Troca, Equilíbrio e Edgeworth `ex`

Autor

Afiliação

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

Data de Publicação

2026-03-21

Baidya, Aiube e Mendes (2014) Capítulo 9 Exemplo 9.3

Suponha que um consumidor A possua 18 maçãs e 1 pera e que sua função utilidade em relação aos dois produtos seja \(U_A = q_m q_p + q_m\), onde os subíndices indicam os produtos maçãs e peras, respectivamente. Suponha que outro consumidor, B, possua 20 peras e 1 maçã. A função utilidade de B é \(U_B = q_m q_p + q_p\). Considere que cada u mdos consumidores irá possuir pelo menos uma unidade de cada produto em qualquer negociação que realizem.

1. Introdução ao Tópico

Este exercício analisa um problema de troca entre dois consumidores (A e B) com diferentes dotações iniciais e preferências. O objetivo é encontrar uma alocação eficiente de Pareto através da troca voluntária, utilizando a caixa de Edgeworth como ferramenta de análise.

Objetivos de aprendizagem:

Compreender o conceito de eficiência de Pareto em economia de troca
Aplicar a análise da caixa de Edgeworth para encontrar alocações ótimas
Calcular taxas marginais de substituição e condições de equilíbrio
Implementar simulações computacionais para visualizar o processo de troca

2. Desenvolvimento Teórico

Conceitos Fundamentais

Eficiência de Pareto ocorre quando não é possível melhorar a situação de um indivíduo sem piorar a de outro. Em uma economia de troca pura, as alocações eficientes de Pareto satisfazem:

\[TMS_A = TMS_B\]

Onde \(TMS\) é a taxa marginal de substituição.

Caixa de Edgeworth é uma representação gráfica que mostra todas as alocações possíveis de dois bens entre dois consumidores, dadas as dotações totais da economia.

Funções de Utilidade e Dotações

Consumidor A:

Dotação inicial: \((q_m^A, q_p^A) = (18, 1)\)
Função de utilidade: \(U_A = q_m q_p + q_m\)

Consumidor B:

Dotação inicial: \((q_m^B, q_p^B) = (1, 20)\)
Função de utilidade: \(U_B = q_m q_p + q_p\)

Restrição: Cada consumidor deve possuir pelo menos uma unidade de cada produto após a troca.

3. Formalização Matemática

Passo 1: Calcular Dotações Totais

Total de maçãs: \(Q_m = 18 + 1 = 19\)

Total de peras: \(Q_p = 1 + 20 = 21\)

Passo 2: Calcular Taxas Marginais de Substituição

Para o Consumidor A:

\(U_A = q_m q_p + q_m\)

Cálculo detalhado das derivadas parciais:

Utilidade marginal de maçãs (\(UMg_{q_m}^A\)): \[\frac{\partial U_A}{\partial q_m} = \frac{\partial}{\partial q_m}(q_m q_p + q_m)\]

Regra da Soma: A derivada da soma é a soma das derivadas.

Exemplo geral: Se \(f(x) = g(x) + h(x)\), então \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\)

Aplicando ao nosso caso: \[\frac{\partial U_A}{\partial q_m} = \frac{\partial}{\partial q_m}(q_m q_p) + \frac{\partial}{\partial q_m}(q_m)\]

Regra do Produto Constante: Se \(c\) é constante, então \(\frac{\partial}{\partial x}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x)\)

Exemplo geral: Se \(f(x) = 5x^2\), então \(f'(x) = 5 \cdot 2x = 10x\)

Para o primeiro termo, tratamos \(q_p\) como constante: \[\frac{\partial}{\partial q_m}(q_m q_p) = q_p \cdot \frac{\partial}{\partial q_m}(q_m) = q_p \cdot 1 = q_p\]

Regra da Potência: Se \(f(x) = x^n\), então \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)

Exemplo geral: Se \(f(x) = x^3\), então \(f'(x) = 3x^2\); Se \(f(x) = x\), então \(f'(x) = 1 \cdot x^{0} = 1\)

Para o segundo termo: \[\frac{\partial}{\partial q_m}(q_m) = 1\]

Portanto: \[UMg_{q_m}^A = q_p + 1\]
Utilidade marginal de peras (\(UMg_{q_p}^A\)): \[\frac{\partial U_A}{\partial q_p} = \frac{\partial}{\partial q_p}(q_m q_p + q_m)\]

Aplicando a regra da soma: \[\frac{\partial U_A}{\partial q_p} = \frac{\partial}{\partial q_p}(q_m q_p) + \frac{\partial}{\partial q_p}(q_m)\]

Para o primeiro termo, tratamos \(q_m\) como constante e aplicamos a regra do produto constante: \[\frac{\partial}{\partial q_p}(q_m q_p) = q_m \cdot \frac{\partial}{\partial q_p}(q_p) = q_m \cdot 1 = q_m\]

Regra da Constante: A derivada de uma constante é zero.

