Custos e Função de Produção Linear ex

Autor
Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Data de Publicação

2026-03-21

Função de Produção Linear

A forma geral de uma função de produção linear com dois insumos é:

\[Q=aL+bK\]

  • onde:
    • \(Q\) = quantidade produzida
    • \(L\) = quantidade de trabalho
    • \(K\) = quantidade de capital
    • \(a\) e \(b\) = produtividades marginais constantes dos insumos

Exemplo

A função de produção linear com dois insumos é dada por:

\[ Q = 3L + 2K \]

Considere os seguintes valores de insumos:

  • \(L\) = 4 unidades de trabalho
  • \(K\) = 5 unidades de capital

\[Q = 3 (4)+ 2 (5) = 12 + 10 = 22\]

Assim, com 4 unidades de trabalho e 5 de capital, a firma produz 22 unidades de output.

Tabela de custos

Fixamos o capital \(K = 5\), e variamos o trabalho \(L\) de 0 a 10.

Código 
suppressPackageStartupMessages({
  library(dplyr)
  library(ggplot2)
  library(tidyr)
})

# Parâmetros
a <- 3   # produtividade do trabalho
b <- 2   # produtividade do capital
w <- 10  # custo unitário do trabalho
r <- 20  # custo unitário do capital
CF <- 100  # custo fixo
K <- 5     # capital fixo
L <- 0:10  # insumo variável

# Geração da tabela
tibble(L) |>
  mutate(
    K = K,
    Q = a * L + b * K,
    CV = w * L + r * K,
    CF = CF,
    CT = CF + CV,
    CMg = c(NA, diff(CT)),
    CTMe = CT / Q,
    CVMe = CV / Q,
    CFMe = CF / Q
  ) ->
  df

df |>
  mutate(
    CTMe = round(CTMe, 1),
    CVMe = round(CVMe, 1),
    CFMe = round(CFMe, 1)
  ) |>
  gt::gt()
L K Q CV CF CT CMg CTMe CVMe CFMe
0 5 10 100 100 200 NA 20.0 10.0 10.0
1 5 13 110 100 210 10 16.2 8.5 7.7
2 5 16 120 100 220 10 13.8 7.5 6.2
3 5 19 130 100 230 10 12.1 6.8 5.3
4 5 22 140 100 240 10 10.9 6.4 4.5
5 5 25 150 100 250 10 10.0 6.0 4.0
6 5 28 160 100 260 10 9.3 5.7 3.6
7 5 31 170 100 270 10 8.7 5.5 3.2
8 5 34 180 100 280 10 8.2 5.3 2.9
9 5 37 190 100 290 10 7.8 5.1 2.7
10 5 40 200 100 300 10 7.5 5.0 2.5
Código 
df |>
  select(Q, CV, CF, CT) |>
  pivot_longer(cols = -Q, names_to = "tipo", values_to = "valor") ->
  df_long

ggplot(df_long, aes(x = Q, y = valor, color = tipo)) +
  geom_line(linewidth = 1.2, na.rm = TRUE) +
  labs(
    title = "Curvas de Custo em Função da Produção",
    x = "Quantidade produzida (Q)",
    y = "Custo",
    color = "Tipo de custo"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14)

Código 
df |>
  select(Q, CMg, CTMe, CVMe, CFMe) |>
  pivot_longer(cols = -Q, names_to = "tipo", values_to = "valor") ->
  df_long_var

ggplot(df_long_var, aes(x = Q, y = valor, color = tipo)) +
  geom_line(linewidth = 1.2, na.rm = TRUE) +
  labs(
    title = "Curvas de Custo em Função da Produção",
    x = "Quantidade produzida (Q)",
    y = "Custo",
    color = "Tipo de custo"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14)

Análise Microeconômica da Função de Produção Linear

O código implementa uma função de produção linear com dois insumos (trabalho e capital), onde apenas o trabalho \(L\) é variável no curto prazo. A análise permite extrair diversas lições microeconômicas fundamentais.

1. Função de Produção Linear

A função de produção é:

\[ Q(L) = aL + bK \]

  • Com:
    • \(a = 3\): produtividade do trabalho
    • \(b = 2\): produtividade do capital
    • \(K = 5\): capital fixo

Substituindo:

\[ Q(L) = 3L + 2 \cdot 5 = 3L + 10 \]

Produto marginal do trabalho:

\[ \frac{dQ}{dL} = 3 \]

Ou seja, cada unidade adicional de trabalho gera exatamente 3 unidades de produto.

