Maximização de Lucros com Função Cobb-Douglas ex

Autor

Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Função de produção Cobb-Douglas

Um processo produtivo usa como insumos básicos mão de obra (L) e energia (E). A função de produção que rege a produção final é dada por \(q (L, E) = 10 L^\frac{1}{2} E^\frac{1}{3}\). O produto final pode ser vendido ao preço unitário de \(\$2\). Considere que o custo unitário de mão de obra seja de \(\$5\) por semana e o da energia, \(\$3\) por semana.

• Determine:
• a) Qual a quantidade do produto final produzida semanalmente se são consumidas 16 unidades de mão de obra e 8 unidades de energia?
• b) Qual o lucro semanal que será obtido?
• c) Em que quantidade a produção atinge o lucro máximo?

Organizando

Um processo produtivo usa como insumos básicos mão de obra (\(L\)) e energia (\(E\)). A função de produção é:

\[ q(L, E) = 10 \cdot L^{1/2} \cdot E^{1/3} \]

Os custos unitários são:

• Mão de obra: $5 por unidade por semana
• Energia: $3 por unidade por semana

Sabendo que a empresa consome semanalmente:

• \(L = 16\) unidades de mão de obra
• \(E = 8\) unidades de energia

Assuma que o preço de venda do produto final seja $2 por unidade.

a) Quantidade Produzida Semanalmente

Substituímos os valores na função de produção:

\[ q(16, 8) = 10 \cdot (16)^{1/2} \cdot (8)^{1/3} \]

Sabemos que:

• \(\sqrt{16} = 4\)
• \(8^{1/3} = 2\)

Portanto:

\[ q = 10 \cdot 4 \cdot 2 = \boxed{80} \]

A produção semanal é de 80 unidades.

b) Lucro Semanal

Receita Total (RT):

\[ RT = p \cdot q = 2 \cdot 80 = 160 \]

Custo Total (CT):

\[ CT = 5 \cdot 16 + 3 \cdot 8 = 80 + 24 = 104 \]

Lucro (\(\pi\)):

\[ \pi = RT - CT = 160 - 104 = \boxed{56} \]

Resultado

• Quantidade produzida: 80 unidades
  
• Lucro semanal: $56

c) Lucro Máximo (acessível)

Um processo produtivo utiliza dois insumos: trabalho (\(L\)) e energia (\(E\)). A função de produção é:

\[ q(L, E) = 10 L^{1/2} E^{1/3} \]

Os preços são:

• Preço de venda do produto: \(p = 2\)
• Custo da mão de obra: \(w = 5\)
• Custo da energia: \(c = 3\)

Objetivo

Determinar as quantidades de \(L\) e \(E\) que maximizam o lucro semanal:

\[ \pi(L, E) = 2 \cdot q(L, E) - 5L - 3E \]

Construção da função lucro

Substituindo a função de produção na função lucro:

\[ \pi(L, E) = 2 \cdot 10 L^{1/2} E^{1/3} - 5L - 3E = 20 L^{1/2} E^{1/3} - 5L - 3E \]

Derivadas de primeira ordem

Parcial em relação a \(L\):

\[ \frac{\partial \pi}{\partial L} = 20 \cdot \frac{1}{2} L^{-1/2} E^{1/3} - 5 = \boxed{10 L^{-1/2} E^{1/3} - 5} \]

Parcial em relação a \(E\):

\[ \frac{\partial \pi}{\partial E} = 20 \cdot \frac{1}{3} L^{1/2} E^{-2/3} - 3 = \boxed{\frac{20}{3} L^{1/2} E^{-2/3} - 3} \]

Condições de otimalidade

Igualamos as derivadas a zero:

(1) Equação em \(L\):

\[\begin{align*} 10 L^{-1/2} E^{1/3} - 5 &= 0 \\ 10 L^{-1/2} E^{1/3} &= 5 \\ L^{-1/2} E^{1/3} &= \frac{1}{2} \\ E^{1/3} &= \frac{1}{2} L^{1/2} \\ E &= \left( \frac{1}{2} L^{1/2} \right)^3 \\ E &= \frac{1}{8} L^{3/2} \end{align*}\]

