Maximização de Lucro

Microeconomia

Roney Fraga Souza

Universidade Federal de Mato Grosso

2026-04-30

O problema da firma

A firma escolhe \(q, L, K\) para maximizar o lucro econômico:

\[\pi^*(P, w, r) = \max_{q, L, K} \{ P \cdot q - wL - rK : q = f(L, K) \}\]


Três decisões acopladas:

  • Qual o nível ótimo de produção \(q^*\)?
  • Como alocar insumos \((L^*, K^*)\) para minimizar custos dado \(q^*\)?
  • Produzir ou fechar no curto prazo?


Este capítulo integra as ferramentas dos caps. de função produção e custos, e prepara o terreno para estruturas de mercado (parte 4).

Lucro econômico

Definições:

\[\pi = RT - CT\]

CT inclui custo de oportunidade dos recursos próprios.

Lucro econômico = 0 → lucro normal: recursos rendem igual à melhor alternativa.

Lucro econômico > 0 → atrai entrada (em concorrência perfeita).

Lucro contábil ≠ econômico

Exemplo: padaria com receita 800, despesa 500.

  • Contábil: 300
  • Subtrair CI (ex.: 160) → Econômico: 140

Em análise econômica, “lucro zero” = lucro econômico zero.

RMg = CMg

Nicholson, Figure 11.1

CPO:

\[\frac{d\pi}{dq} = RMg(q) - CMg(q) = 0\]

CSO:

\[\frac{d^2\pi}{dq^2} < 0 \Leftrightarrow CMg \text{ crescente em } q^*\]

Geometria: \(\pi\) é distância vertical entre RT e CT — máxima onde as inclinações se igualam.

Concorrência perfeita — P = CMg

Nicholson, Figure 11.2

Firma tomadora de preço: \(P\) exógeno.

\[RT(q) = P \cdot q, \quad RMg = P\]

Condição de ótimo:

\[\boxed{P = CMg(q^*)}\]

Curva de oferta individual: ramo crescente de \(CMg\).

Regra de fechamento

Nicholson, Figure 11.3

Curto prazo: CF é afundado.

Decisão:

  • \(P \geq CVMe_{\min}\): produzir (mesmo com prejuízo)
  • \(P < CVMe_{\min}\): fechar

Faixas:

  • \(P < CVMe_{\min}\): fechar
  • \(CVMe_{\min} \leq P < CTMe_{\min}\): produzir em prejuízo
  • \(P \geq CTMe_{\min}\): lucro \(\geq 0\)

Exercício polinomial

Nicholson, Figure 11.4

Dados: \(C = q^3 - 6q^2 + 25q + 100\), \(P = 19{,}75\).

Resultados:

  • \(q^* = 3{,}5\)
  • \(CVMe^* = 16{,}25\)
  • \(CTMe^* \approx 44{,}82\)
  • \(\pi^* = -87{,}75\) (prejuízo)

\(P > CVMe_{\min} = 16\) → produzir, apesar do prejuízo. Cobre variável e parte do fixo.

Múltiplos insumos — Cobb-Douglas

Problema:

\[\max_{L, E} \; p \cdot q(L, E) - wL - r_E E\]

com \(q = 10 L^{1/2} E^{1/3}\) (rend. decresc.).

CPO por insumo:

\[p \cdot PMg_{\text{fator}} = \text{preço fator}\]

Valor do produto marginal = preço do insumo.

Com \(p=2, w=5, r_E=3\):

  • \(L^* \approx 79{,}01\)
  • \(E^* \approx 87{,}79\)
  • \(q^* \approx 395\)
  • \(\pi^* \approx 131{,}69\)

Maximização de lucro inclui minimização de custos dado \(q^*\).

Oferta agregada e LP

Nicholson, Figure 11.5

Agregação: \(S(P) = \sum_i S_i(P)\)

Entrada/saída livres:

\[\boxed{P_{\text{LP}} = CTMe_{\min}, \; \pi = 0}\]

Exemplo: 200 firmas, \(C = q^3 - 30q^2 + 230q\).

  • \(P_{\text{LP}} = 5\)
  • \(q_i^* = 15\)
  • \(Q_{\text{LP}} = 3000\)

Elasticidade-preço da oferta

Definição:

\[\varepsilon_S = \frac{dq}{dp} \cdot \frac{p}{q}\]

Classificação:

  • \(\varepsilon_S > 1\): elástica
  • \(\varepsilon_S = 1\): unitária
  • \(\varepsilon_S < 1\): inelástica

Forma potência: \(q = A p^\alpha \Rightarrow \varepsilon_S = \alpha\) (constante).

Exemplo: \(q = \sqrt{p}\), logo \(\alpha = 1/2\).

Em \(q = 3000\): \(\varepsilon_S = 0{,}5\) (inelástica).

Determinantes: horizonte temporal, capacidade ociosa, substituibilidade de insumos.

Aplicação: incidência de impostos. Oferta inelástica → maior parte da carga sobre produtores.

Referências

NICHOLSON, W.; SNYDER, C. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. 11. ed. [s.l.] South-Western, Cengage Learning, 2012.
___. Teoria microeconômica: princı́pios básicos e aplicações. [s.l.] Cengage Learning Edições, 2018.
PERLOFF, J. M. Microeconomics with Calculus, Global Edition. 5. ed. [s.l.] Pearson, 2022.