Custos e Função de Produção Não Linear ex

Autor

Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Função de Produção Não Linear

Uma função de produção não linear descreve uma relação entre insumos e produto na qual os acréscimos sucessivos de um fator produtivo resultam em retornos marginais decrescentes. Isso é típico em contextos com apenas um insumo variável no curto prazo, mantendo os demais fixos.

Neste documento, usamos a seguinte função de produção:

\[ Q(L) = 10 \cdot \sqrt{L} \]

ou

\[ Q(L) = 10 L ^ \frac{1}{2} \]

• Com:
  • \(Q\): quantidade produzida
    
  • \(L\): quantidade de trabalho
    
  • \(\sqrt{L}\) ou \(L^\frac{1}{2}\): captura os retornos decrescentes do trabalho
    
  • Capital é fixo no curto prazo

Suposições do Exemplo

• Salário por unidade de trabalho:
• Custo fixo total (capital):
• Quantidades de trabalho: \(L = 1\) a \(10\)

Cálculos

suppressPackageStartupMessages({
  library(tidyverse)
  library(gt)
})

w <- 25
CF <- 100
L <- 1:10

# 10 * sqrt(L)
# 10 * (L ^ (1 / 2))

tibble(L) |>
  mutate(
    Q = 10 * sqrt(L),
    # Q = 10 * (L ^ (1 / 2)),
    CV = w * L,
    CT = CF + CV,
    CF = CF,
    CFMe = CF / Q,
    CVMe = CV / Q,
    CTMe = CT / Q,
    CMg = c(NA, diff(CT) / diff(Q))
  ) ->
  df

Tabela de custos

df |>
  mutate(across(c(CFMe, CVMe, CTMe, CMg), ~round(.x, 2))) |>
  gt()

L	Q	CV	CT	CF	CFMe	CVMe	CTMe	CMg
1	10.00000	25	125	100	10.00	2.50	12.50	NA
2	14.14214	50	150	100	7.07	3.54	10.61	6.04
3	17.32051	75	175	100	5.77	4.33	10.10	7.87
4	20.00000	100	200	100	5.00	5.00	10.00	9.33
5	22.36068	125	225	100	4.47	5.59	10.06	10.59
6	24.49490	150	250	100	4.08	6.12	10.21	11.71
7	26.45751	175	275	100	3.78	6.61	10.39	12.74
8	28.28427	200	300	100	3.54	7.07	10.61	13.69
9	30.00000	225	325	100	3.33	7.50	10.83	14.57
10	31.62278	250	350	100	3.16	7.91	11.07	15.41

Gráfico de Custos Totais

df |>
  select(Q, CF, CV, CT) |>
  pivot_longer(cols = -Q, names_to = "Tipo", values_to = "Custo") |>
  ggplot(aes(x = Q, y = Custo, color = Tipo)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  geom_point() +
  labs(title = "Custos Totais vs Produção", x = "Quantidade (Q)", y = "Custo") +
  theme_minimal()

Gráfico de Custos Médios e Marginal

df |>
  select(Q, CFMe, CVMe, CTMe, CMg) |>
  pivot_longer(cols = -Q, names_to = "Tipo", values_to = "Valor") |>
  ggplot(aes(x = Q, y = Valor, color = Tipo)) +
  geom_line(linewidth = 1.2, na.rm = TRUE) +
  geom_point(na.rm = TRUE) +
  labs(title = "Custos Médios e Marginal vs Produção", x = "Quantidade (Q)", y = "Custo por unidade") +
  theme_minimal()

Análise Microeconômica do Exemplo

Este exemplo de função de produção não linear permite extrair diversas lições fundamentais da teoria da firma no curto prazo.

1. Retornos marginais decrescentes

A função de produção é:

\[ Q(L) = 10 \cdot \sqrt{L} \]

A produtividade marginal do trabalho é:

\[ \frac{dQ}{dL} = \frac{5}{\sqrt{L}} \]

ou \[ \frac{dQ}{dL} = \frac{5}{L^\frac{1}{2}} \]

Ou seja, cada unidade adicional de trabalho gera menos produto adicional do que a anterior. Isso ilustra o princípio dos rendimentos marginais decrescentes, central na teoria da produção de curto prazo.

Explicação

• Derivada da Função de Produção: Passo a Passo

Considere a seguinte função de produção não linear:

\[ Q(L) = 10 \cdot \sqrt{L} \]

Sabemos que:

\[ \sqrt{L} = L^{1/2} \]

Portanto, a função pode ser reescrita como:

\[ Q(L) = 10 \cdot L^{1/2} \]

• Regra de Derivação

Para uma função da forma:

\[ f(L) = a \cdot L^n \]

A regra da potência nos dá:

\[ \frac{d}{dL} \left( a \cdot L^n \right) = a \cdot n \cdot L^{n - 1} \]

• Aplicando à função de produção

Na nossa função:

• $ a = 10 $
• $ n = $

Logo:

\[ \frac{dQ}{dL} = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot L^{-1/2} \]

Simplificando

\[ \frac{dQ}{dL} = 5 \cdot L^{-1/2} \]

Sabemos que:

\[ L^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{L}} \]

Portanto:

\[ \frac{dQ}{dL} = \frac{5}{\sqrt{L}} \]

Interpretação Econômica

Essa derivada representa o produto marginal do trabalho: a variação da produção \(Q\) gerada por uma variação infinitesimal na quantidade de trabalho \(L\), mantendo o capital fixo.

Como \(\frac{5}{\sqrt{L}}\) diminui com o aumento de \(L\), temos um caso típico de retornos marginais decrescentes, como previsto pela teoria da firma no curto prazo.

2. Custo marginal crescente

Como o produto marginal decresce, o custo marginal aumenta. Ele é dado por:

\[ CMg = \frac{\Delta CT}{\Delta Q} \]

Cada unidade adicional de produto exige mais insumo, resultando em um custo marginal crescente. Isso é visível no gráfico, com a curva de custo marginal inclinada positivamente.

3. Custos médios em formato de “U”

Os custos médios têm comportamento típico:

• Custo fixo médio (CFMe): sempre decrescente, pois o custo fixo é dividido por quantidades crescentes.
• Custo variável médio (CVMe) e Custo total médio (CTMe): inicialmente decrescentes, atingem um mínimo e depois crescem.

Este comportamento resulta da interação entre a diluição do custo fixo e o aumento do custo marginal.

4. Cruzamento do custo marginal com os custos médios

O custo marginal (CMg) cruza o custo médio total (CTMe) e o custo variável médio (CVMe) nos seus respectivos pontos mínimos. Isso é uma propriedade matemática central:

• Quando \(CMg < CTMe\), então \(CTMe\) está diminuindo.
• Quando \(CMg > CTMe\), então \(CTMe\) está aumentando.

Portanto, o ponto de cruzamento indica o valor mínimo dos custos médios.

5. Implicações para decisões da firma

O exemplo permite discutir decisões típicas de uma firma no curto prazo:

• A firma maximiza o lucro quando \(P = CMg\), ou seja, o preço se iguala ao custo marginal.
• O ponto de mínimo do \(CTMe\) pode indicar a escala eficiente de produção.
• A análise permite discutir o ponto de encerramento da firma no curto prazo, quando o preço não cobre o custo variável médio.

6. Curto prazo e estrutura de custos

Como o capital é fixo, estamos no curto prazo. A presença de custo fixo (\(CF\)) e o comportamento dos custos refletem as restrições técnicas enfrentadas pela firma.

No longo prazo, todos os fatores são variáveis, não há custo fixo, e a forma das curvas de custo pode ser diferente.