(2) Substituindo em \(\partial \pi/\partial E\):

\[\begin{align*} \frac{20}{3} L^{1/2} E^{-2/3} - 3 &= 0\\ \frac{20}{3} L^{1/2} \left( \frac{1}{8} L^{3/2} \right)^{-2/3} - 3 &= 0 \\ \frac{20}{3} L^{1/2} \left( \frac{1}{8} L^{3/2} \right)^{-2/3} &= 3 \end{align*}\]

Simplificando:

\[ \left( \frac{1}{8} L^{3/2} \right)^{-2/3} = 8^{2/3} \cdot L^{-1} = 4 \cdot L^{-1} \]

Então:

\[\begin{align*} \frac{20}{3} L^{1/2} \cdot 4 L^{-1} &= 3 \\ \frac{80}{3} L^{-1/2} &= 3 \\ L^{-1/2} &= \frac{9}{80} \\ L^{1/2} &= \frac{80}{9} \\ L &= \left( \frac{80}{9} \right)^2 = \frac{6400}{81} \approx 79{,}01 \end{align*}\]

Substituindo em \(E\):

\[\begin{align*} E &= \frac{1}{8} L^{3/2} \\ E &= \frac{1}{8} \left( \frac{80}{9} \right)^3 \\ E &= \frac{1}{8} \cdot \frac{512000}{729} \\ E &= \frac{64000}{729} \approx 87{,}78 \end{align*}\]

Quantidade produzida:

\[\begin{align*} q &= 10 L^{1/2} E^{1/3} \\ q &= 10 \cdot \frac{80}{9} \cdot \left( \frac{64000}{729} \right)^{1/3} \\ q &= 10 \cdot \frac{80}{9} \cdot \frac{40}{9} \\ q &= \frac{32000}{81} \approx 395{,}06 \end{align*}\]

Lucro máximo:

\[\begin{align*} \pi &= 2q - 5L - 3E \\ \pi &= 2 \cdot 395{,}06 - 5 \cdot 79{,}01 - 3 \cdot 87{,}78 \\ \pi &= 790{,}12 - 395{,}06 - 263{,}34 \approx 131{,}72 \end{align*}\]

Conclusão

• Quantidade ótima de trabalho: \(L^* \approx 79{,}01\)
• Quantidade ótima de energia: \(E^* \approx 87{,}78\)
• Quantidade produzida: \(q^* \approx 395{,}06\)
• Lucro máximo: \(\pi^* \approx 131{,}72\)

Observação sobre a matriz Hessiana

Neste caso, não foi necessário usar a matriz Hessiana, pois:

• A função objetivo é concava nas regiões relevantes,
• A estrutura do problema permite encontrar o ponto crítico com as condições de primeira ordem,
• O valor obtido pode ser testado diretamente para verificar que se trata de um máximo (verificando, por exemplo, que a derivada de segunda ordem de \(\pi\) em relação a \(L\) e \(E\) é negativa).

Se desejado, a Hessiana pode ser usada para formalizar a verificação do máximo global.

Gráfico

# Carregar pacotes
suppressPackageStartupMessages({
  library(plotly)
  library(htmlwidgets)
})

# Parâmetros
L_seq <- seq(1, 150, length.out = 100)
E_seq <- seq(1, 150, length.out = 100)

# Grid de valores
lucro_fn <- function(L, E) {
  20 * sqrt(L) * E^(1/3) - 5 * L - 3 * E
}

# Criar matriz de lucro
# outer = Product of Arrays
lucro_mat <- outer(L_seq, E_seq, Vectorize(function(L, E) lucro_fn(L, E)))

# Coordenadas do ponto ótimo
L_max <- 79.01
E_max <- 87.78
lucro_max <- lucro_fn(L_max, E_max)

# Gráfico com marcador
p <- plot_ly(
  x = ~L_seq,
  y = ~E_seq,
  z = ~lucro_mat,
  type = "surface",
  colorscale = "Viridis"
) |>
  add_markers(
    x = ~L_max, y = ~E_max, z = ~lucro_max,
    marker = list(size = 6, color = "red", symbol = "circle"),
    name = "Lucro Máximo"
  ) |>
  layout(
    title = "Função Lucro - Superfície 3D com Ponto Ótimo",
    scene = list(
      xaxis = list(title = "Trabalho (L)"),
      yaxis = list(title = "Energia (E)"),
      zaxis = list(title = "Lucro")
    )
  )

# Salvar o widget para garantir dependências corretas
htmlwidgets::saveWidget(p, "plotly_lucro.html", selfcontained = TRUE)

# Exibir o gráfico
p

Interpretação do gráfico 3D da função lucro

O gráfico 3D da função lucro representa visualmente como o lucro da firma varia com diferentes combinações de insumos: trabalho (\(L\)) e energia (\(E\)).