Exemplo geral: Se \(f(x) = 7\), então \(f'(x) = 0\)

Para o segundo termo, \(q_m\) é constante em relação a \(q_p\): \[\frac{\partial}{\partial q_p}(q_m) = 0\]

Portanto: \[UMg_{q_p}^A = q_m + 0 = q_m\]
Taxa marginal de substituição do consumidor A: \[TMS_A = \frac{UMg_{q_m}^A}{UMg_{q_p}^A} = \frac{q_p + 1}{q_m}\]

Para o Consumidor B:

\(U_B = q_m q_p + q_p\)

Cálculo detalhado das derivadas parciais:

Utilidade marginal de maçãs (\(UMg_{q_m}^B\)): \[\frac{\partial U_B}{\partial q_m} = \frac{\partial}{\partial q_m}(q_m q_p + q_p)\]

Aplicando a regra da soma: \[\frac{\partial U_B}{\partial q_m} = \frac{\partial}{\partial q_m}(q_m q_p) + \frac{\partial}{\partial q_m}(q_p)\]

Para o primeiro termo, tratamos \(q_p\) como constante e aplicamos a regra do produto constante: \[\frac{\partial}{\partial q_m}(q_m q_p) = q_p \cdot \frac{\partial}{\partial q_m}(q_m) = q_p \cdot 1 = q_p\]

Para o segundo termo, aplicamos a regra da constante (pois \(q_p\) não depende de \(q_m\)): \[\frac{\partial}{\partial q_m}(q_p) = 0\]

Portanto: \[UMg_{q_m}^B = q_p + 0 = q_p\]
Utilidade marginal de peras (\(UMg_{q_p}^B\)): \[\frac{\partial U_B}{\partial q_p} = \frac{\partial}{\partial q_p}(q_m q_p + q_p)\]

Aplicando a regra da soma: \[\frac{\partial U_B}{\partial q_p} = \frac{\partial}{\partial q_p}(q_m q_p) + \frac{\partial}{\partial q_p}(q_p)\]

Para o primeiro termo, tratamos \(q_m\) como constante e aplicamos a regra do produto constante: \[\frac{\partial}{\partial q_p}(q_m q_p) = q_m \cdot \frac{\partial}{\partial q_p}(q_p) = q_m \cdot 1 = q_m\]

Para o segundo termo, aplicamos a regra da potência com \(n=1\): \[\frac{\partial}{\partial q_p}(q_p) = 1 \cdot q_p^{0} = 1\]

Exemplo geral: Se \(f(x) = x\), então \(f'(x) = 1\); Se \(f(x) = 3x\), então \(f'(x) = 3\)

Portanto: \[UMg_{q_p}^B = q_m + 1\]
Taxa marginal de substituição do consumidor B: \[TMS_B = \frac{UMg_{q_m}^B}{UMg_{q_p}^B} = \frac{q_p}{q_m + 1}\]

Interpretação econômica:

A TMS representa a taxa na qual um consumidor está disposto a substituir um bem por outro, mantendo o mesmo nível de utilidade
Para o consumidor A, \(TMS_A = \frac{q_p + 1}{q_m}\): ele valoriza mais as maçãs quando tem poucas peras
Para o consumidor B, \(TMS_B = \frac{q_p}{q_m + 1}\): ele valoriza mais as peras quando tem poucas maçãs

Passo 3: Condição de Eficiência de Pareto

Para eficiência de Pareto: \(TMS_A = TMS_B\)

\[\frac{q_p^A + 1}{q_m^A} = \frac{q_p^B}{q_m^B + 1}\]

Usando as restrições de factibilidade:

\(q_m^A + q_m^B = 19\)
\(q_p^A + q_p^B = 21\)

