Elasticidade Preço da Oferta ex

Autor
Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Data de Publicação

2026-03-21

Problema

Considere uma firma da indústria eletrônica fabrica chips para computador. Esta firma conhece a sua equação de oferta, que é definida por \(q= \sqrt(p)\), onde \(q\) representa a quantidade ofertada em milhares de unidades de chips e \(p\) representa o preço unitário do chip. Calcule o valor da elasticidade preço da oferta para q igual a 3000 unidades.

Resolução

A elasticidade-preço da oferta mede a sensibilidade da quantidade ofertada \(q\) em relação ao preço \(p\):

\[ E_p = \frac{dq}{dp} \cdot \frac{p}{q} \]

A função de oferta da firma é:

\[ q = \sqrt{p} \]

onde \(q\) é a quantidade ofertada (em milhares de unidades) e \(p\) o preço unitário.

Lembrando que uma raiz quadrada pode ser escrita como uma potência fracionária:

\[ q = p^{1/2} \]

Elasticidade é uma medida da resposta percentual de uma variável econômica a uma variação percentual em outra. É uma ferramenta central na microeconomia para analisar relação entre variáveis como preço, quantidade, renda, etc.

Elasticidade-preço da demanda

Definição

A elasticidade-preço da demanda mede a variação percentual na quantidade demandada frente a uma variação percentual no preço do bem:

\[ E_d = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \]

  • \(E_d < 0\): A elasticidade-preço da demanda é negativa devido à lei da demanda.

  • Em valor absoluto:

    • \(|E_d| > 1\): demanda elástica
    • \(|E_d| = 1\): demanda unitária
    • \(|E_d| < 1\): demanda inelástica

Interpretação

  • Se \(|E_d| = 2\), um aumento de 1% no preço reduz a quantidade demandada em 2%.
  • Se \(|E_d| = 0{,}5\), um aumento de 1% no preço reduz a demanda em apenas 0{,}5%.

Elasticidade-preço da oferta

Definição

A elasticidade-preço da oferta mede a variação percentual na quantidade ofertada frente a uma variação percentual no preço:

\[ E_s = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \]

  • \(E_s > 0\): a oferta normalmente cresce com o preço
  • Interpretação semelhante à demanda

Elasticidade-renda da demanda

Definição

\[ E_Y = \frac{dQ}{dY} \cdot \frac{Y}{Q} \]

  • \(E_Y > 0\): bem normal
  • \(E_Y < 0\): bem inferior
  • \(E_Y > 1\): bem de luxo
  • \(0 < E_Y < 1\): bem necessário

Elasticidade-preço cruzada

Definição

\[ E_{xy} = \frac{dQ_x}{dP_y} \cdot \frac{P_y}{Q_x} \]

  • \(E_{xy} > 0\): bens substitutos
  • \(E_{xy} < 0\): bens complementares

Exemplo numérico

Demanda: \(Q = 100 - 2P\)

  • Suponha \(P = 30\)
  • \(Q = 100 - 2(30) = 40\)
  • \(\frac{dQ}{dP} = -2\)

Elasticidade-preço da demanda:

\[ E_d = (-2) \cdot \frac{30}{40} = -1{,}5 \]

A demanda é elástica: um aumento de 1% no preço reduz a quantidade demandada em 1,5%.

Derivada da função de oferta

Queremos encontrar a derivada da função de oferta:

\[ q = \sqrt{p} \]

ou

\[ q = p^{1/2} \]

Aplicando a regra da potência

\[ \frac{d}{dp} (p^n) = n \cdot p^{n - 1} \]

Neste caso, temos \(n = \frac{1}{2}\), logo:

\[ \frac{dq}{dp} = \frac{1}{2} \cdot p^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot p^{-1/2} \]

Podemos reescrever o resultado como:

\[ \frac{dq}{dp} = \frac{1}{2\sqrt{p}} \]

Cálculo numérico para \(q = 3000\) unidades

Lembrando que:

\[ E_p = \frac{dq}{dp} \cdot \frac{p}{q} \]

Para encontrar \(p\), temos:

\[ q = \sqrt{p} \]

Como \(q\) está em milhares, temos \(q = 3\). A partir da equação \(q = \sqrt{p}\), temos:

\[\begin{align*} q &= \sqrt{p} \\ p &= q^2 \\ p &= 3^2 = 9 \end{align*}\]

Aplicando:

\[ E_p = \frac{1}{2\sqrt{9}} \cdot \frac{9}{3} = \frac{1}{6} \cdot 3 = \frac{1}{2} \]

Isso indica que a oferta é inelástica: uma variação percentual no preço gera uma variação proporcionalmente menor na quantidade ofertada.

Gráfico

Código 
# Pacotes
library(ggplot2)

# Valores para q e p invertidos (p = q^2)
q_vals <- seq(0.1, 6, length.out = 400)
p_vals <- q_vals^2

# Ponto de interesse
q0 <- 3
p0 <- q0^2  # = 9
slope <- 1 / (2 * sqrt(p0))  # dq/dp = 1/(2√p)

# Como queremos dp/dq (para o novo eixo vertical), derivamos p = q^2
# Logo, reta tangente em p = 2q
slope_dp_dq <- 2 * q0

# Reta tangente: p = slope * (q - q0) + p0
q_tangent <- seq(q0 - 2, q0 + 2, length.out = 100)
p_tangent <- slope_dp_dq * (q_tangent - q0) + p0

# Data frames
df_curve <- data.frame(q = q_vals, p = p_vals)
df_tangent <- data.frame(q = q_tangent, p = p_tangent)
df_point <- data.frame(q = q0, p = p0)

# Gráfico
ggplot(df_curve, aes(x = q, y = p)) +
  geom_line(linewidth = 1.2, color = "blue") +
  geom_line(data = df_tangent, aes(x = q, y = p), 
            color = "red", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_point(data = df_point, aes(x = q, y = p), size = 3) +
  annotate("text", x = q0 + 0.3, y = p0 - 1, label = "(3, 9)", size = 4) +
  labs(title = "Curva de Oferta com Reta Tangente", x = "Quantidade (q)", y = "Preço (p)") +
  theme_minimal()