• Eixo X (L): quantidade de trabalho utilizada
  
• Eixo Y (E): quantidade de energia utilizada
  
• Eixo Z (π): lucro obtido com essas combinações

O gráfico mostra:

• A superfície tem um pico, que representa o ponto onde o lucro é máximo.
• Para valores baixos de \(L\) e \(E\), a produção é pequena e o lucro também.
• Para valores muito altos de \(L\) e \(E\), o custo cresce mais que o produto marginal, fazendo o lucro cair.

Intuição econômica:

• A função de produção possui retornos marginais decrescentes, e os custos são lineares.
• Há um ponto de equilíbrio onde o ganho gerado pela produção compensa exatamente os custos — esse é o ponto de lucro máximo.
• Esse ponto ótimo aparece claramente como o topo da superfície no gráfico 3D, e também como o centro das curvas fechadas no gráfico de contorno.

c) Lucro Máximo (hessiana)

Otimização na Microeconomia - Hessiana

Na microeconomia, a matriz Hessiana é utilizada principalmente para verificar a natureza de pontos críticos (máximo, mínimo ou ponto de sela) em problemas de otimização com duas ou mais variáveis. Ela é necessária nos seguintes contextos:

1. Otimização sem restrições (lucro, utilidade, produção)

Quando maximizamos ou minimizamos uma função multivariada — por exemplo:

• Maximização de lucro: \[ \pi(x, y) = R(x, y) - C(x, y) \]
• Maximização de utilidade: \[ U(x, y) \]
• Minimização de custos de produção: \[ C(L, K) \]

Usamos as condições de primeira ordem para encontrar candidatos a pontos ótimos:

\[ \frac{\partial f}{\partial x_i} = 0 \]

Mas isso não garante que o ponto seja um máximo ou mínimo.

Aí entra a matriz Hessiana: ela permite classificar esses pontos.

2. Otimização com restrições (Lagrange)

Em problemas como:

• Maximizar utilidade \(U(x, y)\) sujeito a \(p_x x + p_y y = m\)
• Minimizar custo \(C(L, K)\) sujeito a \(q(L, K) = \bar{q}\)

O método dos multiplicadores de Lagrange gera um sistema de equações. Após resolvê-lo, a segunda ordem é usada (opcionalmente, mas recomendável) para confirmar que se trata de um máximo ou mínimo.

Neste caso, usamos a matriz hessiana da função Lagrangiana, avaliada com restrição incorporada.

Critério da matriz Hessiana (caso de duas variáveis)

Seja \(H\) a matriz das derivadas de segunda ordem da função \(f(x, y)\):

\[ H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} \]

Chamamos:

• \(D = \det(H) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2\)

Classificação do ponto crítico:

• Se \(D > 0\) e \(f_{xx} > 0\) → mínimo local
  
• Se \(D > 0\) e \(f_{xx} < 0\) → máximo local
  
• Se \(D < 0\) → ponto de sela
  
• Se \(D = 0\) → teste inconclusivo

Exemplos típicos em microeconomia

Situação	Uso da Hessiana?	Por quê?
Maximização de lucro com 2 insumos	Sim	Para verificar se é máximo ou mínimo
Minimização de custo com 2 variáveis	Sim	Confirmar se o ponto minimiza o custo
Escolha ótima do consumidor com 2 bens	Opcional	Para confirmar que o ponto maximiza a utilidade
Análise de concavidade/convexidade	Sim	Determinar se a função é côncava ou convexa

Exemplo Numérico de Hessiana

Seja a função lucro:

\[ \pi(x, y) = 10x^{1/2}y^{1/2} - 4x - y \]

Derivadas parciais (1ª ordem):

\[ \frac{\partial \pi}{\partial x} = 5 x^{-1/2} y^{1/2} - 4, \quad \frac{\partial \pi}{\partial y} = 5 x^{1/2} y^{-1/2} - 1 \]

Suponha o ponto \(x = 1\), \(y = 25\). Vamos verificar sua natureza.

