Maximização de Lucro ex2

Autor

Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Problema econômico 1

Uma firma tomadora de preços conhece o comportamento de seus custos, descritos pela função:

\[ C(q) = q^3 - 6q^2 + 25q + 100 \]

Determine:

a) O custo marginal.

b) O nivel ótimo de produção de o preço de mercado que o empresário vende de seu produto é $19,75.

c) O custo variável médio no pronto ótimo.

d) O custo total médio no pronto ótimo.

e) O custo fixo médio no ponto ótimo.

Respostas

a) Custo Marginal

O custo marginal (CMg) representa o custo adicional para produzir uma unidade extra do bem. Ele é obtido derivando a função de custo total em relação à quantidade \(q\):

\[ CMg(q) = \frac{dC}{dq} = 3q^2 - 12q + 25 \]

Entenda o Custo Marginal

O custo marginal representa o custo adicional de produzir uma unidade extra do bem. É obtido pela derivada da função de custo total:

\[ CMg(q) = \frac{dC}{dq} \]

Aplicando a regra da potência:

• \(\frac{d}{dq}(q^3) = 3q^2\)
• \(\frac{d}{dq}(-6q^2) = -12q\)
• \(\frac{d}{dq}(25q) = 25\)
• \(\frac{d}{dq}(100) = 0\)

Portanto, a função custo marginal é:

\[ CMg(q) = 3q^2 - 12q + 25 \]

Derivada do Custo Marginal

A derivada do custo marginal nos mostra como o custo marginal varia conforme a produção muda. Isso corresponde à segunda derivada da função custo total:

\[ CMg'(q) = \frac{d^2C}{dq^2} \]

Calculando:

• \(\frac{d}{dq}(3q^2) = 6q\)
• \(\frac{d}{dq}(-12q) = -12\)
• \(\frac{d}{dq}\)

Portanto, a função custo marginal é:

\[ CMg(q) = 3q^2 - 12q + 25 \]

A Derivada do Custo Marginal mostra como o custo marginal varia conforme a produção muda. Isso corresponde à segunda derivada da função custo total:

\[ CMg'(q) = \frac{d^2C}{dq^2} \]

Calculando:

• \(\frac{d}{dq}(3q^2) = 6q\)
• \(\frac{d}{dq}(-12q) = -12\)
• \(\frac{d}{dq}(25) = 0\)

Logo:

\[ CMg'(q) = 6q - 12 \]

Interpretação Econômica

• Se \(CMg'(q) > 0\): o custo marginal está crescendo. Isso significa que produzir unidades adicionais é cada vez mais caro.
• Se \(CMg'(q) < 0\): o custo marginal está diminuindo, indicando ganhos marginais de escala.
• Se \(CMg'(q) = 0\): o custo marginal atinge um ponto de inflexão (mínimo ou máximo local).

Na análise de maximização de lucro, essa derivada é usada para verificar se a solução \(p = CMg(q)\) representa um máximo:

• Se \(CMg'(q^*) > 0\), estamos em uma região de crescimento dos custos marginais, o que garante a concavidade adequada da função lucro para um máximo local.

b) Nível ótimo de produção

A firma maximizadora de lucro escolhe a quantidade que iguala o preço (receita marginal) ao custo marginal:

\[ p = CMg(q) \Rightarrow 19{,}75 = 3q^2 - 12q + 25 \]

Subtraindo 19,75 de ambos os lados:

\[ 3q^2 - 12q + 5{,}25 = 0 \]

Dividindo por 3:

\[ q^2 - 4q + 1{,}75 = 0 \]

Usamos a fórmula de Bhaskara:

\[ q = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1{,}75}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 7}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{4 \pm 3}{2} \]

\[ \Rightarrow \begin{cases} q_1 = \frac{4 - 3}{2} = 0{,}5 \\ q_2 = \frac{4 + 3}{2} = 3{,}5 \end{cases} \]

Para identificar qual é o máximo local, aplicamos a segunda derivada:

\[ CMg'(q) = \frac{d^2C}{dq^2} = 6q - 12 \]

