Equilíbrio Geral com Produção ex
Estrutura da Economia
A economia é composta por:
Dois consumidores: Ana e Bruno.
Dois bens: Comida (\(C\)) e Roupa (\(R\)).
Uma firma: Produz Roupa (\(R\)) utilizando Comida (\(C\)) como insumo produtivo.
O bem Comida é um bem de dotação inicial.
O bem Roupa é um bem produzido pela firma.
Tecnologia de Produção
A firma possui a seguinte função de produção:
\[ R = F(C_f) = 2\sqrt{C_f} \]
ou
\[ R = F(C_f) = 2 C_{f} ^ \frac{1}{2} \]
onde:
- \(C_f\) = quantidade de comida utilizada como insumo produtivo pela firma.
- \(R\) = quantidade de roupa produzida.
Dotação Inicial
Cada consumidor possui:
- 10 unidades de comida (\(C\)).
- Zero unidades de roupa (\(R\)).
Preferências dos Consumidores
As preferências são idênticas e representadas pela função utilidade do tipo Cobb-Douglas:
\[ U(C, R) = C^{0,5} \cdot R^{0,5} \]
Decisão da Firma
A firma escolhe \(C_f\) para maximizar seu lucro:
\[ \max_{C_f} \; p_R \cdot F(C_f) - p_C \cdot C_f \]
Substituindo a função de produção:
\[ \max_{C_f} \; p_R \cdot 2\sqrt{C_f} - p_C \cdot C_f \]
Derivando a função lucro em relação a \(C_f\):
\[ \frac{d\Pi}{dC_f} = p_R \cdot \frac{1}{\sqrt{C_f}} - p_C = 0 \]
Resolvendo:
\[ \frac{p_R}{\sqrt{C_f}} = p_C \]
\[ \sqrt{C_f} = \frac{p_R}{p_C} \]
\[ C_f = \left( \frac{p_R}{p_C} \right)^2 \]
Produção de roupa:
\[ R = 2\sqrt{C_f} = 2 \cdot \frac{p_R}{p_C} \]
1. Definição da Função Lucro
A firma utiliza comida (\(C_f\)) como insumo para produzir roupa (\(R\)), cuja função de produção é:
\[ R = F(C_f) = 2\sqrt{C_f} \]
A função lucro da firma é:
\[ \Pi = p_R \cdot F(C_f) - p_C \cdot C_f \]
Substituindo a função de produção:
\[ \Pi = p_R \cdot 2\sqrt{C_f} - p_C \cdot C_f \]
2. Problema de Maximização
O problema da firma é:
\[ \max_{C_f} \; \Pi = p_R \cdot 2\sqrt{C_f} - p_C \cdot C_f \]
3. Derivada da Função Lucro
Derivada da Receita:
A receita é:
\[ \text{Receita} = p_R \cdot 2\sqrt{C_f} \]
Derivando em relação a \(C_f\):
\[ \frac{d}{dC_f} \left( p_R \cdot 2\sqrt{C_f} \right) = p_R \cdot \frac{1}{\sqrt{C_f}} \]
Isso porque a derivada de \(\sqrt{C_f}\) é \(\frac{1}{2\sqrt{C_f}}\), e multiplicando por 2 resulta em \(\frac{1}{\sqrt{C_f}}\).
Derivada do Custo:
O custo total é:
\[ \text{Custo} = p_C \cdot C_f \]
Derivando:
\[ \frac{d}{dC_f} \left( p_C \cdot C_f \right) = p_C \]
Derivada da Função Lucro:
\[ \frac{d\Pi}{dC_f} = p_R \cdot \frac{1}{\sqrt{C_f}} - p_C \]
4. Condição de Primeira Ordem (CPO)
A condição de primeira ordem para maximização do lucro é:
\[ \frac{d\Pi}{dC_f} = 0 \]
Portanto:
\[ p_R \cdot \frac{1}{\sqrt{C_f}} - p_C = 0 \]
Isolando:
\[ \frac{p_R}{\sqrt{C_f}} = p_C \]
5. Solução para \(C_f\)
Elevando ambos os lados ao quadrado:
\[ \left( \frac{p_R}{\sqrt{C_f}} \right)^2 = p_C^2 \]
\[ \frac{p_R^2}{C_f} = p_C^2 \]
Multiplicando cruzado:
\[ C_f = \frac{p_R^2}{p_C^2} \]
De forma compacta:
\[ C_f = \left( \frac{p_R}{p_C} \right)^2 \]
6. Produção Ótima
Substituindo na função de produção:
\[ R = 2\sqrt{C_f} = 2 \cdot \frac{p_R}{p_C} \]
7. Interpretação Econômica
- A firma escolhe \(C_f\) tal que o valor do produto marginal do insumo iguala seu custo:
\[ p_R \cdot F'(C_f) = p_C \]
- O produto marginal é:
\[ F'(C_f) = \frac{1}{\sqrt{C_f}} \]
- O valor do produto marginal:
\[ p_R \cdot \frac{1}{\sqrt{C_f}} \]
- A condição ótima é:
\[ p_R \cdot \frac{1}{\sqrt{C_f}} = p_C \]
Esta é a regra geral da maximização do lucro: a firma utiliza o insumo até que o valor do produto marginal iguale seu custo.
