Enunciado
A função de custo total anual da indústria é:
\[
C(q) = 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000
\]
Onde:
\(q\) : milhares de chips produzidos por ano,\(C(q)\) : custo total anual, em mil $.
Determine:
a) a função custo marginal e o ponto de mínimo do custo marginal;b) a função custo variável médio e o seu ponto de mínimo;c) o custo marginal e custo variável médio no ponto de mínimo deste último;d) a função de custo total médio e o mínimo desta função;e) o valor do custo marginal e o valor do custo total médio no ponto de mínimo deste último;g) um gráfico mostrando que a curva de custo marginal intercepta as curvas de custo variável médio e custo total médio em seus respectivos pontos de mínimo.
a) Função custo marginal e seu ponto de mínimo
Derivando o custo marginal:
O custo marginal \(CMg(q)\) é a derivada da função \(C(q)\) :
\[
CMg(q) = C'(q) = \frac{d}{dq} \left( 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000 \right)
= 0{,}99q^2 - 15q + 100
\]
Desejamos encontrar a função custo marginal , que é a derivada da função de custo total :
\[
CMg(q) = C'(q) = \frac{d}{dq} \left( 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000 \right)
\]
Regra da Potência
Usamos a regra:
\[
\frac{d}{dq}(a q^n) = a \cdot n \cdot q^{n-1}
\]
Derivando termo a termo
1. Termo: \(0{,}33q^3\)
\[
\frac{d}{dq}(0{,}33q^3) = 0{,}33 \cdot 3 \cdot q^2 = 0{,}99q^2
\]
2. Termo: \(-7{,}5q^2\)
\[
\frac{d}{dq}(-7{,}5q^2) = -7{,}5 \cdot 2 \cdot q = -15q
\]
3. Termo: \(100q\)
\[
\frac{d}{dq}(100q) = 100
\]
4. Termo: \(1000\) (constante)
\[
\frac{d}{dq}(1000) = 0
\]
Resultado Final
Somando os termos:
\[
CMg(q) = 0{,}99q^2 - 15q + 100
\]
Interpretação
A função \(CMg(q)\) representa o custo marginal , isto é, o acréscimo no custo total ao se produzir uma unidade adicional (mil chips). Como é uma função quadrática, ela pode ter um ponto de mínimo.
Encontrando o ponto de mínimo de \(CMg(q)\)
Derivamos novamente para localizar extremos:
\[
CMg'(q) = \frac{d}{dq} \left( 0{,}99q^2 - 15q + 100 \right) = 1{,}98q - 15
\]
Igualamos a zero:
\[
1{,}98q - 15 = 0 \Rightarrow q = \frac{15}{1{,}98} \approx 7{,}58
\]
Resultado: O custo marginal atinge o mínimo em:
\[
q \approx \boxed{7{,}58} \text{ mil chips}
\]
b) Função custo variável médio e seu ponto de mínimo
Custo variável:
Dada a função de custo total:
\[
C(q) = 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000
\]
Sabemos que:
O termo \(1000\) é o custo fixo , pois independe da produção.
Os demais termos representam o custo variável .
Subtraímos o custo fixo:
\[
CV(q) = C(q) - 1000 = 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q
\]
Definir o custo variável médio, por definição:
\[
CVMe(q) = \frac{CV(q)}{q}
= \frac{0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q}{q}
\]
Dividimos cada termo do numerador por \(q\) :
\(\frac{0{,}33q^3}{q} = 0{,}33q^2\) \(\frac{-7{,}5q^2}{q} = -7{,}5q\) \(\frac{100q}{q} = 100\)
Temos:
\[
CVMe(q) = 0{,}33q^2 - 7{,}5q + 100
\]
Derivando \(CVMe(q)\) :
A função do custo variável médio é:
\[
CVMe(q) = 0{,}33q^2 - 7{,}5q + 100
\]
Aplicamos a regra da potência termo a termo:
\(\frac{d}{dq}(0{,}33q^2) = 0{,}66q\) \(\frac{d}{dq}(-7{,}5q) = -7{,}5\) \(\frac{d}{dq}(100) = 0\)
Logo, a derivada é:
\[
CVMe'(q) = 0{,}66q - 7{,}5
\]
Encontrando o ponto crítico, igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo:
\[
0{,}66q - 7{,}5 = 0
\Rightarrow 0{,}66q = 7{,}5
\Rightarrow q = \frac{7{,}5}{0{,}66} \approx 11{,}36
\]
O custo variável médio atinge seu valor mínimo quando:
\[
q \approx 11{,}36 \text{ mil chips}
\]
Interpretação
Antes de \(q \approx 11{,}36\) , o custo variável médio está diminuindo; depois desse ponto, ele começa a aumentar. Isso indica que há economias de escala variáveis até esse ponto, seguidas por deseconomias de escala.