Substituindo \(q_m^B = 19 - q_m^A\) e \(q_p^B = 21 - q_p^A\):

\[\frac{q_p^A + 1}{q_m^A} = \frac{21 - q_p^A}{19 - q_m^A + 1}\]

\[\frac{q_p^A + 1}{q_m^A} = \frac{21 - q_p^A}{20 - q_m^A}\]

Passo 4: Resolver a Equação

\[(q_p^A + 1)(20 - q_m^A) = q_m^A(21 - q_p^A)\]

\[20q_p^A + 20 - q_m^A q_p^A - q_m^A = 21q_m^A - q_m^A q_p^A\]

\[20q_p^A + 20 - q_m^A = 21q_m^A\]

\[20q_p^A + 20 = 22q_m^A\]

\[q_m^A = \frac{20q_p^A + 20}{22} = \frac{10q_p^A + 10}{11}\]

Passo 5: Encontrar Contrato de Troca

A curva de contrato é dada por: \(q_m^A = \frac{10q_p^A + 10}{11}\)

Com as restrições:

\(1 \leq q_m^A \leq 18\) (pelo menos 1 maçã para A)
\(1 \leq q_p^A \leq 20\) (pelo menos 1 pera para A)

Vamos encontrar um ponto específico na curva de contrato. Para simplificar, vamos encontrar onde \(q_m^A = q_p^A\):

\[q_m^A = \frac{10q_m^A + 10}{11}\]

\[11q_m^A = 10q_m^A + 10\]

\[q_m^A = 10\]

Portanto, \(q_p^A = 10\)

Isso nos dá:

Consumidor A: \((q_m^A, q_p^A) = (10, 10)\)
Consumidor B: \((q_m^B, q_p^B) = (9, 11)\)

Passo 6: Verificar as Restrições

A: \(10 \geq 1\) maçã, \(10 \geq 1\) pera ✓
B: \(9 \geq 1\) maçã, \(11 \geq 1\) pera ✓

Passo 7: Calcular Utilidades

Utilidade inicial:

\(U_A^{inicial} = 18 \times 1 + 18 = 36\)
\(U_B^{inicial} = 1 \times 20 + 20 = 40\)

Utilidade final:

\(U_A^{final} = 10 \times 10 + 10 = 110\)
\(U_B^{final} = 9 \times 11 + 11 = 110\)

Ambos os consumidores melhoraram sua situação!

4. Exemplos Numéricos

Exemplo 1: Verificação da TMS na alocação eficiente

Para a alocação \((10, 10)\) para A e \((9, 11)\) para B:

\(TMS_A = \frac{10 + 1}{10} = 1.1\)
\(TMS_B = \frac{11}{9 + 1} = 1.1\)

Como \(TMS_A = TMS_B\), a alocação é eficiente de Pareto.

Exemplo 2: Outro ponto na curva de contrato

Se \(q_p^A = 5\):

\(q_m^A = \frac{10 \times 5 + 10}{11} = \frac{60}{11} \approx 5.45\)
\(q_m^B = 19 - 5.45 = 13.55\)
\(q_p^B = 21 - 5 = 16\)

Verificando TMS:

\(TMS_A = \frac{5 + 1}{5.45} \approx 1.10\)
\(TMS_B = \frac{16}{13.55 + 1} \approx 1.10\)

5. Implementação em R

Código

# Carregar bibliotecas necessárias
suppressPackageStartupMessages({
  library(ggplot2)
  library(dplyr)
  library(tidyr)
  library(scales)
  library(plotly)
})

# 1. Definir parâmetros iniciais
dotal_A <- c(macas = 18, peras = 1)
dotal_B <- c(macas = 1, peras = 20)
total <- dotal_A + dotal_B

# 2. Definir funções de utilidade
utilidade_A <- function(q_m, q_p) {
  q_m * q_p + q_m
}

utilidade_B <- function(q_m, q_p) {
  q_m * q_p + q_p
}

# 3. Calcular utilidades iniciais
U_A_inicial <- utilidade_A(dotal_A[1], dotal_A[2])
U_B_inicial <- utilidade_B(dotal_B[1], dotal_B[2])

# 4. Funções para taxas marginais de substituição
TMS_A <- function(q_m, q_p) {
  (q_p + 1) / q_m
}

TMS_B <- function(q_m, q_p) {
  q_p / (q_m + 1)
}

# 5. Encontrar pontos na curva de contrato
curva_contrato <- function(q_p_A) {
  q_m_A <- (10 * q_p_A + 10) / 11
  q_m_B <- total[1] - q_m_A
  q_p_B <- total[2] - q_p_A
  
