Minimização de Custos com Função Cobb-Douglas ex

Autor

Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Função de produção Cobb-Douglas

Neste exemplo, analisamos como uma firma escolhe as quantidades ótimas de trabalho \(L\) e capital \(K\) para minimizar o custo de produção, dado que deseja produzir uma quantidade fixa \(\bar{Q}\) usando uma função de produção do tipo Cobb-Douglas.

Problema de otimização

A função de produção é:

\[ Q = L^{0{,}5}K^{0{,}5} \]

Ou seja, uma função Cobb-Douglas com retornos constantes de escala.

A firma deseja produzir:

\[ Q = 10 \]

Os preços dos fatores são:

• Trabalho: \(w = 4\)
• Capital: \(r = 1\)

A função custo total é:

\[ C = 4L + 1K \]

Análise dos Coeficientes da Função Cobb-Douglas

Uma função de produção do tipo Cobb-Douglas tem a forma geral:

\[ Q = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{\beta} \]

• Onde:
  • \(Q\): produto;
  • \(L\): trabalho;
  • \(K\): capital;
  • \(\alpha\), \(\beta\): elasticidades do produto em relação a \(L\) e \(K\);
  • \(A\): constante tecnológica (pode ser normalizada).

1. Interpretação dos Coeficientes

• \(\alpha\): elasticidade do produto em relação ao trabalho.
• \(\beta\): elasticidade do produto em relação ao capital.

Esses coeficientes indicam quanto o produto varia proporcionalmente com a variação de cada insumo, mantendo o outro constante.

2. Retornos de Escala

A soma \(\alpha + \beta\) determina os retornos de escala da tecnologia:

• Se \(\alpha + \beta = 1\): Retornos constantes de escala.
• Se \(\alpha + \beta > 1\): Retornos crescentes de escala.
• Se \(\alpha + \beta < 1\): Retornos decrescentes de escala.

3. Exemplo Prático

Considere a função:

\[ Q = L^{0{,}3} \cdot K^{0{,}7} \]

• \(\alpha = 0{,}3\), \(\beta = 0{,}7\)
• \(\alpha + \beta = 1 \Rightarrow\) Retornos constantes de escala

O capital tem maior influência sobre o produto do que o trabalho, dado que sua elasticidade é maior.

4. Quadro-Resumo

Coeficiente	Significado
\(\alpha\)	Elasticidade do trabalho
\(\beta\)	Elasticidade do capital
\(\alpha + \beta\)	Determina os retornos de escala

Resolução por Lagrange

Etapa 1: Construção da função Lagrangiana

Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange:

\[ \mathcal{L}(L, K, \lambda) = 4L + K + \lambda(10 - L^{0{,}5}K^{0{,}5}) \]

Onde:

• \(4L + K\): custo total a ser minimizado
• \(\lambda\): multiplicador de Lagrange
• \(10 - L^{0{,}5}K^{0{,}5}\): restrição de produção (reescrita como \(= 0\))

Etapa 2: Derivadas parciais (condições de primeira ordem)

Derivada em relação a \(L\):

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = 4 - \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{-0{,}5}K^{0{,}5} \]

Derivada em relação a \(K\):

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = 1 - \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{0{,}5}K^{-0{,}5} \]

Derivada em relação a \(\lambda\):

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 10 - L^{0{,}5}K^{0{,}5} \]

Etapa 3: Sistema de equações

Igualamos as derivadas a zero:

\[ \begin{cases} 4 = \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{-0{,}5}K^{0{,}5} \\ 1 = \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{0{,}5}K^{-0{,}5} \\ L^{0{,}5}K^{0{,}5} = 10 \end{cases} \]

Etapa 4: Resolvendo o sistema

Dividimos os dois lados das equações para eliminar \(\lambda\):

\[ \frac{4}{1} = \frac{\frac{1}{2}L^{-1/2}K^{1/2}}{\frac{1}{2}L^{1/2}K^{-1/2}} = \frac{K}{L} \]

Logo, obtemos a relação:

\[ \frac{4}{1} = \frac{K}{L} \Rightarrow K = 4L \]

Sabemos, a partir da divisão das equações do Lagrangeano, que:

\[ K = 4L \]

Substituímos essa relação na equação da restrição:

\[ L^{1/2}(4L)^{1/2} = 10 \]

Nota

Aplicamos propriedades de potências:

\[ (4L)^{1/2} = 4^{1/2} \cdot L^{1/2} = 2L^{1/2} \]

Multiplicamos os termos semelhantes:

\[ 2L^{1/2} \cdot L^{1/2} = 2L \]

Portanto:

\[ 2L = 10 \]

\[ L = \frac{10}{2} \]

\[ L = 5 \]

Como \(K = 4L\), temos \(K = 4 \times 5 = 20\).

