}\)
\(U_x = \frac{y}{2(xy)^{1/2}}\)
\(U_y = \frac{x}{2(xy)^{1/2}}\)
No ponto \((4, 16)\):
\(U_x = \frac{16}{2(64)^{1/2}} = \frac{16}{16} = 1\)
\(U_y = \frac{4}{2(64)^{1/2}} = \frac{4}{16} = 0{,}25\)
Um refrigerante a mais gera 4 vezes mais utilidade que um hambúrguer a mais (o consumidor tem poucos refrigerantes e muitos hambúrgueres).
Funções de utilidade para preferências específicas
As preferências do consumidor podem ser representadas por diferentes formas funcionais. Cada uma gera curvas de indiferença com formatos distintos, refletindo diferentes graus de substituibilidade entre os bens:
| Cobb-Douglas |
\(x^\alpha y^\beta\) |
\((\alpha / \beta)(y/x)\) |
Hipérbole |
| Substitutos perfeitos |
\(\alpha x + \beta y\) |
\(\alpha / \beta\) (constante) |
Reta |
| Complementos perfeitos |
\(\min(\alpha x, \beta y)\) |
indefinida no vértice |
Formato L |
| CES |
\(x^\delta / \delta + y^\delta / \delta\) |
\((y/x)^{1-\delta}\) |
Entre reta e L |
| Quase-linear |
\(x + \ln y\) |
\(y\) |
Translações horizontais |
Cobb-Douglas: \(U(x,y) = x^\alpha y^\beta\)
A função mais utilizada em teoria do consumidor e da produção.
\[TMS = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{y}{x}\]
Propriedades:
- TMS decrescente (curvas convexas)
- Homotética: TMS depende só da razão \(y/x\)
- Normalização: \(U = x^\delta y^{1-\delta}\) com \(\delta = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\)
Exemplo: \(U = x^{0{,}5}y^{0{,}5}\), \(TMS = y/x\)
- No ponto \((4, 16)\): \(TMS = 4\)
- No ponto \((16, 4)\): \(TMS = 0{,}25\)
Derivação da TMS:
\(U_x = \alpha x^{\alpha-1} y^\beta\)
\(U_y = \beta x^\alpha y^{\beta-1}\)
\[TMS = \frac{U_x}{U_y} = \frac{\alpha x^{\alpha-1} y^\beta}{\beta x^\alpha y^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{y}{x}\]
Os termos \(x\) e \(y\) se simplificam pela regra dos expoentes: \(x^{\alpha-1}/x^\alpha = x^{-1} = 1/x\) e \(y^\beta/y^{\beta-1} = y\).
Substitutos perfeitos e complementos perfeitos
Substitutos perfeitos: \(U = \alpha x + \beta y\)
- TMS constante: \(\alpha/\beta\)
- Curvas de indiferença: retas paralelas
- O consumidor não se importa com a composição, apenas com a quantidade total ponderada
- Exemplo: gasolina de marcas diferentes
Complementos perfeitos: \(U = \min(\alpha x, \beta y)\)
- TMS: indefinida no vértice, \(\infty\) na parte vertical, \(0\) na horizontal
- Curvas de indiferença: formato L
- Unidades excedentes de um bem são inúteis sem o outro
- Vértice: \(y/x = \alpha/\beta\)
- Exemplo: sapato esquerdo e direito
Função CES
A função CES (Elasticidade de Substituição Constante) unifica os casos anteriores:
\[U(x,y) = \frac{x^\delta}{\delta} + \frac{y^\delta}{\delta}, \quad \delta \leq 1, \; \delta \neq 0\]
| \(1\) |
\(\infty\) |
Substitutos perfeitos |
Reta |
| \(\to 0\) |
\(1\) |
Cobb-Douglas |
Hipérbole |
| \(-1\) |
\(1/2\) |
CES com \(\delta=-1\) |
Curva acentuada |
| \(\to -\infty\) |
\(0\) |
Complementos perfeitos |
Formato L |
\[TMS = \left(\frac{y}{x}\right)^{1-\delta}\]
O parâmetro \(\sigma\) (elasticidade de substituição) mede a facilidade com que o consumidor troca entre os bens. Quanto maior \(\sigma\), mais substituíveis são os bens.