  # Verificar restrições
  if (q_m_A >= 1 && q_m_B >= 1 && q_p_A >= 1 && q_p_B >= 1) {
    return(data.frame(
      q_m_A = q_m_A, q_p_A = q_p_A,
      q_m_B = q_m_B, q_p_B = q_p_B,
      U_A = utilidade_A(q_m_A, q_p_A),
      U_B = utilidade_B(q_m_B, q_p_B),
      TMS_A = TMS_A(q_m_A, q_p_A),
      TMS_B = TMS_B(q_m_B, q_p_B)
    ))
  }
  return(NULL)
}

# 6. Gerar curva de contrato
q_p_A_seq <- seq(1, 20, by = 0.1)
curva_completa <- purrr::map_dfr(q_p_A_seq, curva_contrato)

# 7. Encontrar solução simétrica (onde U_A = U_B)
if (!is.null(curva_completa)) {
  diferenca <- abs(curva_completa$U_A - curva_completa$U_B)
  indice_otimo <- which.min(diferenca)
  solucao_otima <- curva_completa[indice_otimo, ]
  
  cat("Solução ótima (U_A ≈ U_B):\n")
  cat("Consumidor A:", round(solucao_otima$q_m_A, 2), "maçãs,", round(solucao_otima$q_p_A, 2), "peras\n")
  cat("Consumidor B:", round(solucao_otima$q_m_B, 2), "maçãs,", round(solucao_otima$q_p_B, 2), "peras\n")
  cat("U_A =", round(solucao_otima$U_A, 2), "\n")
  cat("U_B =", round(solucao_otima$U_B, 2), "\n")
  cat("TMS_A =", round(solucao_otima$TMS_A, 4), "\n")
  cat("TMS_B =", round(solucao_otima$TMS_B, 4), "\n\n")
}

Solução ótima (U_A ≈ U_B):
Consumidor A: 10 maçãs, 10 peras
Consumidor B: 9 maçãs, 11 peras
U_A = 110 
U_B = 110 
TMS_A = 1.1 
TMS_B = 1.1