Resultado

A firma deve empregar:

• \(L^* = 5\)
• \(K^* = 20\)

O custo mínimo será:

\[ C^* = 4L + K = 4 \cdot 5 + 20 = 40 \]

Resolução detalhada via multiplicadores de Lagrange

Revisão

O método de Lagrange permite maximizar ou minimizar uma função, quando há uma ou mais restrições que precisam ser satisfeitas.

Queremos otimizar uma função \(f(x, y)\), sujeita a uma restrição \(g(x, y) = c\).

Etapas do método

1. Construir a função Lagrangiana:

   𝓛(x, y, λ) = f(x, y) + λ(c - g(x, y))

2. Calcular as derivadas parciais:

   ∂𝓛/∂x = 0  
   ∂𝓛/∂y = 0  
   ∂𝓛/∂λ = 0

3. Resolver o sistema de equações para encontrar os valores ótimos de x, y e λ.

Exemplo econômico

Queremos determinar os valores ótimos de trabalho \(L\) e capital \(K\) que minimizam o custo total, sujeitos à condição de que a produção atinja uma quantidade fixa \(\bar{Q} = 10\). A função de produção é do tipo Cobb-Douglas.

Função de produção

\[ Q = L^{0{,}5}K^{0{,}5} \]

Função de custo total

\[ C = wL + rK = 4L + 1K \]

Construção da função Lagrangiana

Para resolver esse problema com restrição, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A função Lagrangiana é dada por:

\[ \mathcal{L}(L, K, \lambda) = 4L + K + \lambda(10 - L^{0{,}5}K^{0{,}5}) \]

Nessa expressão:

• \(4L + K\): é o custo total a ser minimizado.
• \(\lambda\): é o multiplicador de Lagrange, que mede a variação marginal do custo total quando aumentamos ligeiramente a produção.
• \(10 - L^{0{,}5}K^{0{,}5}\): é a restrição de produção reescrita como \(= 0\).

Derivadas parciais da Lagrangiana

A seguir, derivamos a função Lagrangiana em relação a \(L\), \(K\) e \(\lambda\), obtendo as condições de primeira ordem.

Derivada em relação a \(L\)

Aplicando a regra da cadeia:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = 4 - \lambda \cdot \frac{\partial}{\partial L}(L^{0{,}5}K^{0{,}5}) = 4 - \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{-0{,}5}K^{0{,}5} \]

Interpretação:

• \(4\): vem da derivada de \(4L\)
• \(\lambda \cdot \frac{1}{2}L^{-0{,}5}K^{0{,}5}\): é a sensibilidade do produto em relação ao trabalho, ponderada pelo valor da produção (via \(\lambda\))

Derivada em relação a \(K\)

De modo análogo:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = 1 - \lambda \cdot \frac{\partial}{\partial K}(L^{0{,}5}K^{0{,}5}) = 1 - \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{0{,}5}K^{-0{,}5} \]

Interpretação:

• \(1\): vem da derivada de \(K\)
• \(\lambda \cdot \frac{1}{2}L^{0{,}5}K^{-0{,}5}\): é a sensibilidade do produto em relação ao capital, ponderada por \(\lambda\)

Derivada em relação a \(\lambda\)

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 10 - L^{0{,}5}K^{0{,}5} \]

Interpretação:

• Reproduz a restrição de produção: queremos que a produção seja igual a 10.

Sistema de equações

As condições de otimalidade impõem que todas as derivadas parciais sejam zero:

\[ \begin{cases} 4 = \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{-0{,}5}K^{0{,}5} \\ 1 = \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{0{,}5}K^{-0{,}5} \\ L^{0{,}5}K^{0{,}5} = 10 \end{cases} \]

Resolvendo o sistema

\[ \frac{4}{1} = \frac{ \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{-1/2}K^{1/2} }{ \lambda \cdot \frac{1}{2}L^{1/2}K^{-1/2} } \]

Cancelamos os fatores comuns \(\lambda\) e \(\frac{1}{2}\):

\[ \frac{4}{1} = \frac{L^{-1/2}K^{1/2}}{L^{1/2}K^{-1/2}} \]

Aplicamos propriedades de potências

Utilizamos:

\(\frac{L^{-1/2}}{L^{1/2}} = L^{-1}\)

\(\frac{K^{1/2}}{K^{-1/2}} = K^{1}\)