Derivadas segundas (2ª ordem):

As derivadas de segunda ordem medem a curvatura da função em relação a cada variável:

• \(\pi_{xx}\): como a inclinação da função muda em relação a \(x\)
• \(\pi_{yy}\): como a inclinação muda em relação a \(y\)
• \(\pi_{xy}\): como a inclinação em \(x\) muda quando variamos \(y\), e vice-versa

Cálculo:

\[ \pi_{xx} = \frac{\partial^2 \pi}{\partial x^2} = \frac{d}{dx} \left( 5 x^{-1/2} y^{1/2} \right) = -\frac{5}{2} x^{-3/2} y^{1/2} \]

Multiplicando por \(1/2\), temos:

\[ \pi_{xx} = -\frac{5}{4} x^{-3/2} y^{1/2} \]

\[ \pi_{yy} = \frac{\partial^2 \pi}{\partial y^2} = \frac{d}{dy} \left( 5 x^{1/2} y^{-1/2} \right) = -\frac{5}{2} x^{1/2} y^{-3/2} = -\frac{5}{4} x^{1/2} y^{-3/2} \]

\[ \pi_{xy} = \frac{\partial^2 \pi}{\partial x \partial y} = \frac{d}{dy} \left( 5 x^{-1/2} y^{1/2} \right) = \frac{5}{2} x^{-1/2} y^{-1/2} \]

Avaliando no ponto \((x = 1, y = 25)\):

• Pontos de exemplo.

\[ \pi_{xx} = -\frac{25}{4}, \quad \pi_{yy} = -\frac{1}{100}, \quad \pi_{xy} = \frac{1}{2} \]

Matriz Hessiana:

\[ H = \begin{bmatrix} -25/4 & 1/2 \\ 1/2 & -1/100 \end{bmatrix} \]

Determinante:

\[ \det(H) = \left(-\frac{25}{4}\right)\left(-\frac{1}{100}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{25}{400} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{16} \]

Conclusão:

Como \(\det(H) < 0\), o ponto \((1, 25)\) é um ponto de sela.

Um ponto de sela é um conceito em cálculo multivariável e otimização, relacionado à análise da concavidade de funções em torno de um ponto crítico. Ele ocorre quando a matriz Hessiana (matriz de segundas derivadas) é indefinida, indicando que a função tem comportamentos diferentes em diferentes direções ao redor do ponto crítico.

Lembrando: um ponto de sela é um ponto crítico que não é máximo nem mínimo local, mas onde a função: a) Cresce em algumas direções, b) Decresce em outras direções.

Interpretação Econômica

Mesmo que um ponto satisfaça as condições de primeira ordem, ele pode não representar um ótimo econômico. A matriz Hessiana revela a curvatura local da função. Neste exemplo:

• O ponto testado não é ótimo, pois há direções onde o lucro ainda pode aumentar.
• A verificação da segunda ordem é essencial para garantir que o ponto obtido seja de máximo ou mínimo real.

1. Formulação da Função Lucro

A função de lucro é dada por:

\[ \pi(L, E) = \text{Receita Total} - \text{Custo Total} \]

A Receita Total (RT) é o preço do produto multiplicado pela quantidade produzida:

\[ RT = 2 \cdot q(L, E) = 2 \cdot 10 \cdot L^{1/2} \cdot E^{1/3} = 20 L^{1/2} E^{1/3} \]

O Custo Total (CT) é:

\[ CT = 5L + 3E \]

Logo, a função lucro é:

\[ \pi(L, E) = 20 L^{1/2} E^{1/3} - 5L - 3E \]

2. Maximização: Derivadas Parciais

Para encontrar os valores que maximizam o lucro, usamos cálculo diferencial. Calculamos as derivadas parciais de \(\pi(L, E)\) e igualamos a zero.