Avaliando em \(q = 0{,}5\):

\[ 6(0{,}5) - 12 = -9 < 0 \Rightarrow \text{máximo local} \]

Avaliando em \(q = 3{,}5\):

\[ 6(3{,}5) - 12 = 9 > 0 \Rightarrow \text{mínimo local} \]

Como buscamos maximização de lucro, escolhemos:

\[ q^* = 3{,}5 \]

c) Custo Variável Médio no ponto ótimo

A função de custo variável (CV) é a parte do custo total que depende da produção, ou seja:

\[ CV(q) = C(q) - CF = q^3 - 6q^2 + 25q \]

O custo variável médio (CVMe) é:

\[ CVMe(q) = \frac{CV(q)}{q} = \frac{q^3 - 6q^2 + 25q}{q} = q^2 - 6q + 25 \]

Substituindo \(q = 3{,}5\):

\[ CVMe(3{,}5) = (3{,}5)^2 - 6(3{,}5) + 25 = 12{,}25 - 21 + 25 = 16{,}25 \]

d) Custo Total Médio no ponto ótimo

O custo total médio (CTMe) é dado por:

\[ CTMe(q) = \frac{C(q)}{q} \]

Calculamos o custo total no ponto \(q = 3{,}5\):

\[ C(3{,}5) = (3{,}5)^3 - 6(3{,}5)^2 + 25(3{,}5) + 100 \]

\[ = 42{,}875 - 73{,}5 + 87{,}5 + 100 = 156{,}875 \]

\[ CTMe = \frac{156{,}875}{3{,}5} = 44{,}82 \]

e) Custo Fixo Médio no ponto ótimo

O custo fixo é a parte do custo que não depende de \(q\), ou seja:

\[ CF = 100 \]

O custo fixo médio (CFMe) é:

\[ CFMe(q) = \frac{CF}{q} = \frac{100}{3{,}5} = 28{,}57 \]

Resumo dos Resultados

• a) \(CMg(q) = 3q^2 - 12q + 25\)
• b) Quantidade ótima: \(q^* = 3{,}5\)
• c) \(CVMe(3{,}5) = 16{,}25\)
• d) \(CTMe(3{,}5) = 44{,}82\)
• e) \(CFMe(3{,}5) = 28{,}57\)

Gráficos das Funções de Custo e Suas Derivadas

suppressPackageStartupMessages({
  library(ggplot2)
  library(dplyr)
})

# Domínio de produção
q <- seq(0.5, 8, by = 0.1)

# Funções
C <- function(q) q^3 - 6 * q^2 + 25 * q + 100
CV <- function(q) q^3 - 6 * q^2 + 25 * q
CMg <- function(q) 3 * q^2 - 12 * q + 25
CTMe <- function(q) C(q) / q
CVMe <- function(q) CV(q) / q
RMg <- function(q) 19.75  # preço constante

# Data frame longo para ggplot
df <- tibble(
  q = q,
  `Custo Marginal` = CMg(q),
  `Custo Total Médio` = CTMe(q),
  `Custo Variável Médio` = CVMe(q),
  `Receita Marginal` = RMg(q)
) |>
  tidyr::pivot_longer(-q, names_to = "Curva", values_to = "valor")

# Gráfico com todas as curvas
ggplot(df, aes(x = q, y = valor, color = Curva, linetype = Curva)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  coord_cartesian(ylim = c(0, 100)) +
  geom_vline(xintercept = 3.5, linetype = "dashed", color = "darkgray") +
  labs(
    title = "Curvas de Custo e Receita Marginal",
    x = "Quantidade (q)",
    y = "Valor"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    legend.title = element_blank(),
    legend.position = "bottom"
  )

Análise econômica

Problema Econômico

Uma firma tomadora de preços possui a seguinte função de custo:

\[ C(q) = q^3 - 6q^2 + 25q + 100 \]

O preço de mercado do produto é:

\[ p = 19{,}75 \]

O ponto ótimo de produção, obtido ao igualar o custo marginal à receita marginal, é:

\[ q^* = 3{,}5 \]

