Função de Produção

Microeconomia

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

2026-04-23

O que é uma função de produção?

A firma transforma insumos em produto. A relação tecnológica entre a combinação de insumos e a quantidade máxima produzida é a função de produção:

\[Q = f(L, K)\]

onde \(L\) é trabalho, \(K\) é capital, e \(Q\) é o produto.


Três perguntas que a análise responde:

  • Como \(Q\) varia com cada insumo? (produtos marginais)
  • Qual a taxa de substituição entre insumos? (TMST)
  • O que acontece ao escalar todos os insumos? (rendimentos de escala)


Este capítulo derivará essas ferramentas e aplicá-las-á a quatro famílias funcionais clássicas: linear, Leontief, Cobb-Douglas e CES.

Produto marginal e produto médio

Nicholson, Figure 9.1

Produto marginal:

\[PMg_L = \frac{\partial Q}{\partial L}, \qquad PMg_K = \frac{\partial Q}{\partial K}\]

Produto médio:

\[PMe_L = \frac{Q}{L}\]

Rendimentos marginais decrescentes: \(\partial^2 Q / \partial L^2 < 0\) — o próximo trabalhador contribui menos que o anterior quando \(K\) está fixo.

Isoquantas e TMST

Nicholson, Figure 9.2

Isoquanta: conjunto de \((L, K)\) que produzem \(\bar Q\).

TMST:

\[TMST = -\frac{dK}{dL}\bigg|_{\bar Q} = \frac{PMg_L}{PMg_K}\]

Inclinação negativa da isoquanta. Mede quantas unidades de \(K\) compensam 1 unidade extra de \(L\).

Convexidade. TMST decrescente torna as isoquantas convexas — especializar em 1 insumo é ineficiente.

Rendimentos de escala

Nicholson, Figure 9.3

Homogeneidade de grau \(n\):

\[f(tL, tK) = t^n f(L, K)\]

  • \(n = 1\): RCE (constantes)
  • \(n > 1\): crescentes
  • \(n < 1\): decrescentes

Elasticidade de substituição:

\[\sigma = \frac{\% \Delta (K/L)}{\% \Delta TMST}\]

Mede a facilidade de substituição entre insumos. Varia de \(0\) (Leontief) a \(\infty\) (linear).

Substitutos perfeitos — produção linear

Nicholson, Figure 9.4

\[Q = aL + bK\]

  • \(PMg_L = a\), \(PMg_K = b\) (constantes)
  • \(TMST = a/b\) (constante)
  • Isoquantas são retas paralelas
  • \(\sigma \to \infty\)

Intuição: insumos perfeitamente intercambiáveis — cada \(K\) equivale a \(a/b\) unidades de \(L\) em termos de produto.

Leontief — proporções fixas

Nicholson, Figure 9.5

\[Q = \min\{aL, bK\}\]

  • Isoquantas em forma de L
  • \(\sigma = 0\)
  • RCE (grau 1)

Intuição: insumos estritamente complementares. Excesso de um insumo é desperdício; só a combinação na proporção \(K/L = a/b\) importa.

Exemplo: 1 motorista por 1 caminhão.

Cobb-Douglas

Forma canônica:

\[Q = A L^\alpha K^\beta\]

Propriedades:

  • Homogeneidade de grau \(\alpha + \beta\)
  • \(TMST = (\alpha/\beta)(K/L)\)
  • \(\sigma = 1\) (exatamente)

Caso-ponto-de-corte entre substitutos fáceis e complementaridade.

Quando usar:

  • Benchmark em crescimento e teoria aplicada
  • Expoentes \(\alpha, \beta\) se interpretam como frações do custo gastas com cada insumo
  • Tratabilidade algébrica (logs lineares)

Casos especiais:

  • \(\alpha + \beta = 1\): RCE + interpretação direta dos expoentes como elasticidades

CES — elasticidade de substituição constante

Forma canônica (com RCE):

\[Q = \left[L^\rho + K^\rho\right]^{1/\rho}, \; \rho \leq 1, \; \rho \neq 0\]

Elasticidade:

\[\sigma = \frac{1}{1-\rho}\]

\(\rho\) \(\sigma\) Caso
\(1\) \(\infty\) linear
\(0\) \(1\) Cobb-Douglas
\(-\infty\) \(0\) Leontief

Por que CES?

  • Engloba todos os casos como limites
  • Flexível: \(\rho\) é calibrado a partir de dados
  • Padrão em macro e EGC

Trade-off:

  • Mais complexa algebricamente que CD
  • Casos especiais exigem cuidado (\(\rho \to 0\), \(\rho \to -\infty\))

Curto prazo e progresso técnico

Curto prazo: \(K\) fixo, apenas \(L\) varia.

\[Q = f(L, \bar K)\]

Rendimentos marginais decrescentes em \(L\) são mais agudos.

Progresso técnico: \(Q = A(t) f(L, K)\)

Mesma combinação produz mais ao longo do tempo. Crescimento de \(A(t)\) é a PTF.

Dados empíricos: Penn World Table (PWT) publica \(ctfp\) por país-ano.

Padrões observados:

  • China/Coreia: ganhos expressivos pós-1980
  • Brasil: estagnação desde ~2010
  • EUA: referência (índice = 1)

PTF é o motor do crescimento de longo prazo — inovação, instituições, alocação eficiente.

Referências

NICHOLSON, W.; SNYDER, C. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 11. ed. [s.l.] South-Western, Cengage Learning, 2012.
___. Teoria microeconômica: princı́pios básicos e aplicações. [s.l.] Cengage Learning Edições, 2018.
PERLOFF, J. M. Microeconomics with Calculus, Global Edition. 5. ed. [s.l.] Pearson, 2022.