Logo:

\[ \frac{4}{1} = \frac{K}{L} \]

Substituímos na equação da restrição:

\[ L^{0{,}5}(4L)^{0{,}5} = 10 \Rightarrow L^{0{,}5} \cdot 2L^{0{,}5} = 2L = 10 \Rightarrow L = 5 \]

\[ K = 4L = 4 \times 5 = 20 \]

Solução ótima

A combinação de fatores que minimiza o custo total é:

• \(L^* = 5\)
• \(K^* = 20\)

Custo mínimo:

\[ C^* = 4L + K = 4 \cdot 5 + 20 = 40 \]

Interpretação econômica

A condição de mínimo exige que a taxa marginal de substituição técnica (TMST) seja igual à razão dos preços dos fatores:

\[ \text{TMST} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{K}{L} = \frac{20}{5} = 4 \quad\text{e}\quad \frac{w}{r} = \frac{4}{1} = 4 \]

Como:

\[ \text{TMST} = \frac{w}{r} \]

Há tangência entre a isoquanta e a linha de isocusto: a solução ótima ocorre com ambos insumos positivos.

O multiplicador de Lagrange \(\lambda\) pode ser interpretado como o custo marginal de produzir uma unidade adicional de \(Q\). Podemos obtê-lo substituindo \(L = 5\), \(K = 20\) em qualquer uma das equações:

\[ 4 = \lambda \cdot \frac{1}{2}(5^{-0{,}5})(20^{0{,}5}) \Rightarrow \lambda = \frac{4}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{20}} = 4 \]

Assim, o custo de produzir uma unidade adicional de \(Q\) é aproximadamente 4 unidades monetárias.

Interpretação econômica

A condição de ótimo exige que a taxa marginal de substituição técnica (TMST) seja igual à razão entre os preços dos fatores:

\[ \text{TMST} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{K}{L} = \frac{4L}{L} = 4 = \frac{w}{r} \]

Como a condição é satisfeita, o ponto de mínimo ocorre em um ponto interior, com uso positivo de ambos os insumos.

Resolução por TMST

Dados do Problema

Função de produção:

\[ Q = L^{0.5}K^{0.5} \]

Meta de produção:

\[ \bar{Q} = 10 \]

Preços dos fatores:

• Trabalho: \(w = 4\)
• Capital: \(r = 1\)

Função de custo:

\[ C = 4L + K \]

Passo 1: Cálculo das Produtividades Marginais

Para encontrar a TMST, primeiro calculamos as derivadas parciais da função de produção:

1. Produtividade Marginal do Trabalho (\(PMg_L\)):

\[ \frac{\partial Q}{\partial L} = 0.5L^{-0.5}K^{0.5} \]

2. Produtividade Marginal do Capital (\(PMg_K\)):

\[ \frac{\partial Q}{\partial K} = 0.5L^{0.5}K^{-0.5} \]

Explicação da Derivação da Produtividade Marginal do Trabalho

Regra de Derivação Aplicada

Para calcular \(\frac{\partial Q}{\partial L}\) da função de produção Cobb-Douglas \(Q = L^{0.5}K^{0.5}\), utilizamos:

1. Regra da Potência para Derivadas Parciais

A regra básica utilizada foi:

\[ \frac{\partial}{\partial x} x^n = nx^{n-1} \]

2. Tratamento da Variável K

Como estamos derivando em relação a L, tratamos K como constante: \[ \frac{\partial}{\partial L} (K^{0.5}) = 0 \]

3. Aplicação Passo a Passo

Para \(Q = L^{0.5}K^{0.5}\):

1. Aplicamos a regra da potência a \(L^{0.5}\): \[ \frac{\partial}{\partial L} L^{0.5} = 0.5L^{0.5-1} = 0.5L^{-0.5} \]

2. Mantemos o termo constante \(K^{0.5}\) multiplicando: \[ \frac{\partial Q}{\partial L} = 0.5L^{-0.5} \times K^{0.5} \]

3. Resultado final: \[ \frac{\partial Q}{\partial L} = 0.5L^{-0.5}K^{0.5} \]

Observações Importantes:

• O expoente 0.5 equivale à raiz quadrada (\(\sqrt{L} = L^{0.5}\))
• O termo \(L^{-0.5}\) pode ser reescrito como \(\frac{1}{\sqrt{L}}\)
• Esta é uma derivação parcial porque consideramos K constante ao derivar em relação a L

Passo 2: Derivação Detalhada da TMST

A Taxa Marginal de Substituição Técnica é obtida pela razão das produtividades marginais:

\[ TMST = \frac{PMg_L}{PMg_K} = \frac{0.5L^{-0.5}K^{0.5}}{0.5L^{0.5}K^{-0.5}} \]