Receita Total no Ponto Ótimo

A receita total é dada por:

\[ RT = p \cdot q = 19{,}75 \cdot 3{,}5 = 69{,}125 \]

Custo Total no Ponto Ótimo

Substituímos \(q = 3{,}5\) na função de custo:

\[ C(3{,}5) = (3{,}5)^3 - 6(3{,}5)^2 + 25 \cdot 3{,}5 + 100 \]

\[ = 42{,}875 - 73{,}5 + 87{,}5 + 100 = 156{,}875 \]

Cálculo do Lucro Econômico

\[ \Pi = RT - C = 69{,}125 - 156{,}875 = -87{,}75 \]

Interpretação Econômica

A firma opera com prejuízo econômico de:

\[ \Pi^* = -87{,}75 \]

Motivos:

• O preço de mercado cobre os custos variáveis médios:

\[ CVMe(3{,}5) = 16{,}25 < p = 19{,}75 \]

Isso significa que vale a pena continuar operando no curto prazo, pois a firma cobre os custos variáveis.

• No entanto, o preço não cobre o custo total médio:

\[ CTMe(3{,}5) = \frac{C(3{,}5)}{3{,}5} \approx 44{,}82 > p \]

Portanto, a firma não cobre os custos fixos totais, e isso gera prejuízo econômico.

• A firma:
  • Opera com prejuízo econômico de 87,75 unidades monetárias;
  • Cobre seus custos variáveis, mas não cobre os custos fixos;
  • Tem incentivo a continuar produzindo no curto prazo, pois o encerramento resultaria em perda igual ao custo fixo (\(CF = 100\)), que é maior que o prejuízo atual.

Essa é uma típica situação de uma firma operando com prejuízo no curto prazo, mas com resultado menos negativo do que se interrompesse a produção.

Problema econômico 2

A firma possui a seguinte função de custo total:

\[ C(q) = q^3 - 6q^2 + 25q + 100 \]

Ela opera em concorrência perfeita, vendendo seu produto a um preço de mercado \(p\).

a) Encontre a curva de oferta de curto prazo da firma.

Respostas

Etapa 1: Custo Variável Médio (CVMe)

A parte variável do custo total é:

\[ CV(q) = C(q) - CF = q^3 - 6q^2 + 25q \]

O custo variável médio é:

\[ CVMe(q) = \frac{CV(q)}{q} = q^2 - 6q + 25 \]

Derivando para encontrar o ponto mínimo:

\[ \frac{d(CVMe)}{dq} = 2q - 6 \Rightarrow 2q - 6 = 0 \Rightarrow q = 3 \]

Substituímos na função \(CVMe\):

\[ CVMe(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 25 = 9 - 18 + 25 = 16 \]

Portanto, a firma só produzirá se \(p \geq 16\).

Etapa 2: Custo Marginal

Derivando \(C(q)\):

\[ CMg(q) = \frac{dC}{dq} = 3q^2 - 12q + 25 \]

Derivada segunda:

\[ \frac{d^2C}{dq^2} = 6q - 12 \Rightarrow q = 2 \quad \Rightarrow \quad CMg(2) = 13 \]

Apesar do custo marginal atingir mínimo em \(p = 13\), a oferta começa só a partir de \(p = 16\), pois o custo variável ainda não está coberto abaixo disso.

Etapa 3: Curva de Oferta

A condição de maximização de lucro é:

\[ CMg(q) = p \]

\[ 3q^2 - 12q + 25 = p \]

\[ 3q^2 - 12q + (25 - p) = 0 \]

Resolvendo a equação:

\[ q(p) = \frac{12 \pm \sqrt{12p - 156}}{6}, \quad \text{válido para } p \geq 16 \]

Selecionamos a raiz positiva:

\[ q(p) = \frac{12 + \sqrt{12p - 156}}{6} \]

Interpretação Econômica

• A firma não produz se \(p < 16\), pois não cobre o custo variável médio mínimo;
• A partir de \(p = 16\), ela passa a ofertar quantidade positiva;
• A curva de oferta coincide com o ramo crescente do custo marginal, a partir do ponto onde o preço cobre \(CVMe_{\min}\).