Resumo da Regra de Decisão da Firma
- Se \(p_R\) (preço da roupa) aumenta → a firma demanda mais \(C_f\) para produzir mais.
- Se \(p_C\) (preço da comida) aumenta → a firma reduz \(C_f\), pois o insumo ficou mais caro.
- A quantidade ótima de insumo depende do quadrado do preço relativo:
\[ C_f = \left( \frac{p_R}{p_C} \right)^2 \]
- A produção ótima é proporcional ao preço relativo:
\[ R = 2 \cdot \frac{p_R}{p_C} \]
Renda dos Consumidores
Cada consumidor possui renda derivada da venda de sua dotação de comida:
\[ \text{Renda} = 10 \cdot p_C \]
(Supondo que não sejam proprietários da firma.)
Decisão dos Consumidores
Dada a utilidade Cobb-Douglas, cada consumidor aloca 50% da renda em cada bem.
Demanda de Ana e Bruno por comida:
\[ C_A = C_B = \frac{0,5 \cdot 10p_C}{p_C} = 5 \]
Demanda de Ana e Bruno por roupa:
\[ R_A = R_B = \frac{0,5 \cdot 10p_C}{p_R} = \frac{5p_C}{p_R} \]
Maximização da Utilidade
A maximização da utilidade Cobb-Douglas do tipo:
\[ U(C, R) = C^\alpha R^{1 - \alpha} \]
com \(\alpha = 0{,}5\) e restrição orçamentária
\[ p_C C + p_R R = M \]
resulta nas funções de demanda:
\[ C^* = \frac{\alpha M}{p_C} \quad \text{e} \quad R^* = \frac{(1 - \alpha) M}{p_R} \]
Determinação da Renda (\(M\))
Cada consumidor possui 10 unidades de comida que pode vender no mercado. Supondo que o preço da comida seja \(p_C\), a renda do consumidor é:
\[ M = p_C \cdot 10 \]
Funções de Demanda Individual
Substituindo \(\alpha = 0{,}5\) e \(M = p_C \cdot 10\):
- Demanda por comida:
\[ C(p_C, p_R) = \frac{0{,}5 \cdot p_C \cdot 10}{p_C} = 5 \]
- Demanda por roupa:
\[ R(p_C, p_R) = \frac{0{,}5 \cdot p_C \cdot 10}{p_R} = \frac{5 p_C}{p_R} \]
Demanda Agregada
Se houver dois consumidores idênticos, a demanda total (agregada) será:
- Demanda agregada por comida:
\[ C^D(p_C, p_R) = 2 \cdot 5 = 10 \]
- Demanda agregada por roupa:
\[ R^D(p_C, p_R) = 2 \cdot \frac{5 p_C}{p_R} = \frac{10 p_C}{p_R} \]
Essas funções de demanda serão úteis para encontrar o equilíbrio geral com produção, comparando-as com a oferta de roupa gerada pela firma produtora.
Condições de Equilíbrio
Mercado de Comida
Oferta total de comida:
\[ C_O = 10 + 10 = 20 \]
Demanda:
- Consumo dos consumidores: \(C_A + C_B = 5 + 5 = 10\)
- Insumo da firma: \(C_f = \left( \frac{p_R}{p_C} \right)^2\)
Equilíbrio no mercado de comida:
\[ 10 + \left( \frac{p_R}{p_C} \right)^2 = 20 \]
\[ \left( \frac{p_R}{p_C} \right)^2 = 10 \]
\[ \frac{p_R}{p_C} = \sqrt{10} \approx 3,16 \]
Mercado de Roupa
Oferta de roupa:
\[ R = 2 \cdot \frac{p_R}{p_C} = 2 \cdot 3,16 = 6,32 \]
Demanda total de roupa:
\[ R_A + R_B = 2 \cdot \frac{5p_C}{p_R} = \frac{10p_C}{p_R} \]
Substituindo \(\frac{p_R}{p_C} = 3,16\):
\[ R_A + R_B = \frac{10}{3,16} \approx 3,16 \]
Verificamos que há excedente de roupa, indicando que os preços precisariam se ajustar ou que a renda dos consumidores deveria incorporar os lucros da firma.
