Função Custos ex1

Autor
Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Data de Publicação

2026-03-21

Enunciado

A produção semanal de uma fábrica de bicicletas é no máximo de 18 unidades. O proprietário da fábrica conhece a função de custo total, dada por:

\[ C(q) = \frac{1}{3}q^3 - 10q^2 + 75q + 100 \]

Com base nessa função, calcule:

  1. O custo fixo.
  2. O custo variável médio quando o custo total é mínimo.
  3. O custo fixo médio quando o custo total é máximo.
  4. O custo total médio quando a produção é máxima.

a) Custo Fixo

O custo fixo é o custo quando a produção é igual a zero:

\[ C(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 10(0)^2 + 75(0) + 100 = 100 \]

Resultado:

\[ \boxed{CF = 100} \]

Otimização de funções com uma variável.

1. Derivada da Função

Para uma função \(f(x)\), calcule a primeira derivada:

\[ f'(x) \]

Essa derivada representa a taxa de variação da função — ou seja, a inclinação da reta tangente em cada ponto \(x\).

2. Pontos Críticos

Encontre os valores de \(x\) que anulam a derivada:

\[ f'(x) = 0 \]

Esses valores são os pontos críticos e são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

3. Segunda Derivada (opcional, para classificar)

Calcule a segunda derivada:

\[ f''(x) \]

  • Se \(f''(x) > 0\): ponto de mínimo local
  • Se \(f''(x) < 0\): ponto de máximo local
  • Se \(f''(x) = 0\): teste inconclusivo (pode ser ponto de inflexão)

4. Avaliação nos Extremos (em intervalos fechados)

Se a função estiver definida num intervalo fechado \([a, b]\), compare também os valores de \(f(x)\) nos extremos:

  • Avalie \(f(a)\) e \(f(b)\)
  • Compare com os valores nos pontos críticos

Assim você garante encontrar o máximo e mínimo absolutos no intervalo.

Exemplo Rápido

Seja \(f(x) = -x^2 + 4x + 5\):

  1. Derivada: \[ f'(x) = -2x + 4 \]

  2. Pontos críticos: \[ -2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \]

  3. Segunda derivada: \[ f''(x) = -2 \Rightarrow \text{máximo local} \]

  4. Valor da função: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \]

Portanto, o ponto de máximo é \((2, 9)\).

Gráfico da Função \(f(x) = -x^2 + 4x + 5\)

Código 
library(ggplot2)

f <- function(x) -x^2 + 4*x + 5

ggplot(data.frame(x = c(0, 4)), aes(x)) +
  stat_function(fun = f, geom = "line", linewidth = 1.2, color = "blue") +
  geom_point(aes(x = 2, y = f(2)), color = "red", size = 3) +
  geom_text(aes(x = 2, y = f(2) + 1, label = "Máximo em x = 2"), color = "red") +
  labs(
    title = "Gráfico de f(x) = -x² + 4x + 5",
    x = "x",
    y = "f(x)"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14)

b) Custo Variável Médio quando o Custo Total é Mínimo

Dada a função de custo total:

\[ C(q) = \frac{1}{3}q^3 - 10q^2 + 75q + 100 \]

Logo, o custo variável é:

\[ CV(q) = C(q) - CF = \frac{1}{3}q^3 - 10q^2 + 75q \]

O custo variável médio (CVMe) é:

\[ CVMe(q) = \frac{CV(q)}{q} = \frac{1}{3}q^2 - 10q + 75 \]

Etapa 1: Derivada da função de custo

Para encontrar o ponto de mínimo da função de custo total, a derivada de \(C(q)\) indica onde o custo total atinge mínimo ou máximo:

\[ C(q) = \frac{1}{3}q^3 - 10q^2 + 75q + 100 \]

Aplicando a regra da potência:

  • A derivada de \(\frac{1}{3}q^3\) é \(q^2\)
  • A derivada de \(-10q^2\) é \(-20q\)
  • A derivada de \(75q\) é \(75\)
  • A derivada de \(100\) é zero (constante)

Portanto:

\[ C'(q) = q^2 - 20q + 75 \]

Etapa 2: Pontos críticos

Resolvemos \(C'(q) = 0\) para encontrar candidatos a mínimos:

\[ q^2 - 20q + 75 = 0 \Rightarrow q = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 300}}{2} = \frac{20 \pm 10}{2} \Rightarrow q = 5 \text{ ou } q = 15 \]

Lembrando como encontrar raízes da equação quadrática (Bhaskara):

\[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

A equação está na forma padrão \(ax^2 + bx + c = 0\), com:

  • \(a = 1\)
  • \(b = -20\)
  • \(c = 75\)

Etapa 3: Avaliar os valores de \(C(q)\)

\[ C(q) = \frac{1}{3}q^3 - 10q^2 + 75q + 100 \]

\[ C(5) = \frac{1}{3}(5^3) - 10(5^2) + 75*5 + 100 = 41{,}67 - 250 + 375 + 100 = 266{,}67 \]

\[ C(15) = \frac{1}{3}(15^3) - 10(15^2) + 75*15 + 100 = 41{,}67 - 250 + 375 + 100 = 100 \]

O custo total mínimo ocorre em \(q = 15\).