c) Custo marginal e custo variável médio nesse ponto
Substituímos \(q = 11{,}36\) nas expressões:
\(CMg(q) = 0{,}99q^2 - 15q + 100\) \(CVMe(q) = 0{,}33q^2 - 7{,}5q + 100\)
Cálculo:
\(CMg(11{,}36) \approx 0{,}99 \cdot (11{,}36)^2 - 15 \cdot 11{,}36 + 100 \approx \boxed{57{,}83}\) \(CVMe(11{,}36) \approx 0{,}33 \cdot (11{,}36)^2 - 7{,}5 \cdot 11{,}36 + 100 \approx \boxed{57{,}83}\)
Confirmação : O custo marginal é igual ao custo variável médio no ponto de mínimo de CVMe.
d) Função custo total médio e seu ponto de mínimo
\[
CTMe(q) = \frac{C(q)}{q}
\]
\[
CTMe(q) = \frac{0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000}{q}
\]
\[
CTMe(q) = 0{,}33q^2 - 7{,}5q + 100 + \frac{1000}{q}
\]
Derivando:
Aplicamos as regras básicas de derivação:
Regra da potência: \(\frac{d}{dq}(aq^n) = anq^{n-1}\)
Regra da derivada de fração: \(\frac{d}{dq} \left( \frac{1}{q} \right) = -\frac{1}{q^2}\)
Derivando cada termo:
\(\frac{d}{dq}(0{,}33q^2) = 0{,}66q\) \(\frac{d}{dq}(-7{,}5q) = -7{,}5\) \(\frac{d}{dq}(100) = 0\) \(\frac{d}{dq} \left( \frac{1000}{q} \right) = -\frac{1000}{q^2}\)
Somando os termos, temos:
\[
CTMe'(q) = 0{,}66q - 7{,}5 - \frac{1000}{q^2}
\]
Igualamos a zero:
\[
0{,}66q - 7{,}5 - \frac{1000}{q^2} = 0
\]
O ponto de mínimo obtêm-se investigando os pontos críticos de \(0{,}66q - 7{,}5 - \frac{1000}{q^2} = 0\) , a saber \(\boxed{q \approx 16{,}76}\) .
Esta equação representa a derivada da função de custo total médio. O valor de \(q\) que satisfaz essa equação é o ponto onde o custo total médio atinge seu valor mínimo.
Passo 1: Isolar o termo fracionário
\[ 0{,}66q - 7{,}5 = \frac{1000}{q^2} \]
Passo 2: Eliminar o denominador
Multiplicamos ambos os lados por \(q^2\) :
\[ q^2 \cdot (0{,}66q - 7{,}5) = 1000 \]
Passo 3: Expandir e reorganizar
\[ 0{,}66q^3 - 7{,}5q^2 = 1000 \] \[ 0{,}66q^3 - 7{,}5q^2 - 1000 = 0 \]
Passo 4: Simplificar (opcional)
Multiplicamos por 100 para eliminar decimais:
\[ 66q^3 - 750q^2 - 100000 = 0 \]
Simplificamos dividindo por 2:
\[ 33q^3 - 375q^2 - 50000 = 0 \]
Passo 5: Resolver a equação cúbica
Como não há fatoração óbvia, usamos métodos numéricos.
Tentativas de raízes racionais:
Testando \(q = 10\) :\[ 33(1000) - 375(100) - 50000 = -54500 \neq 0 \]
Testando \(q = 15\) : \[ 33(3375) - 375(225) - 50000 = -23000 \neq 0 \]
Testando \(q = 20\) : \[ 33(8000) - 375(400) - 50000 = 64000 \neq 0 \]
Aproximação numérica (Newton-Raphson ou calculadora):
Solução aproximada:
\[ q \approx 16{,}76 \]
Conclusão
O ponto de mínimo da função de custo total médio ocorre em:
\[
\boxed{q \approx 16{,}76}
\]
Nesse ponto, o custo total médio atinge seu valor mínimo.