Código

# 8. Visualização da Caixa de Edgeworth
if (!is.null(curva_completa)) {
  # Criar gráfico da caixa de Edgeworth
  grafico_edgeworth <- ggplot2::ggplot() +
    # Curva de contrato
    ggplot2::geom_line(
      data = curva_completa,
      ggplot2::aes(x = q_m_A, y = q_p_A),
      color = "red", linewidth = 1.5, linetype = "dashed"
    ) +
    # Dotação inicial
    ggplot2::geom_point(
      data = data.frame(x = dotal_A[1], y = dotal_A[2]),
      ggplot2::aes(x = x, y = y),
      color = "blue", size = 5, shape = 16
    ) +
    # Solução ótima
    ggplot2::geom_point(
      data = solucao_otima,
      ggplot2::aes(x = q_m_A, y = q_p_A),
      color = "darkgreen", size = 6, shape = 17
    ) +
    # Limites da caixa - Eixos do Consumidor A (origem)
    ggplot2::geom_vline(xintercept = 0, linewidth = 1.5, color = "black") +
    ggplot2::geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 1.5, color = "black") +
    # Limites da caixa - Eixos do Consumidor B (invertido)
    ggplot2::geom_vline(xintercept = total[1], linewidth = 1.5, color = "gray50", linetype = "dashed") +
    ggplot2::geom_hline(yintercept = total[2], linewidth = 1.5, color = "gray50", linetype = "dashed") +
    # Anotações - Dotação inicial
    ggplot2::annotate(
      "text", x = dotal_A[1] + 1, y = dotal_A[2] + 1,
      label = "Dotação Inicial\nA(18,1), B(1,20)",
      color = "blue", fontface = "bold", size = 3
    ) +
    # Anotações - Solução ótima
    ggplot2::annotate(
      "text", x = solucao_otima$q_m_A + 1, y = solucao_otima$q_p_A - 1,
      label = paste("Solução Ótima\nA(", round(solucao_otima$q_m_A, 1), ",", 
                   round(solucao_otima$q_p_A, 1), ")"),
      color = "darkgreen", fontface = "bold", size = 3
    ) +
    # Anotações - Consumidor A (origem)
    ggplot2::annotate(
      "text", x = 0.5, y = 0.5,
      label = "Origem A\n(0,0)",
      color = "black", fontface = "bold", size = 3, hjust = 0
    ) +
    ggplot2::annotate(
      "text", x = total[1]/2, y = -0.8,
      label = "Eixo X: Maçãs do Consumidor A →",
      color = "black", fontface = "italic", size = 3.5, hjust = 0.5
    ) +
    ggplot2::annotate(
      "text", x = -0.8, y = total[2]/2,
      label = "Eixo Y: Peras do Consumidor A ↑",
      color = "black", fontface = "italic", size = 3.5, hjust = 0.5, angle = 90
    ) +
    # Anotações - Consumidor B (canto superior direito)
    ggplot2::annotate(
      "text", x = total[1] - 0.5, y = total[2] - 0.5,
      label = "Origem B\n(0,0)",
      color = "gray50", fontface = "bold", size = 3, hjust = 1
    ) +
    ggplot2::annotate(
      "text", x = total[1]/2, y = total[2] + 0.8,
      label = "← Eixo X: Maçãs do Consumidor B",
      color = "gray50", fontface = "italic", size = 3.5, hjust = 0.5
    ) +
    ggplot2::annotate(
      "text", x = total[1] + 0.8, y = total[2]/2,
      label = "Eixo Y: Peras do Consumidor B ↓",
      color = "gray50", fontface = "italic", size = 3.5, hjust = 0.5, angle = 90
    ) +
    # Anotações explicativas
    ggplot2::annotate(
      "text", x = total[1]/2, y = total[2] + 2.0,
      label = "Caixa de Edgeworth: Consumidor A medido a partir da origem (0,0) | Consumidor B medido a partir do canto superior direito",
      color = "darkblue", fontface = "bold", size = 4, hjust = 0.5
    ) +
    ggplot2::annotate(
      "text", x = total[1]/2, y = total[2] + 2.8,
      label = "Linhas sólidas: Eixos do Consumidor A | Linhas tracejadas: Eixos do Consumidor B",
      color = "darkred", fontface = "italic", size = 3.5, hjust = 0.5
    ) +
    ggplot2::labs(
      title = "Caixa de Edgeworth - Troca entre Consumidores A e B",
      subtitle = "Curva de Contrato e Alocação Eficiente de Pareto\nConsumidor A: origem (0,0) | Consumidor B: origem invertida (19,21)",
      x = "Maçãs do Consumidor A (←) / Maçãs do Consumidor B (→)",
      y = "Peras do Consumidor A (↑) / Peras do Consumidor B (↓)"
    ) +
    ggplot2::scale_x_continuous(
      limits = c(-2, total[1] + 2),
      breaks = seq(0, total[1], by = 2),
      sec.axis = ggplot2::dup_axis(
        name = "Maçãs do Consumidor B",
        labels = function(x) total[1] - x,
        breaks = seq(0, total[1], by = 2)
      )
    ) +
    ggplot2::scale_y_continuous(
      limits = c(-2, total[2] + 3),
      breaks = seq(0, total[2], by = 3),
      sec.axis = ggplot2::dup_axis(
        name = "Peras do Consumidor B",
        labels = function(y) total[2] - y,
        breaks = seq(0, total[2], by = 3)
      )
    ) +
    ggplot2::theme_classic() +
    ggplot2::theme(
      plot.title = ggplot2::element_text(size = 16, face = "bold", hjust = 0.5),
      plot.subtitle = ggplot2::element_text(size = 12, lineheight = 1.3, hjust = 0.5),
      axis.title = ggplot2::element_text(size = 11),
      axis.title.x.top = ggplot2::element_text(color = "gray50", size = 10),
      axis.title.y.right = ggplot2::element_text(color = "gray50", angle = 90, size = 10),
      axis.text = ggplot2::element_text(size = 9),
      axis.text.x.top = ggplot2::element_text(color = "gray50", size = 9),
      axis.text.y.right = ggplot2::element_text(color = "gray50", size = 9),
      panel.background = ggplot2::element_rect(fill = "white", color = NA),
      plot.background = ggplot2::element_rect(fill = "white", color = NA),
      legend.position = "none"
    )
  