Etapa 4: Custo variável médio

Custo variável:

\[ CV(q) = C(q) - CF = C(q) - 100 \]

Custo variável médio:

\[ CVMe(q) = \frac{CV(q)}{q} = \frac{1}{3}q^2 - 10q + 75 \]

\[ CVMe(15) = \frac{1}{3}15^2 - 10 * 15 + 75 = 0 \]

Resultado:

\[ \boxed{CVMe = 0 \text{ quando } q = 15} \]

c) Custo Fixo Médio quando o Custo Total é Máximo

Avaliação de extremos

Verificamos os valores de \(C(q)\) nos pontos:

  • \(C(0) = 100\)
  • \(C(5) = 266{,}67\)
  • \(C(15) = 100\)
  • \(C(18) = \frac{1}{3}(18^3) - 10(18^2) + 75 * 18 + 100 = 154\)

Máximo: \(C(5) = 266{,}67\)

Custo fixo médio:

\[ CFMe = \frac{CF}{q} = \frac{100}{5} = 20 \]

Resultado:

\[ \boxed{CFMe = 20 \text{ quando } q = 5} \]

d) Custo Total Médio na Produção Máxima

Produção máxima: \(q = 18\)

\[ C(18) = \frac{1}{3}(18^3) - 10(18^2) + 75 * 18 + 100 = 1944 - 3240 + 1350 + 100 = 154 \]

Custo total médio:

\[ CTMe = \frac{C(q)}{q} = \frac{154}{18} \approx 8{,}56 \]

Resultado:

\[ \boxed{CTMe \approx 8{,}56 \text{ quando } q = 18} \]

Resumo

Item Resultado
a) Custo Fixo \(CF = 100\)
b) Custo Variável Médio (mínimo de \(CT\)) \(CVMe = 0\) em \(q = 15\)
c) Custo Fixo Médio (máximo de \(CT\)) \(CFMe = 20\) em \(q = 5\)
d) Custo Total Médio (produção máxima) \(CTMe \approx 8{,}56\) em \(q = 18\)

Gráficos: Custo Total, Custo Variável e Custo Fixo

Código 
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(gt)

# Funções
C <- function(q) (1 / 3) * q^3 - 10 * q^2 + 75 * q + 100
CV <- function(q) C(q) - 100
CF <- 100

# Geração dos dados
q <- seq(0, 18, length.out = 200)
df <- tibble(
  q = q,
  C = C(q),
  CV = CV(q),
  CF = CF
)

# Gráfico
ggplot(df, aes(x = q)) +
  geom_line(aes(y = C, color = "Custo Total"), linewidth = 1.2) +
  geom_line(aes(y = CV, color = "Custo Variável"), linetype = "dashed", linewidth = 1.2) +
  geom_hline(aes(yintercept = CF, color = "Custo Fixo"), linetype = "dashed", linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c("Custo Total" = "blue", "Custo Variável" = "darkgreen", "Custo Fixo" = "gray40")) +
  labs(
    title = "Função de Custo Total e seus Componentes",
    x = "Quantidade (q)",
    y = "Custo",
    color = "Tipo de Custo"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14)

Código 
tibble(
  quantidade = seq(0, 18, by = 1),
  custo_total = C(quantidade),
  custo_variavel = CV(quantidade),
  custo_fixo = CF
) |>
  dplyr::mutate(custo_total = round(custo_total), custo_variavel = round(custo_variavel)) |>
  gt()
quantidade custo_total custo_variavel custo_fixo
0 100 0 100
1 165 65 100
2 213 113 100
3 244 144 100
4 261 161 100
5 267 167 100
6 262 162 100
7 249 149 100
8 231 131 100
9 208 108 100
10 183 83 100
11 159 59 100
12 136 36 100
13 117 17 100
14 105 5 100
15 100 0 100
16 105 5 100
17 123 23 100
18 154 54 100