Considere a função de produção:

\[ Q(L) = 3L + 10 \]

Essa é uma função linear em relação ao insumo variável \(L\). O termo \(3L\) representa a contribuição do trabalho para a produção, enquanto o termo constante \(10\) representa a produção gerada pelo capital fixo \(K\), já que:

\[ bK = 2 \cdot 5 = 10 \]

Para obter o produto marginal do trabalho, derivamos \(Q(L)\) em relação a \(L\).

Pela regra da derivada de uma função do tipo \(f(L) = aL + b\), temos:

\[ \frac{d}{dL}(aL + b) = a \]

Aplicando isso à função:

\[ \frac{dQ}{dL} = \frac{d}{dL}(3L + 10) = 3 \]

Portanto, o produto marginal do trabalho é constante e igual a 3.

Interpretação Econômica

A derivada \(\frac{dQ}{dL} = 3\) indica que cada unidade adicional de trabalho aumenta a produção total em 3 unidades, independentemente da quantidade de trabalho já utilizada. Esse é um caso clássico de retornos marginais constantes, típico de uma tecnologia de produção linear.

2. Estrutura de Custos

Custos variáveis:

\[ CV = wL + rK = 10L + 20 \cdot 5 = 10L + 100 \]

Custo fixo:

\[ CF = 100 \]

Custo total:

\[ CT = CF + CV = 100 + 10L + 100 = 200 + 10L \]

3. Custo Marginal

Como o custo total cresce linearmente com \(L\), o custo marginal é constante:

  • Variação de custo por unidade de trabalho:
    \[ \Delta CT = 10 \]
  • Variação de produção por unidade de trabalho:
    \[ \Delta Q = 3 \]

Logo, o custo marginal por unidade de produto é:

\[ CMg = \frac{\Delta CT}{\Delta Q} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \]

4. Comportamento dos Custos Médios

O custo médio total é:

\[ CTMe = \frac{CT}{Q} = \frac{200 + 10L}{3L + 10} \]

  • \(CTMe\) é decrescente, pois o numerador cresce linearmente, mas o denominador cresce mais rapidamente.
  • Numerador: \(CT = 200 + 10L\) — cresce linearmente com coeficiente 10.
  • Denominador: \(Q = 3L + 10\) — cresce linearmente com coeficiente 3.

À primeira vista, parece que o numerador cresce mais rapidamente (10 > 3), mas é necessário analisar o comportamento da fração à medida que \(L\) aumenta.

Análise Assintótica

Dividimos numerador e denominador por \(L\):

\[ CTMe = \frac{200 + 10L}{3L + 10} = \frac{L\left(10 + \frac{200}{L}\right)}{L\left(3 + \frac{10}{L}\right)} = \frac{10 + \frac{200}{L}}{3 + \frac{10}{L}} \]

Quando \(L \to \infty\):

\[ CTMe \to \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \]

Ou seja, o custo médio tende a um valor constante conforme a produção aumenta.

Intuição Econômica

Nos valores baixos de \(L\), o termo constante \(+10\) no denominador (\(Q = 3L + 10\)) tem um impacto proporcional maior, o que faz a quantidade produzida crescer mais rapidamente em termos relativos do que o custo total.

Assim, a razão \(\frac{CT}{Q}\) diminui nos primeiros valores de \(L\), o que caracteriza um comportamento decrescente do custo médio.

  • O custo fixo médio (\(CFMe = \frac{CF}{Q}\)) decresce com o aumento de \(Q\).
  • O custo variável médio (\(CVMe = \frac{CV}{Q}\)) tende a um valor constante:

\[ \lim_{L \to \infty} CVMe = \frac{10L}{3L} = \frac{10}{3} \]

5. Implicações para Decisões da Firma chegaremos lá

  • O custo marginal constante indica que a firma pode expandir a produção sem alterar a eficiência marginal.
  • A regra do ponto ótimo permanece válida: \[ P = CMg \]
  • Como não há retornos marginais decrescentes, não existe uma “escala ótima” interna no curto prazo.
  • A única economia de escala vem da diluição do custo fixo.

6. Comparação com Produção Não Linear

Aspecto Produção Linear Produção Não Linear \(Q = 10 \sqrt{L}\)
Produto marginal Constante Decrescente
Custo marginal Constante Crescente
Custo médio Decrescente (pela CF) Em formato de “U”
Decisão ótima Indiferente à escala Possui escala ótima

Conclusão

Este modelo é útil para ilustrar situações onde a produção apresenta rendimentos marginais constantes e os custos variáveis crescem linearmente com a produção. Ele destaca como a estrutura de custos fixos pode influenciar os custos médios mesmo com uma função de produção simples.