Preferências homotéticas
Preferências são homotéticas quando a TMS depende apenas da razão \(y/x\), não das quantidades absolutas.
Consequências:
- Ao longo de qualquer raio pela origem (\(y/x\) constante), a TMS é a mesma
- As curvas de indiferença são “cópias escaladas” umas das outras
- Se a renda dobra (preços fixos), o consumidor mantém as mesmas proporções de consumo
Todas as funções anteriores são homotéticas:
| Cobb-Douglas |
\((\alpha/\beta)(y/x)\) |
Sim |
| Substitutos perfeitos |
\(\alpha/\beta\) |
Sim (constante) |
| CES |
\((y/x)^{1-\delta}\) |
Sim |
Para refletir: se sua renda dobrar, você continuará consumindo frango na mesma proporção? Homoteticidade implica que sim. Mas na prática, sabemos que consumidores com maior renda substituem frango por cortes mais nobres. Essa tensão entre teoria e realidade será explorada no Capítulo 5 (Efeito Renda e Efeito Substituição).
Preferências quase-lineares
\[U(x,y) = x + \ln y\]
\[U_x = 1, \quad U_y = 1/y, \quad TMS = y\]
A TMS depende apenas de \(y\), não de \(x\): violação da homoteticidade.
Propriedades:
- Curvas de indiferença são translações horizontais (deslocadas em \(x\))
- O bem \(x\) tem utilidade marginal constante: funciona como “dinheiro”
- Aumentos de renda são gastos inteiramente em \(x\)
- Útil para modelar situações em que o interesse é em um bem específico (\(y\)) e o resto do consumo (\(x\)) é tratado como agregado
Generalização: o caso de muitos bens
Todos os conceitos estudados para dois bens (\(x\) e \(y\)) se generalizam para \(n\) bens. Se a utilidade é uma função de \(n\) bens \(U(x_1, x_2, \ldots, x_n)\), então:
\[U(x_1, x_2, \ldots, x_n) = k\]
define uma superfície de indiferença em \(n\) dimensões (em vez de uma curva em 2 dimensões).
A TMS entre quaisquer dois bens \(x_1\) e \(x_2\), mantendo os demais constantes:
\[TMS = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{U=k} = \frac{U_{x_1}(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{U_{x_2}(x_1, x_2, \ldots, x_n)}\]
A disposição a trocar \(x_2\) por \(x_1\) depende não apenas das quantidades desses dois bens, mas também das quantidades de todos os outros bens. Na prática, o modelo de dois bens é suficiente para desenvolver a intuição econômica.
Extensão: efeitos de limiar
O modelo padrão supõe que se \(U(A) > U(B)\), o consumidor escolhe \(A\) imediatamente. Mas na prática, consumidores podem ser “resistentes à mudança”. A cesta \(A\) só é escolhida quando a diferença de utilidade supera um limiar \(\epsilon\):
\[U(A) > U(B) + \epsilon\]
onde \(\epsilon > 0\) é o limiar de preferência que precisa ser superado.
Consequências para as curvas de indiferença:
- No modelo padrão: curvas são linhas finas (o consumidor distingue qualquer diferença)
- Com limiares: curvas se tornam “faixas espessas” (zonas de indiferença aproximada)
Exemplos:
- Um consumidor não troca de marca de creme dental por uma diferença marginal de qualidade
- Uma pessoa continua assistindo uma série de TV mesmo após a qualidade cair ligeiramente
- Modelos de limiar são amplamente usados em marketing para estudar fidelidade a marcas
Extensão: qualidade
Muitos bens diferem em qualidade. A utilidade pode depender não apenas da quantidade consumida (\(q\)), mas também da qualidade (\(Q\)) daquilo que se consome:
\[U = U(q, Q)\]
Essa abordagem gera trade-offs entre quantidade e qualidade: o consumidor pode preferir menos unidades de um produto de alta qualidade.
