Maximização de Lucro ex1

Autor
Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Data de Publicação

2026-03-21

Problema econômico

Uma firma tomadora de preços conhece o comportamento de seus custos, descritos pela função:

\[ C(q) = \frac{1}{3}q^3 - 4{,}5q^2 + 23q + 30 \]

O preço de mercado do produto é constante:

\[ p = 15 \]

Queremos responder:

  1. Qual a quantidade ótima \(q^*\) que a firma deve produzir para maximizar o lucro?

  2. Qual o lucro máximo \(\Pi^*\) que pode ser obtido?

Passo 1: Função Lucro

A função lucro \(\Pi(q)\) é definida como a diferença entre a receita total e o custo total:

\[ \Pi(q) = R(q) - C(q) \]

Como o preço é fixo (firma tomadora de preços), a receita total é:

\[ R(q) = p \cdot q = 15q \]

Substituindo na função de lucro:

\[ \Pi(q) = 15q - \left( \frac{1}{3}q^3 - 4{,}5q^2 + 23q + 30 \right) \]

Removendo os parênteses:

\[ \Pi(q) = 15q - \frac{1}{3}q^3 + 4{,}5q^2 - 23q - 30 \]

Agrupando os termos:

\[ \Pi(q) = -\frac{1}{3}q^3 + 4{,}5q^2 - 8q - 30 \]

Passo 2: Derivada da Função Lucro

Para encontrar o valor ótimo \(q^*\), derivamos \(\Pi(q)\) e igualamos a zero:

\[ \frac{d\Pi}{dq} = -q^2 + 9q - 8 \]

Condição de primeira ordem (derivada igual a zero):

\[ -q^2 + 9q - 8 = 0 \]

Multiplicando ambos os lados por \(-1\):

\[ q^2 - 9q + 8 = 0 \]

Resolvendo essa equação quadrática:

\[ q = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} \]

\[ q = \frac{9 \pm 7}{2} \Rightarrow \begin{cases} q_1 = \frac{9 - 7}{2} = 1 \\ q_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8 \end{cases} \]

Temos dois candidatos para a quantidade ótima: \(q = 1\) e \(q = 8\).

Passo 3: Verificação da Segunda Ordem

A derivada segunda da função lucro é:

\[ \frac{d^2\Pi}{dq^2} = -2q + 9 \]

Avaliamos em \(q = 1\):

\[ \frac{d^2\Pi}{dq^2}\bigg|_{q=1} = -2(1) + 9 = 7 > 0 \Rightarrow \text{mínimo local} \]

Avaliamos em \(q = 8\):

\[ \frac{d^2\Pi}{dq^2}\bigg|_{q=8} = -2(8) + 9 = -7 < 0 \Rightarrow \text{máximo local} \]

Portanto, a quantidade que maximiza o lucro é:

\[ q^* = 8 \]

Passo 4: Cálculo do Lucro Máximo

Substituímos \(q = 8\) na função lucro:

\[ \Pi(8) = -\frac{1}{3}(8)^3 + 4{,}5(8)^2 - 8(8) - 30 \]

Calculando:

\[ \Pi(8) = -\frac{1}{3}(512) + 4{,}5(64) - 64 - 30 \]

\[ \Pi(8) = -170{,}67 + 288 - 64 - 30 = 23{,}33 \]

Respostas

a) A quantidade ótima é:

\[ q^* = 8 \]

b) O lucro máximo é:

\[ \Pi^* = 23{,}33 \text{ unidades monetárias} \]

Gráficos

Código 
# Carregar pacotes
library(ggplot2)
library(tibble)

# Gerar sequência de valores de q
q <- seq(0, 12, by = 0.1)

# Definir funções
lucro <- function(q) -(1 / 3) * q^3 + 4.5 * q^2 - 8 * q - 30
lucro_prime <- function(q) -q^2 + 9 * q - 8

# Calcular valores
df <- tibble(
  q = q,
  Pi = lucro(q),
  dPi = lucro_prime(q)
)

# Gráfico da função lucro
ggplot(df, aes(x = q, y = Pi)) +
  geom_line(color = "#1f77b4", linewidth = 1.2) +
  geom_vline(xintercept = 8, linetype = "dashed", color = "gray") +
  geom_hline(yintercept = 0, color = "black", linewidth = 0.4) +
  labs(
    title = "Função Lucro",
    x = "Quantidade produzida (q)",
    y = "Lucro"
  ) +
  theme_minimal()