e) Custo marginal e custo total médio nesse ponto
Função de custo total
A função de custo total é:
\[
C(q) = 0{,}33q^3 - 7{,}5q^2 + 100q + 1000
\]
O ponto de mínimo da função de custo total médio foi determinado pela equação derivada:
\[
CTMe'(q) = 0{,}66q - 7{,}5 - \frac{1000}{q^2} = 0
\]
Resolvendo numericamente, obtemos:
\[
q \approx 16{,}76
\]
Cálculo do custo marginal
A função do custo marginal é a derivada da função de custo total:
\[
CMg(q) = \frac{d}{dq} C(q) = 0{,}99q^2 - 15q + 100
\]
Substituindo \(q = 16{,}76\) :
\[
CMg(16{,}76) = 0{,}99 \cdot (16{,}76)^2 - 15 \cdot 16{,}76 + 100 \approx 126{,}66
\]
Cálculo do custo total médio
A função do custo total médio é:
\[
CTMe(q) = \frac{C(q)}{q} = 0{,}33q^2 - 7{,}5q + 100 + \frac{1000}{q}
\]
Substituindo \(q = 16{,}76\) :
\[
CTMe(16{,}76) \approx 0{,}33 \cdot (16{,}76)^2 - 7{,}5 \cdot 16{,}76 + 100 + \frac{1000}{16{,}76}
\approx 126{,}66
\]
Conclusão
No ponto de mínimo da função \(CTMe(q)\) , temos:
Quantidade ótima: \[
q \approx \boxed{16{,}76}
\]
Custo marginal: \[
CMg(q) \approx \boxed{126{,}66}
\]
Custo total médio: \[
CTMe(q) \approx \boxed{126{,}66}
\]
Portanto, confirmamos a igualdade:
\[
\boxed{CMg(q) = CTMe(q)} \quad \text{no ponto de mínimo da função de custo total médio}
\]
g) Gráfico: Interseções entre CMg, CVMe e CTMe
Código
library (ggplot2)library (dplyr)library (gt)# Funções <- function (q) 0.99 * q^ 2 - 15 * q + 100 <- function (q) 0.33 * q^ 2 - 7.5 * q + 100 <- function (q) 0.33 * q^ 2 - 7.5 * q + 100 + 1000 / q# Dados <- seq (1 , 40 , length.out = 300 )<- tibble (q = q,` Custo Marginal ` = CMg (q),` Custo Variável Médio ` = CVMe (q),` Custo Total Médio ` = CTMe (q)|> :: pivot_longer (- q, names_to = "Tipo" , values_to = "Custo" )# Gráfico ggplot (df, aes (x = q, y = Custo, color = Tipo, linetype = Tipo)) + geom_line (size = 1.2 ) + labs (title = "Curvas de Custo Marginal e Custos Médios" ,x = "Quantidade produzida (milhares)" ,y = "Custo (mil $)" + theme_minimal (base_size = 14 ) + scale_color_manual (values = c ("Custo Marginal" = "blue" ,"Custo Variável Médio" = "darkgreen" ,"Custo Total Médio" = "red"
Código
tibble (quantidade = 1 : 40 ,` Custo Marginal ` = CMg (quantidade),` Custo Variável Médio ` = CVMe (quantidade),` Custo Total Médio ` = CTMe (quantidade)|> gt ()
1
85.99
92.83
1092.8300
2
73.96
86.32
586.3200
3
63.91
80.47
413.8033
4
55.84
75.28
325.2800
5
49.75
70.75
270.7500
6
45.64
66.88
233.5467
7
43.51
63.67
206.5271
8
43.36
61.12
186.1200
9
45.19
59.23
170.3411
10
49.00
58.00
158.0000
11
54.79
57.43
148.3391
12
62.56
57.52
140.8533
13
72.31
58.27
135.1931
14
84.04
59.68
131.1086
15
97.75
61.75
128.4167
16
113.44
64.48
126.9800
17
131.11
67.87
126.6935
18
150.76
71.92
127.4756
19
172.39
76.63
129.2616
20
196.00
82.00
132.0000
21
221.59
88.03
135.6490
22
249.16
94.72
140.1745
23
278.71
102.07
145.5483
24
310.24
110.08
151.7467
25
343.75
118.75
158.7500
26
379.24
128.08
166.5415
27
416.71
138.07
175.1070
28
456.16
148.72
184.4343
29
497.59
160.03
194.5128
30
541.00
172.00
205.3333
31
586.39
184.63
216.8881
32
633.76
197.92
229.1700
33
683.11
211.87
242.1730
34
734.44
226.48
255.8918
35
787.75
241.75
270.3214
36
843.04
257.68
285.4578
37
900.31
274.27
301.2970
38
959.56
291.52
317.8358
39
1020.79
309.43
335.0710
40
1084.00
328.00
353.0000