Derivada parcial em relação a \(L\):

Aplicamos a regra da cadeia:

\[\begin{align*} \frac{\partial \pi}{\partial L} &= 20 \cdot \frac{1}{2} L^{-1/2} E^{1/3} - 5 \\ \frac{\partial \pi}{\partial L} &= 10 L^{-1/2} E^{1/3} - 5 \tag{1} \end{align*}\]

Derivada parcial em relação a \(E\):

\[\begin{align*} \frac{\partial \pi}{\partial E} &= 20 \cdot L^{1/2} \cdot \frac{1}{3} E^{-2/3} - 3 \\ \frac{\partial \pi}{\partial E} &= \frac{20}{3} L^{1/2} E^{-2/3} - 3 \tag{2} \end{align*}\]

3. Resolução do Sistema

Etapa 1: Resolver a equação (1)

\[\begin{align*} 10 L^{-1/2} E^{1/3} &= 5 \\ L^{-1/2} E^{1/3} &= \frac{1}{2} \end{align*}\]

Multiplicamos ambos os lados por \(L^{1/2}\):

\[\begin{align*} E^{1/3} &= \frac{1}{2} L^{1/2} \\ E &= \left( \frac{1}{2} L^{1/2} \right)^3 \\ E &= \frac{1}{8} L^{3/2} \tag{3} \end{align*}\]

Etapa 2: Substituir (3) na equação (2)

Substituímos a equação (3) em (2):

\[ \frac{20}{3} \cdot L^{1/2} \cdot \left( \frac{1}{8} L^{3/2} \right)^{-2/3} = 3 \]

Dica

• \(L^{3/2}\) elevado a \(-2/3\) é \(L^{-1}\)
• \(\left( \frac{1}{8} \right)^{-2/3} = 4\)

\[\begin{align*} \frac{20}{3} \cdot L^{1/2} \cdot 4 \cdot L^{-1} &= 3 \\ \frac{80}{3} \cdot L^{-1/2} &= 3 \end{align*}\]

Multiplicando ambos os lados por 3:

\[\begin{align*} 80 \cdot L^{-1/2} &= 9 \\ L^{-1/2} &= \frac{9}{80} \\ L^{1/2} &= \frac{80}{9} \\ L &= \left( \frac{80}{9} \right)^2 = \frac{6400}{81} \approx 79{,}01 \end{align*}\]

Etapa 3: Substituir \(L\) em (3) para encontrar \(E\)

\[\begin{align*} E &= \frac{1}{8} L^{3/2} \\ E &= \frac{1}{8} \cdot \left( \frac{6400}{81} \right)^{3/2} \\ E &= \frac{1}{8} \cdot \frac{512000}{729} \\ E &= \frac{64000}{729} \approx 87{,}77 \end{align*}\]

4. Resultado

• Quantidade ótima de mão de obra:

\[ \boxed{L^* \approx 79{,}01} \]

• Quantidade ótima de energia:

\[ \boxed{E^* \approx 87{,}77} \]

4. Verificação da Condição de Segunda Ordem

Para verificar se o ponto crítico obtido é um máximo, analisamos a matriz hessiana da função lucro:

\[ \pi(L, E) = 20 L^{1/2} E^{1/3} - 5L - 3E \]

A matriz hessiana \(H\) contém as derivadas de segunda ordem:

\[ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 \pi}{\partial L^2} & \frac{\partial^2 \pi}{\partial L \partial E} \\ \frac{\partial^2 \pi}{\partial E \partial L} & \frac{\partial^2 \pi}{\partial E^2} \end{bmatrix} \]

Cálculo das derivadas de segunda ordem

1. Segunda derivada em relação a \(L\):

\[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial L^2} = \frac{d}{dL} \left( 10 L^{-1/2} E^{1/3} \right) = -5 L^{-3/2} E^{1/3} \]

2. Segunda derivada em relação a \(E\):

\[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial E^2} = \frac{d}{dE} \left( \frac{20}{3} L^{1/2} E^{-2/3} \right) = -\frac{40}{9} L^{1/2} E^{-5/3} \]

3. Derivadas cruzadas:

\[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial L \partial E} = \frac{d}{dE} \left( 10 L^{-1/2} E^{1/3} \right) = \frac{10}{3} L^{-1/2} E^{-2/3} \]

\[ \frac{\partial^2 \pi}{\partial E \partial L} = \frac{10}{3} L^{-1/2} E^{-2/3} \]

Montando a matriz Hessiana

\[ H = \begin{bmatrix} -5 L^{-3/2} E^{1/3} & \frac{10}{3} L^{-1/2} E^{-2/3} \\ \frac{10}{3} L^{-1/2} E^{-2/3} & -\frac{40}{9} L^{1/2} E^{-5/3} \end{bmatrix} \]

Condição de segunda ordem (determinante do hessiano)

Se o determinante da matriz Hessiana for positivo e o elemento \(H_{11} < 0\), temos um máximo local.