Código 
# Gráfico da derivada da função lucro
ggplot(df, aes(x = q, y = dPi)) +
  geom_line(color = "#ff7f0e", linewidth = 1.2) +
  geom_vline(xintercept = 8, linetype = "dashed", color = "gray") +
  geom_hline(yintercept = 0, color = "black", linewidth = 0.4) +
  labs(
    title = "Derivada da Função Lucro",
    x = "Quantidade produzida (q)",
    y = expression(frac(d * Pi, dq))
  ) +
  theme_minimal()

Código 
# Função receita
# receita = preço x quantidade

preco <- 10
tibble(q = 1:12, R = q * preco) |>
  ggplot(aes(x = q, y = R)) +
  geom_line(color = "darkgreen", linewidth = 1.2) +
  labs(
    title = "Função Receita",
    x = "Quantidade produzida (q)",
    y = "Receita"
  ) +
  theme_minimal()

Contexto Econômico

A firma opera em concorrência perfeita: ela é tomadora de preços, ou seja, aceita o preço de mercado como dado e não influencia seu valor. Neste caso, o preço de venda do bem é:

\[ p = 15 \]

A função de custo total da firma é:

\[ C(q) = \frac{1}{3}q^3 - 4{,}5q^2 + 23q + 30 \]

  • Essa função contém:
    • Um termo cúbico positivo, indicando que os custos marginais crescem rapidamente após certo ponto;
    • Um termo quadrático negativo, sugerindo possíveis ganhos de escala iniciais;
    • Um termo linear e um custo fixo de \(30\).

Objetivo da Firma

A firma busca maximizar o lucro, dado por:

\[ \Pi(q) = R(q) - C(q) \]

Como a receita total é linear, temos:

\[ R(q) = p \cdot q = 15q \]

Logo, a função lucro é:

\[ \Pi(q) = 15q - \left( \frac{1}{3}q^3 - 4{,}5q^2 + 23q + 30 \right) = -\frac{1}{3}q^3 + 4{,}5q^2 - 8q - 30 \]

Condição de Otimalidade

Primeira Ordem (FOC)

Para maximizar o lucro, a firma iguala receita marginal ao custo marginal:

\[ \frac{d\Pi}{dq} = -q^2 + 9q - 8 = 0 \]

Resolvendo a equação:

\[ q = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2} \Rightarrow \begin{cases} q_1 = 1 \quad \text{(mínimo local)} \\ q_2 = 8 \quad \text{(máximo local)} \end{cases} \]

Verificação da Segunda Ordem

A segunda derivada é:

\[ \frac{d^2\Pi}{dq^2} = -2q + 9 \]

Avaliando:

  • Em \(q = 1\): \(-2(1) + 9 = 7 > 0\) → mínimo local.
  • Em \(q = 8\): \(-2(8) + 9 = -7 < 0\) → máximo local.

Interpretação Econômica

A firma obtém lucro crescente enquanto o custo marginal é inferior ao preço (receita marginal). À medida que \(q\) aumenta, o custo marginal se aproxima e ultrapassa o preço, e o lucro começa a cair.

A quantidade ótima \(q^* = 8\) é o ponto onde:

\[ CMg(q) = RMg(q) = 15 \]

Ou seja, a receita gerada por uma unidade adicional iguala o custo de produzi-la.

Esse ponto é o equilíbrio de produção de uma firma competitiva no curto prazo.

Lucro Máximo

Substituindo \(q = 8\) na função lucro:

\[ \Pi(8) = -\frac{1}{3}(8)^3 + 4{,}5(8)^2 - 8(8) - 30 = 23{,}33 \]

Portanto, o lucro máximo é de:

\[ \Pi^* = 23{,}33 \text{ unidades monetárias} \]

Conclusão

  • A firma maximizadora de lucro:
    • Produz até onde o custo marginal iguala o preço;
    • Respeita as condições de primeira e segunda ordem da maximização;
    • Enfrenta limites impostos pelos custos crescentes de produção, mesmo com preço constante.

Este exemplo ilustra como restrições tecnológicas (custos) e condições de mercado (preço fixo) determinam a produção ótima de uma firma competitiva.