Monopólio, o básico ex

Autor
Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Data de Publicação

2026-03-21

Exemplo

  • Custo total:
    • \(C(Q) = 50 + Q^2\)
  • Demanda inversa:
    • \(P(Q) = 40 - Q\)
  • Receita total:
    • \(RT(Q) = P(Q)\cdot Q = 40Q - Q^2\)
  • Lucro:
    • \(\pi(Q) = RT(Q) - C(Q) = 40Q - 2Q^2 - 50\)

Ótimo de lucro pela condição \(RMg = CMg\):

  • \(RMg(Q) = \frac{dRT}{dQ} = 40 - 2Q\)

  • \(CMg(Q) = \frac{dC}{dQ} = 2Q\)

  • Logo:

    • \(RM_g = CM_g \Rightarrow 40 - 2Q = 2Q \Rightarrow 4Q = 40 \Rightarrow Q^* = 10\)
    • \(P(Q) = 40 - Q \Rightarrow P^* = 40 - 10 = 30\)

  • Valores no ótimo:

    • \(RT^* = 40\cdot10 - 10^2 = 300\)
    • \(C^* = 50 + 10^2 = 150\)
    • \(\pi^* = 150\).

Cálculo numérico e gráfico único de receita, custo e lucro

Código 
suppressPackageStartupMessages({
  library(ggplot2)
  library(dplyr)
  library(tidyr)
  library(tibble)
  library(glue)
})

C  <- function(Q) 50 + Q^2
P  <- function(Q) 40 - Q
RT <- function(Q) P(Q) * Q
PI <- function(Q) RT(Q) - C(Q)

Q_star <- 10
P_star <- P(Q_star)
RT_star <- RT(Q_star)
C_star  <- C(Q_star)
PI_star <- PI(Q_star)

tibble(
  variavel = c("Q*", "P*", "RT*", "C*", "pi*"),
  valor    = c(Q_star, P_star, RT_star, C_star, PI_star)
) |>
  gt::gt()
variavel valor
Q* 10
P* 30
RT* 300
C* 150
pi* 150
Código 
# Intervalo: de 0 até a interseção com P=0 (Q=40), com folga
Q_max <- 28

tibble(Q = seq(0, Q_max, by = 0.1)) |>
  mutate(
    Receita = RT(Q),
    Custo   = C(Q),
    Lucro   = PI(Q)
  ) |>
  pivot_longer(
    cols = c(Receita, Custo, Lucro),
    names_to = "curva",
    values_to = "valor") ->
  df

ggplot(df, aes(x = Q, y = valor, linetype = curva, color = curva)) +
  geom_line(linewidth = 1) +
  # marca o ótimo
  geom_vline(xintercept = Q_star, linetype = "dashed") +
  geom_point(
    data = tibble(Q = Q_star,
                  valor = c(RT_star, C_star, PI_star),
                  curva = c("Receita", "Custo", "Lucro")),
    aes(x = Q, y = valor, color = curva),  # <- herda as mesmas cores
    inherit.aes = FALSE
  ) +
  # anotações
  # annotate("text", x = Q_star,     y = -55,    label = glue("Q* = {Q_star}"), vjust = -2) +
  annotate("text", x = Q_star + 1, y = PI_star, label = as.character(glue("pi* = {PI_star}")), vjust = 3, hjust = 1) +
  annotate("text", x = Q_star + 1, y = RT_star, label = as.character(glue("RT* = {RT_star}")), vjust = -2, hjust = -1) +
  annotate("text", x = Q_star + 1, y = C_star,  label = as.character(glue("C* = {C_star}")), vjust = -2, hjust = -1) +
  # Cores pedidas
  scale_color_manual(values = c(
    "Custo"   = "#D32F2F",  # vermelho
    "Receita" = "#1565C0",  # azul
    "Lucro"   = "#2E7D32"   # verde
  )) +
  labs(x = "Quantidade (Q)", y = "Valor monetário",
       title = "Receita total, custo total e lucro: C(Q)=50+Q^2, P(Q)=40-Q",
       linetype = NULL, color = NULL) +
  coord_cartesian(xlim = c(0, Q_max), ylim = c(-60, max(df$valor)*1.05)) +
  theme_classic()

Valores marginais

  • Custo marginal (CMg):

\[ CMg(Q) = \frac{dC(Q)}{dQ} = 2Q \]

  • Custo médio (CMe):

\[ CMe(Q) = \frac{C(Q)}{Q} = \frac{50 + Q^2}{Q} \]

  • Receita média (RMe):

\[ RMe(Q) = \frac{RT(Q)}{Q} = \frac{40Q - Q^2}{Q} = 40 - Q \]

  • Receita marginal (RMg):

\[ RMg(Q) = \frac{dRT(Q)}{dQ} = 40 - 2Q \]

Valores no ótimo monopolista: \(Q^* = 10, \quad P^* = 30\).