Equilíbrio
O preço da roupa que leva o mercado ao equilíbrio, em termos relativos ao preço da comida, é:
\[ \frac{p_R}{p_C} = \sqrt{10} \approx 3,16 \]
Ou seja, a roupa deve custar aproximadamente 3,16 unidades de comida por unidade de roupa.
- O modelo determina apenas o preço relativo, não os preços absolutos.
- Podemos escolher um bem como numerário, normalmente \(p_C = 1\), então:
\[ p_R = \sqrt{10} \approx 3,16 \]
- Nesse caso:
- Comida custa 1 (numerário).
- Roupa custa aproximadamente 3,16 unidades de comida.
- O preço relativo da roupa reflete os custos de oportunidade do uso da comida como insumo produtivo.
- Esse preço garante que, a quantidade de comida destinada ao consumo mais a produção seja igual à dotação total da economia.
Lucro da Firma
Calculando o lucro:
\[ \Pi = p_R \cdot R - p_C \cdot C_f \]
Substituindo:
\[ \Pi = 3,16p_C \cdot 6,32 - p_C \cdot 10 \]
\[ \Pi = 20p_C - 10p_C = 10p_C \]
Ajuste: Firma Pertence aos Consumidores
Cada consumidor recebe metade do lucro:
- Renda de dotação: \(10p_C\)
- Renda de lucro: \(5p_C\)
Renda total:
\[ 15p_C \]
Demanda por comida:
\[ C = \frac{0,5 \cdot 15p_C}{p_C} = 7,5 \]
Demanda por roupa:
\[ R = \frac{0,5 \cdot 15p_C}{p_R} = \frac{7,5p_C}{p_R} \]
Substituindo \(\frac{p_R}{p_C} = 3,16\):
\[ R = \frac{7,5}{3,16} \approx 2,37 \]
Demanda total de roupa:
\[ 2 \cdot 2,37 = 4,74 \]
Oferta de roupa: 6,32 → ainda existe excesso, indicando que ajustes adicionais seriam necessários no preço ou na produção.
Conclusão Didática
- Este exemplo ilustra como o equilíbrio geral com produção envolve a interação entre mercados de bens de consumo e mercados de insumos produtivos.
- Permite discutir os conceitos de alocação eficiente, preço relativo e equilíbrio competitivo.
- Serve também para ilustrar a necessidade de incorporar a distribuição dos lucros da firma na determinação do equilíbrio.
Conclusões Econômicas do Modelo de Equilíbrio Geral com Produção
- O modelo ilustra que o equilíbrio competitivo é eficiente no sentido de Pareto, desde que:
- Não haja externalidades;
- Não haja poder de mercado;
- Os consumidores sejam proprietários da firma e recebam os lucros.
- O preço relativo entre os bens, dado por:
\[ \frac{p_R}{p_C} = \sqrt{10} \approx 3,16 \]
reflete os custos de oportunidade e a escassez relativa entre Comida (\(C\)) e Roupa (\(R\)).
- A condição de equilíbrio garante que a Taxa Marginal de Transformação (TMT) na firma é igual à Taxa Marginal de Substituição (TMS) dos consumidores:
\[ \text{TMT} = \text{TMS} = \frac{p_R}{p_C} \]
O bem Comida (\(C\)) exerce papel duplo:
- Como bem de consumo direto;
- Como insumo produtivo para a produção de Roupa.
A presença da firma expande a fronteira de possibilidades de consumo, permitindo que os consumidores acessem combinações de bens que seriam impossíveis em uma economia pura de troca.
A distribuição dos lucros da firma tem papel central:
- Sem distribuição, há redução no consumo agregado.
- Com distribuição dos lucros, aumenta-se a renda dos consumidores, elevando o bem-estar.
O modelo permite avaliar os efeitos de:
- Mudanças tecnológicas, que deslocam a curva de possibilidades de produção;
- Choques de dotação, que alteram os preços relativos e a alocação de recursos.
Valida-se o:
- Primeiro Teorema do Bem-Estar, mostrando que o equilíbrio competitivo é eficiente;
- Segundo Teorema do Bem-Estar, destacando que qualquer alocação eficiente pode ser alcançada com redistribuições iniciais adequadas.
O equilíbrio geral com produção conecta decisões de consumo e de produção, demonstrando como os mercados interagem para determinar preços, alocações e níveis de bem-estar.