Uma abordagem mais geral, proposta por Lancaster (1971), foca nos atributos do bem. Se um bem \(q\) fornece dois atributos \(a_1\) e \(a_2\), a utilidade seria:
\[U = U[q,\; a_1(q),\; a_2(q)]\]
A melhoria de utilidade pode ocorrer por duas vias: (1) o consumidor compra mais unidades, ou (2) cada unidade fornece atributos de maior valor.
Exemplo: computadores pessoais. A qualidade (velocidade do processador, capacidade de memória) aumenta cerca de 30% ao ano. Um consumidor que gasta R$ 3.000 em um computador hoje obtém muito mais utilidade que alguém que gastou o mesmo valor 5 anos atrás. Neste caso, focar apenas na quantidade comprada seria enganoso.
Preços hedônicos. A abordagem de Lancaster fundamenta os modelos de preços hedônicos (Rosen, 1974): o preço de um bem é decomposto nos preços implícitos de seus atributos. Soja versus Algodão.
Extensão: hábitos e vício
O consumo passado pode afetar a utilidade presente. Hábitos se formam quando o consumidor descobre que gosta de um bem em um período e aumenta seu consumo nos períodos seguintes. O caso extremo é o vício (drogas, cigarros, redes sociais).
Formalmente, a utilidade no período \(t\) depende do consumo atual (\(x_t\), \(y_t\)) e do estoque de consumo passado (\(s_t\)):
\[U_t = U_t(x_t, y_t, s_t)\]
onde \(s_t\) acumula todo o consumo passado do bem \(x\):
\[s_t = \sum_{i=1}^{\infty} x_{t-i} = x_{t-1} + x_{t-2} + x_{t-3} + \cdots\]
Na prática, dados sobre todo o histórico de consumo raramente existem. Uma simplificação comum modela apenas a variação em relação ao período anterior:
\[U_t = U_t(x_t^*, y_t), \quad \text{onde } x_t^* = x_t - x_{t-1}\]
A implicação: ceteris paribus, quanto maior o consumo passado \(x_{t-1}\), maior será o consumo atual \(x_t\) (o consumidor precisa de mais para manter o mesmo nível de satisfação).
Aplicações: Stigler e Becker (1977) explicaram a formação de “gosto” por ópera e golfe. Becker, Grossman e Murphy (1994) modelaram o vício em cigarros, mostrando que reduções no consumo cedo na vida têm grandes efeitos sobre o consumo futuro.
Extensão: preferências por terceiros
Indivíduos se preocupam com o bem-estar de outros. Doações, heranças e contribuições de caridade não podem ser compreendidas sem reconhecer essa interdependência entre as utilidades.
A utilidade da pessoa \(i\) pode incorporar a utilidade da pessoa \(j\):
\[U_i = U_i(x_i, y_i, U_j)\]
onde \(x_i\) e \(y_i\) são os bens consumidos por \(i\), e \(U_j\) é a utilidade de outra pessoa \(j\).
O sinal da derivada \(\partial U_i / \partial U_j\) revela o tipo de relação:
| \(\partial U_i / \partial U_j > 0\) |
Altruísmo |
A felicidade do outro me faz bem |
Pais que fazem sacrifícios pelos filhos |
| \(\partial U_i / \partial U_j < 0\) |
Inveja |
A felicidade do outro me faz mal |
Insatisfação com o sucesso do vizinho |
| \(\partial U_i / \partial U_j = 0\) |
Indiferença |
Não me importo com o outro |
Caso padrão da teoria do consumidor |
Gary Becker foi pioneiro no estudo dessas possibilidades, incluindo a teoria social geral (1976), a economia da família (1981) e a importância do altruísmo nas interações sociais. Biólogos também usaram formas similares para modelar comportamento evolutivo, onde \(r_j\) mede a proximidade genética (\(r_j = 0{,}5\) para filhos, \(r_j = 0{,}125\) para primos).