  # Exibir o gráfico com dimensões maiores
  print(grafico_edgeworth)
}

Código

# 9. Análise de ganhos da troca
if (!is.null(curva_completa)) {
  # Calcular ganhos para diferentes pontos na curva
  analise_ganhos <- curva_completa |>
    dplyr::mutate(
      ganho_A = U_A - U_A_inicial,
      ganho_B = U_B - U_B_inicial,
      ganho_total = ganho_A + ganho_B
    ) |>
    dplyr::filter(ganho_A > 0 & ganho_B > 0)
  
  cat("Análise de Ganhos da Troca:\n")
  cat("Número de alocações mutuamente benéficas:", nrow(analise_ganhos), "\n")
  cat("Ganho máximo para A:", round(max(analise_ganhos$ganho_A), 2), "\n")
  cat("Ganho máximo para B:", round(max(analise_ganhos$ganho_B), 2), "\n")
  cat("Ganho total máximo:", round(max(analise_ganhos$ganho_total), 2), "\n\n")
  
  # Tabela com algumas alocações representativas
  amostras <- analise_ganhos |>
    dplyr::slice(1, round(nrow(analise_ganhos)/4), round(nrow(analise_ganhos)/2), 
                  round(3*nrow(analise_ganhos)/4), nrow(analise_ganhos))
  
  cat("Amostra de alocações eficientes:\n")
  print(amostras |> dplyr::select(q_m_A, q_p_A, U_A, U_B, ganho_A, ganho_B))
}

Análise de Ganhos da Troca:
Número de alocações mutuamente benéficas: 91 
Ganho máximo para A: 176.81 
Ganho máximo para B: 184.08 
Ganho total máximo: 184.16 

Amostra de alocações eficientes:
              q_m_A q_p_A       U_A       U_B      ganho_A     ganho_B
macas...1  5.727273   5.3  36.08182 224.08182   0.08181818 184.0818182
macas...2  7.727273   7.5  65.68182 165.68182  29.68181818 125.6818182
macas...3  9.818182   9.8 106.03636 114.03636  70.03636364  74.0363636
macas...4 11.818182  12.0 153.63636  73.63636 117.63636364  33.6363636
macas...5 13.909091  14.3 212.80909  40.80909 176.80909091   0.8090909

6. Análise Econômica

Interpretação dos Resultados

Solução encontrada:

Curva de Contrato: \(q_m^A = \frac{10q_p^A + 10}{11}\)
Alocação Eficiente (simétrica):
- Consumidor A: \((10, 10)\) maçãs e peras
- Consumidor B: \((9, 11)\) maçãs e peras
Utilidades Finais: \(U_A = U_B = 110\)

Ganhos da Troca

Comparação entre situação inicial e final:

Consumidor	Utilidade Inicial	Utilidade Final	Ganho
A	36	110	+74
B	40	110	+70

Análise econômica:

Ambos os consumidores experimentam ganhos significativos de utilidade
A troca voluntária permite alcançar uma alocação eficiente de Pareto
A igualdade das TMS na alocação final garante que não há mais oportunidades de troca mutuamente benéficas
O mercado, através da troca voluntária, consegue alocar recursos de forma mais eficiente que a dotação inicial

Implicações Teóricas

Eficiência de Pareto: A solução encontrada está na curva de contrato, onde não é possível melhorar a situação de um consumidor sem piorar a do outro.
Primeiro Teorema do Bem-Estar: Sob condições ideais (sem externalidades, informação perfeita), o equilíbrio competitivo seria eficiente de Pareto.
Diversidade de Preferências: O exemplo mostra como diferentes preferências levam a ganhos da troca, mesmo quando as dotações iniciais são desiguais.

A troca voluntária permite que ambos os consumidores atinjam uma situação mutuamente benéfica, demonstrando o poder dos mercados para alocar recursos eficientemente quando as preferências são diferentes.

Baidya, Aiube e Mendes (2014) Capítulo 9 Exemplo 9.3

1. Introdução ao Tópico

2. Desenvolvimento Teórico

Conceitos Fundamentais

Funções de Utilidade e Dotações

3. Formalização Matemática

Passo 1: Calcular Dotações Totais

Passo 2: Calcular Taxas Marginais de Substituição

Passo 3: Condição de Eficiência de Pareto

Passo 4: Resolver a Equação

Passo 5: Encontrar Contrato de Troca

Passo 6: Verificar as Restrições

Passo 7: Calcular Utilidades

4. Exemplos Numéricos

5. Implementação em R

6. Análise Econômica

Interpretação dos Resultados

Ganhos da Troca

Implicações Teóricas

Referências