Essa é a lógica da oferta de curto prazo em mercados perfeitamente competitivos, onde o produtor reage ao preço de mercado igualando-o ao custo marginal.

Gráfico: Custo Marginal, Preço e Curva de Oferta

suppressPackageStartupMessages({
  library(ggplot2)
  library(dplyr)
  library(Deriv)
})

# Domínio da produção
q <- seq(0.5, 8, by = 0.1)

# Definição da função de custo marginal
CMg <- function(q) 3 * q^2 - 12 * q + 25

# Data frame geral
df <- tibble(
  q = q,
  CMg = CMg(q),
  deriv = 6 * q - 12  # derivada de CMg
) |>
  mutate(
    tipo = ifelse(deriv > 0, "Oferta", "Inviável"),
    RMg = 16 # mínimo do CVMe
  )

# Subconjunto da curva de oferta
df |>
  filter(tipo == "Oferta") ->
  df_oferta

# Gráfico
ggplot(df, aes(x = q)) +
  # Custo marginal total (tracejado)
  geom_line(aes(y = CMg), color = "gray70", linetype = "dotted", linewidth = 1.2) +
  # Ramo crescente (oferta)
  geom_line(data = df_oferta, aes(y = CMg), color = "#1f77b4", linewidth = 1.4) +
  # Receita marginal
  geom_hline(yintercept = 16, color = "#d62728", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  # Anotações
  annotate("text", x = 6.5, y = 17, label = "p = RMg = 16", color = "#d62728") +
  annotate("text", x = 6.5, y = 45, label = "Curva de Oferta", color = "#1f77b4") +
  annotate("text", x = 2.2, y = 35, label = "Curva de Custo Marginal", color = "gray40") +
  labs(
    title = "Curva de Oferta, Custo Marginal e Receita Marginal",
    x = "Quantidade (q)",
    y = "Preço / Custo"
  ) +
  coord_cartesian(ylim = c(0, 60)) +
  theme_minimal()

• Interpretação do gráfico
  • A curva tracejada cinza é o custo marginal completo;
  • A curva azul é o ramo crescente do custo marginal, que define a curva de oferta da firma;
  • A linha vermelha horizontal representa a receita marginal, que é igual ao preço de mercado;
  • A quantidade ofertada pela firma será aquela onde \(CMg (q) = p\), isto é, o ponto de interseção da linha vermelha com a curva azul.

Matemática simbólica no R

Caminho 1: função nativa D()

C <- function(q) q^3 - 6 * q^2 + 25 * q + 100

# Derivada primeira
dC <- expression(q^3 - 6 * q^2 + 25 * q + 100)

primeira_derivada <- D(dC, "q")
primeira_derivada
# 3 * q^2 - 6 * (2 * q) + 25

segunda_derivada <- D(primeira_derivada, "q")
segunda_derivada
# 3 * (2 * q) - 6 * 2

Caminho 2: pacote Deriv (derivação simbólica)

library(Deriv)

# 1. Definir a função custo total
C <- expression(q^3 - 6*q^2 + 25*q + 100)

# 2. Derivar simbolicamente: Custo marginal
CMg <- Deriv(C, "q")
CMg
# Resultado: expression(3 * q^2 - 12 * q + 25)

# 3. Derivar novamente: derivada do custo marginal
dCMg <- Deriv(CMg, "q")
dCMg
# Resultado: expression(6 * q - 12)

# 4. Resolver 6*q - 12 = 0 para encontrar ponto de mínimo usando uniroot
f_dCMg <- function(q) eval(dCMg, list(q = q))
min_q <- uniroot(f_dCMg, c(0, 10))$root  # encontra q tal que dCMg == 0
min_q

# 5. Avaliar o custo marginal nesse ponto
f_CMg <- function(q) eval(CMg, list(q = q))
f_CMg(min_q)  # resultado: 13