Calculamos:

• \(A = -5 L^{-3/2} E^{1/3}\)
• \(B = \frac{10}{3} L^{-1/2} E^{-2/3}\)
• \(C = -\frac{40}{9} L^{1/2} E^{-5/3}\)

O determinante é:

\[ \det(H) = AC - B^2 \]

Substituindo os termos:

\[ \det(H) = \left(-5 L^{-3/2} E^{1/3}\right) \cdot \left(-\frac{40}{9} L^{1/2} E^{-5/3}\right) - \left( \frac{10}{3} L^{-1/2} E^{-2/3} \right)^2 \]

\[ = \frac{200}{9} L^{-1} E^{-4/3} - \frac{100}{9} L^{-1} E^{-4/3} = \frac{100}{9} L^{-1} E^{-4/3} \]

Como \(L > 0\) e \(E > 0\), o determinante é positivo.

Além disso, \(\frac{\partial^2 \pi}{\partial L^2} = -5 L^{-3/2} E^{1/3} < 0\), portanto:

A condição de segunda ordem está satisfeita.
O ponto crítico encontrado é um máximo local, que neste caso também é global (pois a função lucro é concava em \(L, E > 0\)).

7. Conclusão

• A firma maximiza seu lucro semanal utilizando:

\[ \boxed{L^* \approx 79{,}01} \quad \text{e} \quad \boxed{E^* \approx 87{,}77} \]

• O ponto encontrado é de máximo, pois a matriz hessiana é negativa definida.

5. Interpretação Econômica

A firma está escolhendo as quantidades de insumos que maximizam a diferença entre receita e custo. A condição de primeira ordem:

\[ \frac{\partial \pi}{\partial x} = 0 \]

significa que a firma está operando onde o produto marginal de cada fator, ponderado pelo preço de venda do bem, é igual ao custo marginal do fator:

• Para \(L\):
  \[ \frac{2 \cdot \partial q / \partial L}{\partial C / \partial L} = 1 \Rightarrow \frac{VMgL}{w} = 1 \]

• Para \(E\):
  \[ \frac{2 \cdot \partial q / \partial E}{\partial C / \partial E} = 1 \Rightarrow \frac{VMgE}{r} = 1 \]

Isso implica que não há como aumentar o lucro ao alterar L ou E marginalmente, ou seja, a empresa atingiu o ponto ótimo de produção.

6. Cálculo do Lucro Máximo

Agora que determinamos as quantidades ótimas de insumos:

• \(L^* \approx 79{,}01\)
• \(E^* \approx 87{,}77\)

Vamos calcular o lucro máximo substituindo esses valores na função:

\[ \pi(L, E) = 20 \cdot L^{1/2} \cdot E^{1/3} - 5L - 3E \]

Passo 1: Calcular a produção

\[ L^{1/2} = \sqrt{79{,}01} \approx 8{,}888 \] \[ E^{1/3} = \sqrt[3]{87{,}77} \approx 4{,}446 \]

\[ q = 10 \cdot 8{,}888 \cdot 4{,}446 \approx 394{,}76 \quad \text{(unidades produzidas)} \]

Passo 2: Receita total

\[ RT = 2 \cdot q = 2 \cdot 394{,}76 = 789{,}52 \]

Passo 3: Custo total

\[ CT = 5 \cdot 79{,}01 + 3 \cdot 87{,}77 = 395{,}05 + 263{,}31 = 658{,}36 \]

Passo 4: Lucro máximo

\[ \pi = RT - CT = 789{,}52 - 658{,}36 = \boxed{131{,}16} \]

Conclusão Final

• Quantidade ótima de mão de obra: \(L^* \approx 79{,}01\)
• Quantidade ótima de energia: \(E^* \approx 87{,}77\)
• Produção máxima: \(q \approx 394{,}76\) unidades
• Lucro máximo semanal: \(\boxed{\$131{,}16}\)

Esses valores refletem o ponto onde a firma maximiza seu lucro, dado o preço de venda do produto e os custos dos insumos. A concavidade da função lucro garante que este é um ponto de máximo global.