Código 
# Funções
C  <- function(Q) 50 + Q^2
P  <- function(Q) 40 - Q
RT <- function(Q) P(Q) * Q

CMg <- function(Q) 2 * Q
CMe <- function(Q) (50 + Q^2) / Q
RMe <- function(Q) (40 * Q - Q^2) / Q
RMg <- function(Q) 40 - 2 * Q

Q_star <- 10

tibble(
  Medida = c("Custo Marginal (CMg)",
    "Custo Médio (CMe)",
    "Receita Média (RMe)",
    "Receita Marginal (RMg)"),
  Formula = c("2Q", "(50 + Q^2)/Q", "40 - Q", "40 - 2Q"),
  Valor_no_otimo = c(CMg(Q_star), CMe(Q_star), RMe(Q_star), RMg(Q_star))
) |>
  gt::gt()
Medida Formula Valor_no_otimo
Custo Marginal (CMg) 2Q 20
Custo Médio (CMe) (50 + Q^2)/Q 15
Receita Média (RMe) 40 - Q 30
Receita Marginal (RMg) 40 - 2Q 20

Eficiência de Pareto e Perda de Peso Morto

Comparação: Monopólio vs. Concorrência Perfeita

No nosso exemplo:

  • Monopólio: \(Q^* = 10\), \(P^* = 30\) (onde \(RMg = CMg\))
  • Concorrência Perfeita: \(Q_c = 13.33\), \(P_c = 26.67\) (onde \(P = CMg\))
Código 
# Quantidade e preço em concorrência perfeita: P = CMg
# 40 - Q = 2Q => 3Q = 40 => Q = 40/3
Q_concorrencia <- 40/3
P_concorrencia <- P(Q_concorrencia)

# Excedentes no monopólio
# Excedente do consumidor (EC): área sob demanda, acima do preço
# EC = integral de P(Q) de 0 a Q* - P* × Q*
# EC = [40Q - Q²/2] de 0 a 10 - 30×10
EC_monopolio <- (40*Q_star - Q_star^2/2) - P_star*Q_star

# Excedente do produtor (EP): lucro + custos fixos
EP_monopolio <- PI_star + 50  # lucro + CF

# Excedentes em concorrência perfeita
EC_concorrencia <- (40*Q_concorrencia - Q_concorrencia^2/2) - P_concorrencia*Q_concorrencia
PI_concorrencia <- RT(Q_concorrencia) - C(Q_concorrencia)
EP_concorrencia <- PI_concorrencia + 50

# Perda de peso morto (DWL)
DWL <- (EC_concorrencia + EP_concorrencia) - (EC_monopolio + EP_monopolio)

tibble(
  Estrutura = c("Monopólio", "Concorrência Perfeita", "Diferença (DWL)"),
  Quantidade = c(Q_star, Q_concorrencia, Q_concorrencia - Q_star),
  Preco = c(P_star, P_concorrencia, P_concorrencia - P_star),
  EC = c(EC_monopolio, EC_concorrencia, EC_concorrencia - EC_monopolio),
  EP = c(EP_monopolio, EP_concorrencia, EP_concorrencia - EP_monopolio),
  Excedente_Total = c(EC_monopolio + EP_monopolio, 
                      EC_concorrencia + EP_concorrencia,
                      DWL)
) |>
  gt::gt() |>
  gt::fmt_number(decimals = 2)
Estrutura Quantidade Preco EC EP Excedente_Total
Monopólio 10.00 30.00 50.00 200.00 250.00
Concorrência Perfeita 13.33 26.67 88.89 177.78 266.67
Diferença (DWL) 3.33 −3.33 38.89 −22.22 16.67

Interpretação Econômica

  1. Ineficiência do Monopólio: O monopolista restringe a produção (\(Q_m = 10 < Q_c = 13.33\)) para elevar o preço (\(P_m = 30 > P_c = 26.67\)).

  2. Perda de Peso Morto: A diferença entre o excedente total em concorrência perfeita e no monopólio representa o custo social do poder de mercado.

  3. Redistribuição: Parte do excedente do consumidor é transferida para o produtor (monopolista), mas outra parte é perdida irreversivelmente (DWL).

  4. Implicações de Política: A perda de peso morto justifica intervenções regulatórias, como:

    • Regulação de preços
    • Políticas antitruste
    • Quebra de monopólios naturais