Utilizamos as seguintes propriedades:

• \(\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

Assim, aplicando para as variáveis \(L\) e \(K\):

• \(\displaystyle \frac{L^{-0{,}5}}{L^{0{,}5}} = L^{-0{,}5 - 0{,}5} = L^{-1}\)

• \(\displaystyle \frac{K^{0{,}5}}{K^{-0{,}5}} = K^{0{,}5 - (-0{,}5)} = K^1 = K\)

Portanto, temos:

\[ TMST = \frac{K}{L} \]

Passo 3: Condição de Minimização de Custo

Igualamos a TMST à razão de preços dos fatores:

\[ \frac{K}{L} = \frac{w}{r} = \frac{4}{1} \]

Obtemos a relação ótima:

\[ K = 4L \]

Passo 4: Substituição na Restrição de Produção

Substituindo \(K = 4L\) na função de produção com \(\bar{Q} = 10\):

\[ 10 = L^{0.5}(4L)^{0.5} \]

Desenvolvendo:

• \((4L)^{0.5} = 2L^{0.5}\)
• \(L^{0.5} \times 2L^{0.5} = 2L\)

obs.: \(L^{0.5+0.5} = L^1\)

Portanto:

\[ 10 = 2L \implies L = 5 \]

E consequentemente: \[ K = 4 \times 5 = 20 \]

Passo 5: Cálculo do Custo Mínimo

\[ C = 4(5) + 1(20) = 20 + 20 = 40 \]

Solução Final

Combinação ótima:

• Trabalho: \(L^* = 5\)
• Capital: \(K^* = 20\)

Custo mínimo: \[ C^* = 40 \]

Verificação

Substituindo na função de produção:

\[ Q = (5)^{0.5}(20)^{0.5} = \sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10 \]

Atinge a meta de produzir 10 unidades ao menor custo.

Representação gráfica via isocusto e isoquanta

Dada a função de produção do tipo Cobb-Douglas:

\[ Q = L^{0{,}5}K^{0{,}5} \]

1. Função de Isoquanta

A isoquanta representa todas as combinações de insumos \(L\) e \(K\) que resultam em um mesmo nível de produção \(\bar{Q}\). A partir da função de produção, fixamos \(Q = \bar{Q}\) e isolamos uma variável (por exemplo, \(K\)):

\[ L^{0{,}5}K^{0{,}5} = \bar{Q} \Rightarrow \sqrt{L}\sqrt{K} = \bar{Q} \Rightarrow \sqrt{LK} = \bar{Q} \Rightarrow LK = \bar{Q}^2 \Rightarrow K = \frac{\bar{Q}^2}{L} \]

Equação da isoquanta:

\[ K = \frac{\bar{Q}^2}{L} \]

Essa é a equação que define a curva de isoquanta, que é uma hipérbole no plano \((L, K)\).

2. Função de Isocusto

A isocusto representa todas as combinações de insumos \(L\) e \(K\) que custam o mesmo valor total \(\bar{C}\), dado os preços dos insumos:

• Preço do trabalho: \(w\)
• Preço do capital: \(r\)

A função de custo total é:

\[ C = wL + rK \Rightarrow \bar{C} = wL + rK \Rightarrow K = \frac{\bar{C}}{r} - \frac{w}{r}L \]

Equação da reta de isocusto:

\[ K = \frac{\bar{C}}{r} - \frac{w}{r}L \]

É uma reta com intercepto \(\frac{\bar{C}}{r}\) e inclinação \(-\frac{w}{r}\).

3. Interpretação

• A isoquanta mostra as diferentes formas de combinar trabalho e capital para produzir o mesmo nível de produto.
• A isocusto mostra as diferentes formas de combinar insumos que mantêm o custo constante.
• O ponto de tangência entre a isoquanta e a isocusto determina a combinação ótima de \(L\) e \(K\) para produzir \(\bar{Q}\) ao menor custo possível.

library(ggplot2)
library(dplyr)

# Função de produção Q = L^0.5 * K^0.5 → K = Q^2 / L
isoquanta <- function(L, Q) (Q^2) / L

# Linha de isocusto: C = wL + rK → K = (C - wL)/r
isocusto <- function(L, C, w = 4, r = 1) (C - w * L) / r

# Valores de L
# L_vals <- seq(1, 12)
L_vals <- seq(1, 12, length.out = 300)

dados <- tibble(
  L = L_vals,
  isoquanta = isoquanta(L, 10),
  isocusto_40 = isocusto(L, 40),
  isocusto_50 = isocusto(L, 50)
)

ggplot(dados, aes(x = L)) +
  geom_line(aes(y = isoquanta), color = "#1f78b4", size = 1.2) +
  geom_line(aes(y = isocusto_40), color = "#33a02c", linetype = "dashed", size = 1) +
  # geom_line(aes(y = isocusto_50), color = "#e31a1c", linetype = "dotted", size = 1) +
  geom_point(aes(x = 5, y = 20), color = "#33a02c", size = 3) +
  annotate("text", x = 5.5, y = 20.5, label = "Ótimo (C = 40)", color = "#33a02c") +
  annotate("text", x = 3, y = 33, label = "Isoquanta Q = 10", color = "#1f78b4") +
  labs(
    x = "Trabalho (L)",
    y = "Capital (K)",
    title = "Minimização de custo com função Cobb-Douglas"
  ) +
  coord_cartesian(ylim = c(0, 50)) +
  theme_minimal()

Resolução por substituição

Queremos minimizar o custo total:

\[ C = 4L + K \]

Sujeito à função de produção:

\[ Q = L^{0{,}5}K^{0{,}5} = 10 \]

Etapa 1: Isolar uma variável a partir da função de produção

Vamos isolar \(K\) na equação da produção:

\[ L^{0{,}5}K^{0{,}5} = 10 \Rightarrow K^{0{,}5} = \frac{10}{L^{0{,}5}} \Rightarrow K = \left(\frac{10}{L^{0{,}5}} \right)^2 = \frac{100}{L} \]

Etapa 2: Substituir na função de custo

Substituímos a expressão de \(K\) na função de custo:

\[ C(L) = 4L + \frac{100}{L} \]

Etapa 3: Minimizar \(C(L)\)

Agora temos um problema de minimização não restrita de uma função de uma variável. Derivamos \(C(L)\) e igualamos a zero:

\[ C(L) = 4L + \frac{100}{L} \Rightarrow C'(L) = 4 - \frac{100}{L^2} \]

Igualando a zero:

\[ 4 - \frac{100}{L^2} = 0 \Rightarrow \frac{100}{L^2} = 4 \Rightarrow L^2 = 25 \Rightarrow L = 5 \]

Substituímos em \(K = \frac{100}{L}\):

\[ K = \frac{100}{5} = 20 \]

Derivada de \(C(L) = 4L + \frac{100}{L}\)

Queremos derivar a função custo total:

\[ C(L) = 4L + \frac{100}{L} \]

Essa função é composta por dois termos: um termo linear e um termo inverso.

Passo 1: Derivada do termo linear

\[ \frac{d}{dL}(4L) = 4 \]

A derivada de um termo da forma \(aL\) em relação a \(L\) é simplesmente a constante \(a\).

Passo 2: Derivada do termo inverso

Reescrevemos:

\[ \frac{100}{L} = 100 \cdot L^{-1} \]

Usando a regra da potência:

\[ \frac{d}{dL}(L^{-1}) = -1 \cdot L^{-2} = -\frac{1}{L^2} \]

Logo:

\[ \frac{d}{dL} \left( \frac{100}{L} \right) = -\frac{100}{L^2} \]

Passo 3: Soma das derivadas

A derivada total da função custo é:

\[ C'(L) = 4 - \frac{100}{L^2} \]

Interpretação

A derivada \(C'(L)\) representa o custo marginal da firma ao variar a quantidade de trabalho \(L\), levando em conta a substituição implícita do capital \(K = \frac{100}{L}\).

Para encontrar o mínimo da função, basta resolver:

\[ C'(L) = 0 \Rightarrow 4 - \frac{100}{L^2} = 0 \Rightarrow L^2 = 25 \Rightarrow L = 5 \]

Etapa 4: Cálculo do custo mínimo

\[ C = 4L + K = 4 \times 5 + 20 = 40 \]

Solução ótima

• \(L^* = 5\)
• \(K^* = 20\)
• Custo mínimo: \(C^* = 40\)

Conclusão

Mesmo com função Cobb-Douglas, é possível resolver o problema de minimização de custos por substituição, desde que a função de produção permita isolar uma variável. O procedimento é:

1. Usar a função de produção para expressar \(K\) em função de \(L\);
2. Substituir em \(C(L)\);
3. Derivar e encontrar o valor ótimo de \(L\);
4. Recuperar \(K\) e o custo mínimo.

Esse método é totalmente equivalente ao método de Lagrange, mas usa cálculo diferencial direto em uma função de uma variável.